Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
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Domande e risposte
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Salve a tutti,
avrei un paio di domande circa il seguente esercizio:
Sia dato l'anello $A=ZZ<em>$ e l'ideale $I=(7-i)$.
a) $I$ è massimale?
b) $\bar 3$ è invertibile nell'anello quoziente $A/I$?
c) Qual è la cardinalità dell'anello quoziente $A/I$?
a) Ho ragionato in questo modo: ho che $ZZ<em>$ è un PID (Anello ad Ideali Principali) e in un PID vale la seguente relazione (dove $(a)$ è l'ideale generato da ...
Buongiorno a tutti,
sto cercando una dimostrazione del seguente teorema:
Sia $V$ uno spazio vettoriale (di dimensione qualunque) su campo $K$, dotato di un prodotto interno non degenere*; sia $W$ un sottospazio non singolare** e finito-dimensionale. Allora si ha la decomposizione in somma diretta $V=W\oplus W^\bot$.
*Con prodotto interno non degenere intendo una forma bilineare simmetrica $(\quad , \quad): V\times V\to K$, tale che la condizione ...
Scusate se la domanda è un po' banale, ma non mi convince molto il fatto che questa non sia una relazione di equivalenza (come dice il libro):
$xy>0$
E' riflessiva perchè $x*x=x^2>0$
E' simmetrica perchè se $xy>0$ allora anche $yx>0$
E' transitiva perchè se $xy>0$ e $yz>0$ allora vuol dire che:
-se x e y sono entrambi positivi allora anche z deve esserlo per stare in relazione con y. E quindi z sta in relazione anche con x.
-se x e y ...
Sia $f:R->R'$ un omomorfismo di anelli. Dimostrare che f manda $R^\star$ in $R'^\star$ e l'applicazione $f^\star:R^\star->R'^\star$ data da $f^\star(\varepsilon)=f(\varepsilon)$, è un omomorfismo di gruppi.
Allora siccome f è un omomorfismo so che:
$f(a+b)=f(a)+f(b)$
$f(ab)=f(a)f(b)$
$f(1)=1$
per $a,b in R$
Ora per $\star$ cosa intende?gli elementi invertibili?
E io cosa posso saperne di essi..?Mi aiutate??
Ciao a tutti volevo porre una domanda a voi che siete esperti.
esiste un teorema che affermi che dato un numero primo Pn e il suo precedente Pn-1 come ad esempio 37 e 31 il numero primo successivo a Pn ovvero Pn+1 (nell' esempio sarebbe 39) è sempre inferiore a Pn + Pn-1?
Cioè in pratica voglio sapere se
Pn-1 + Pn è un numero pari sempre maggiore di Pn+1
nell' esempio
31 + 37 = 68 che è maggiore di 39
ps:. spero di essermi spiegato bene non sono tanto forte come matematico e i termini che ...
Salve,
vorrei sapere se qualcuno può darmi la definizione o almeno spiegarmi cosa è una "algebra multisortale/eterogenea" o "many sorted algebra" a chi non piace l'italianizzazione
Non riesco a comprenderne il significato, cioè non trovo una "giusta" definizione.
Ho queste definizioni:
Avendo un'algebra $A$ (eterogenea).
ed una segnatura, come un sistema notazionale per individuare e confrontare algebre.
Una segnatura $\Sigma$ è determinata dalla somma ...
Salve,
vorrei chiedere un parere.
E' possibile equiparare la definizione di "scelta" dell'assiome della scelta alla definizione di nondeterminismo? (lasciando da parte definizioni rigorose)
Cioè se
quando ci viene dato un certo numero di insiemi possiamo costruire un nuovo insieme "scegliendo" un singolo elemento da ciascuno di quelli di partenza
la funzione di scelta è possibile dire che è una scelta nondeterministica?
Se la domanda è abbastanza chiara, ringrazio
Sia $G$ gruppo abeliano finitamente generato.
Ho letto che $G$ puo' essere decomposto come prodotto di gruppi ciclici tipo 1 o tipo 2.
Intanto vi chiedo se le ipotesi su G sono corrette o possono essere indebolite.
Inoltre non so cosa siano i gruppi ciclici di tipo 1 o tipo 2, che differenza ci sia.
Supponiamo che $dimG=1000=2^3*5^3$, allora
$G~=ZZ_2 x ZZ_2 x ZZ_2 x ZZ_3 x ZZ_3 x ZZ_3$
oppure
$G~=ZZ_2 x ZZ_4 x ZZ_3 x ZZ_3 x ZZ_3$
ecc ecc.
Dunque immagino che uno dei due "tipi" di cui sopra sia questo. Ma ...
Sia $f: G_1 rarr G_2 $ omomorfismo di gruppi.
Allora se $G_1$ e' un gruppo ciclico allora $G_2$ e' anch'esso un gruppo ciclico.
So che:
i) $f$ e' omomorfismo quindi $AA g,h in G_1, f(g*h)=f(g)**f(h)$ (dove ho indicato con $*$ l'operazione su $G_1$ e con $**$ l'operazione su $G_2$)
ii) in particolare $f(1_{G_1})=1_{G_2}$
iii) $G_1$ e' ciclico, quindi $EE x in G$ tale che $gp(x)=G_1$
Non riesco a ...
Non mi è chiara la dimostrazione di questo teorema.
Intanto definiamo
A PID: un anello a ideali principali (della forma $(a)$ con $a in A$,
A UFD: un anello in cui ogni elemento gode di un'unica fattorizzazione, più precisamente detto $a in A$, a è irriducibile o si scompone in elementi irriducibili di $A$ tali che se $a=x_1*...*x_s$ e $a=y_1*...*y_r$ sono due fattorizzazioni di $a$, con $x_i,y_i in A AAi$, allora $s=r$ e ...
Salve!
Sto (ri)studiando il teorema di Sylow e qualche sua ingegnosa applicazione alle dimostrazioni di non-semplicità di gruppi con certi ordini.
Per prima cosa - e qui devo essere io che sono rimbambito - non mi è chiaro come il teorema di Cauchy si deduca da quello di Sylow.
In secondo luogo, nella dimostrazione che non esistono gruppi semplici di ordine 300, Robinson, nel suo A course in the theory of groups, pag.40, arriva alla conclusione che devono necessariamente esistere 6 5-Sylow, ...
Qualcuno di buona volontà mi potrebbe spiegare cosa si intende per "Non inversione del teorema di lagrange?"
e perchè $A_4$ è il più piccolo gruppo in cui esso non si inverte?!
grazie
1. Mostrare che un gruppo $G$ di ordine 4125 non è semplice.
Si fattorizza l'ordine e si ha $4125=3*5^3*11$. Con qualche conto si vede che, detto $n_5$ il numero dei $5$-Sylow, necessariamente $n_5 \in {1,11}$. Supponiamo per assurdo che $G$ sia semplice e quindi che $n_5=11$: allora il normalizzante di un $5$-Sylow ha indice 11, cioè ha 11 laterali. Se consideriamo la solita azione di $G$ per ...
Salve,
ho notato che nel forum non si parla delle "Iverson bracket"; queste sono particolari parentesi, come lo mostra questo sito: http://en.wikipedia.org/wiki/Iverson_bracket.
Mi domandavo, si possono appliccare le parentesi di Iverson a tutte le definizioni o funzioni, analitiche o algebriche, definite per casi?
Cordiali saluti.
Salve a tutti! leggendo un libro di algebra commutativa ho trovato questo esercizio che non riesco a capire bene come si risolva, se $M,N$ sono un A- modulo e un B-modulo rispettivamente, e P è contemporaneamente un A-modulo che un B-modulo, allora ho che [tex](N \otimes_B P) \otimes_A M[/tex] e [tex]N \otimes_B (P \otimes_A M)[/tex] sono isomorfi, dove [tex]\otimes_A[/tex] è il prodotto tensore sull'anello A.. Non capisco proprio come funzionino le cose, il modulo di sinistra è un ...
Salve a tutti,
devo dimostrare questo lemma:
Criterio di normalita'
Sia $ H sube G $ sottogruppo, allora sono equivalenti:
i) $H$ normale in $G$
ii) $ AA g in G, AA h in H => ghg^{-1} in H$
Allora, per dimostrare l'equivalenza procedo con le due implicazioni.
i) implica ii)
So dalla definizione di normalita' che
dato $g in G$ le classi laterali destre sono uguali a quelle sinistre, ossia $gH = Hg$ o equivalentemente $gh = hg, AA h in H$
Da qui io concluderei ...
Premetto che scrivo per ricordi approssimati!
Più o meno 7 anni fa lessi di una serie (o somma) convergente di Gödel di numeri naturali del tipo \[\sum_{m=0}^{+\infty}a(m;n)-1\] ove \(n\) è un fissato numero naturale ed \(a(m;n)\) è una funzione (che non ricordo) a valori naturali!
Ricordo che per \(m\in\{0;1;2\}\) si riescono a fare i conti a mano, per \(m=3\) c'è bisogno del computer e per \(m\geq4\) non si riesce a calcolarla! Probabilmente converge sempre a \(0\).
Per dimostrare che ...
Salve di nuovo
Avrei un piccolo problema con un esercizio. Forse non riesco a vedere la soluzione, ma dopo ore e ore a studiare algebra sono un po' confusa.
L'esercizio dice:
Sia $f$ un polinomio irriducibile di $RR[x]$
a) Dimostrate che se $degf=1$, allora $(RR[x])/((f))$ è isomorfo a $RR$
b) Dimostrate che se $degf>1$, allora $(RR[x])/((f))$ è isomorfo a $CC$
Non so da dove iniziare. Studiare l'isomorfismo? Vedere dove ...
Quanti elementi ha l'anello $A=ZZ_5[X]$/$(X^3-2)$?
Io l'ho risolto in questo modo:
$A=ZZ_5[X]$/$(X^3-2)\congZZ_5[root(3)(2)]=a+b root(3)(2)$ e siccome a e b hanno valori in $ZZ_5$ la cardinalità dell'anello è 25. Va bene?
Grazie di nuovo...
PS poi chiede anche se $bar(X^7)=bar(-X)$ in A. Ma qui non so dove mettere mani.
Ciao, ho appena iniziato il corso di laurea in Fisica e mi sono trovato di fronte a un dubbio, riguardo ai seguenti simboli, che io interpreto così:
- $->$ sta per "allora" (usato prima di enunciare la tesi di un teorema, dopo l'ipotesi);
- $harr$ sta per "se e solo se" (usato prima di enunciare la tesi di un teorema, dopo l'ipotesi, nel caso in cui, appunto, la tesi è valida "se e solo se è valida l'ipotesi);
- $=>$ sta per "implica a livello logico" ...
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