A (anello) PID => A UFD
Non mi è chiara la dimostrazione di questo teorema.
Intanto definiamo
A PID: un anello a ideali principali (della forma $(a)$ con $a in A$,
A UFD: un anello in cui ogni elemento gode di un'unica fattorizzazione, più precisamente detto $a in A$, a è irriducibile o si scompone in elementi irriducibili di $A$ tali che se $a=x_1*...*x_s$ e $a=y_1*...*y_r$ sono due fattorizzazioni di $a$, con $x_i,y_i in A AAi$, allora $s=r$ e $x_i =y_i$ a meno di riordinare i fattori.
Voglio dimostrare l'implicazione
$A " è un PID" rarr A " è un UFD"$
Per farlo utilizzo il
Lemma: Sia A anello commutativo, unitario, integro, allora sono equivalenti:
1. A UFD
2. i) $ AA a in A, a!=0, a notin U(A)$, a si fattorizza in irriducibili.
ii) $ AA a in A $ irriducibile $rArr (a)$ è primo (ossia $AA b,c$ tali che $bc in (a) rArr b in (a) vv c in (a)$)
dando per buono il Lemma, voglio ora dimostrare che A PID implichi le due condizioni equivalenti all'essere A UFD.
La dimostrazione che ho trovato mi lascia parecchio confuso. Prima di riportarla col rischio che sia completamente sbagliata, qualcuno sa dove posso trovarne una già svolta? Altrimenti inizio a trascriverla e la esaminiamo insieme!
Grazie,
Andrea
Intanto definiamo
A PID: un anello a ideali principali (della forma $(a)$ con $a in A$,
A UFD: un anello in cui ogni elemento gode di un'unica fattorizzazione, più precisamente detto $a in A$, a è irriducibile o si scompone in elementi irriducibili di $A$ tali che se $a=x_1*...*x_s$ e $a=y_1*...*y_r$ sono due fattorizzazioni di $a$, con $x_i,y_i in A AAi$, allora $s=r$ e $x_i =y_i$ a meno di riordinare i fattori.
Voglio dimostrare l'implicazione
$A " è un PID" rarr A " è un UFD"$
Per farlo utilizzo il
Lemma: Sia A anello commutativo, unitario, integro, allora sono equivalenti:
1. A UFD
2. i) $ AA a in A, a!=0, a notin U(A)$, a si fattorizza in irriducibili.
ii) $ AA a in A $ irriducibile $rArr (a)$ è primo (ossia $AA b,c$ tali che $bc in (a) rArr b in (a) vv c in (a)$)
dando per buono il Lemma, voglio ora dimostrare che A PID implichi le due condizioni equivalenti all'essere A UFD.
La dimostrazione che ho trovato mi lascia parecchio confuso. Prima di riportarla col rischio che sia completamente sbagliata, qualcuno sa dove posso trovarne una già svolta? Altrimenti inizio a trascriverla e la esaminiamo insieme!
Grazie,
Andrea
Risposte
"Soloandre":
Non mi è chiara la dimostrazione di questo teorema...
A UFD: un anello in cui ogni elemento gode di un'unica fattorizzazione, più precisamente detto $a in A$, se $a = bc$ con $b,c in A$, allora $b,c$ sono invertibili o irriducibili, ossia $b,c in U(A)$...
Andrea
Andrea credo che bisogna aggiungere un'altra ipotesi, il resto è troppo per me a quest'ora.
scusami, si ho scritto un po' in fretta e ho confuso, correggo nel primo messaggio! eheh
La dimostrazione che conosco io fa uso di un altro lemma.
Lemma Un dominio \(D\) è un UFD se e soltanto se
1) gli irriducibili sono primi;
2) non esistono catene infinite \(\{a_i\,|\,i\in \mathbb{N}\}\) tali che \(\forall i\in\mathbb{N}\), \(a_{i+1}\,|\,a_i \) e \(a_i\nparallel a_{i+1}\).
La dimostrazione è piuttosto noiosetta, ma al di là di fatti calcolistici e alcuni risultati intermedi a cui occorre fare attenzione non presenta difficoltà eclatanti.
Dunque per dimostrare che ogni PID è un UFD si tratta di verificare 1) e 2) del Lemma. Se ti interessa posso lasciarti una traccia.
Lemma Un dominio \(D\) è un UFD se e soltanto se
1) gli irriducibili sono primi;
2) non esistono catene infinite \(\{a_i\,|\,i\in \mathbb{N}\}\) tali che \(\forall i\in\mathbb{N}\), \(a_{i+1}\,|\,a_i \) e \(a_i\nparallel a_{i+1}\).
La dimostrazione è piuttosto noiosetta, ma al di là di fatti calcolistici e alcuni risultati intermedi a cui occorre fare attenzione non presenta difficoltà eclatanti.
Dunque per dimostrare che ogni PID è un UFD si tratta di verificare 1) e 2) del Lemma. Se ti interessa posso lasciarti una traccia.
Se non ti porta via troppo tempo, si, ti ringrazio!
Proverei a farla io ma sono molto alle strette coi tempi pre esame purtroppo! Se posso partire già da una traccia magari me la cavo più in fretta!
(non riesco bene a capire il ruolo di quella catena comunque..)
Proverei a farla io ma sono molto alle strette coi tempi pre esame purtroppo! Se posso partire già da una traccia magari me la cavo più in fretta!
(non riesco bene a capire il ruolo di quella catena comunque..)
Per farti capire un po' il ruolo di questa catena infinita ritengo opportuno ed utile dimostrarti anche una parte del Lemma. Poi passo al teorema.
Proof. (Lemma) Proviamo che in un UFD \(D\) non possono esistere catene infinite di cui in 2). Sia dunque \(\{a_i \,|\, i\in \mathbb{N}\}\) una catena tale che \(a_{i+1}\,|\,a_i\) per ogni indice \(i\) e mostriamo che dopo un certo indice \(k\) le divisioni non possono essere più proprie.
Per far ciò, ricordiamo che in un UFD se \(a\neq 0\), è non invertibile ed è diviso propriamente da un certo \(b\), allora il numero di fattori irriducibili in una fattorizzazione di \(b\) è strettamente minore del numero di fattori irriducibili in una fattorizzazione di \(a\). La dimostrazione di ciò te la lascio in fondo.
A questo punto abbiamo concluso: infatti, se supponiamo che \(k\) sia il numero di fattori irriducibili in cui si fattorizza l'elemento \(a_0\) della catena, poiché \(a_1\,|\,a_0\) per il Lemma ricordato sopra, il numero dei fattori irriducibili in \(a_1\) sarà sicuramente minore o uguale di \(k-1\). Ma allora dopo \(k-1\) passi il numero di fattori irriducibili di \(a_{k-1}\) sarà \(1\), ovvero \(a_{k-1}\) è un irriducibile. Abbiamo quindi scoperto che \(a_k\,|\,a_{k-1}\), ma \(a_{k-1}\parallel a_k\) e quindi la catena si arresta.
Proof. (Theor.) Proviamo che ogni PID è un UFD verificando che: 1) gli irriducibili sono primi, 2) non esistono catene infinite di cui al punto 2) del Lemma.
1) Questa parte è piuttosto standard. Sia \(D\) un PID e consideriamo un irriducibile \(a\in D\). Troviamo subito che \(a\neq 0\) e che \(a\) non è invertibile. Supponiamo dunque che \(a\,|\,xy\) per qualche \(x,y\in D\) e che \(a\nmid x\); proviamo che \(a\,|\,y\). Osserviamo, dal momento che \(a\nmid x\), che \(x\notin (a)\), dove \((a)\) è l'ideale generato da \(a\). A questo punto si osserva che l'ideale \(I=(a)+(x)\) è generato da un certo \(d\in D\), e che tale \(d\) è invertibile, facendo degenerare l'ideale \(I\) in tutto \(D\). In particolare, esisteranno \(\alpha,\beta \in D\) tali che \(1_D = \alpha a + \beta x\), da cui, moltiplicando per \(x\) e ricordando le ipotesi fatte, si ottiene che \(a\,|\,y\) e dunque la tesi.
2) Supponiamo adesso di avere una catena \(\{a_i\,|\, i\in \mathbb{N}\}\) con la proprietà che \(\forall i\,\,\,a_{i+1}\,|\,a_i\). Se chiamiamo \(K_i=(a_i)\,\,\forall i\), si trova subito che \(K_i\subseteq K_{i+1}\). Si verifica facilmente che l'insieme
\[K=\bigcup_{i=0}^{\infty} K_i\]
è un ideale di \(D\), e naturalmente sarà generato da un certo \(d\in D\). Ma d'altra parte \(d\in K_n\,\,\exists n\), da cui \((d)\subseteq K_n \subseteq K\Rightarrow K=K_n\). Similmente si trova che \(K\subseteq K_n\subseteq K_n+1\subseteq K\) da cui \(K_n=K_{n+1}\). Ricordando la definizione dei \(K_i\), abbiamo trovato che \((a_n)=(a_{n+1})\iff a_n\parallel a_{n+1}\) e dunque la catena si arresta.
-----
Alcuni lemmi che ho usato e che ritengo importanti:
Lemma 1 Sia \(D\) un UFD e siano \(a\in D\setminus \{0\}\) non invertibile e \(b\in D\) non invertibile. Se \(b\,|\,a\) propriamente, allora il numero di fattori irriducibili in una fattorizzazione di \(b\) è strettamente minore del numero di fattori irriducibili in una fattorizzazione di \(a\).
Proof. Dire che \(b\,|\, a\) significa dire che \(\exists\, x\in D\) tale che \(a=bx\) e \(a\nparallel b\); allora \(x\) non è invertibile e può essere fattorizzato in modo unico. In sostanza, date \(a=p_1,\ldots, p_n\), \(b=q_1,\ldots ,q_k\) e \(x=r_1,\ldots ,r_h\) le fattorizzazioni in irriducibili di \(a,b,x\), si trova che
\[p_1\ldots p_n = q_1\ldots q_k r_1\ldots r_h\]
da cui, per l'unicità della fattorizzazione su \(D\), \(n=k+r\Rightarrow k=n-r
Questo forse lo conosci già, ma è veramente importante:
Lemma 2 Sia \(D\) un dominio d'integrità e siano \(a,b\in D\). Allora \[(a)=(b)\iff a\parallel b\]
Proof. Assumiamo che \((a)=(b)\). Questo vuol dire che \(a\in (b)\Rightarrow b\,|\,a\) e al contempo \(b\in (a)\Rightarrow a\,|\,b\). Abbiamo provato che \(a\parallel b\).
Assumiamo ora che \(a\parallel b\). Ciò vuol dire che \(a\,|\,b\) e \(b\,|\,a\); allora per ogni elemento \(x\in (a)\) con \(a\,|\,x\) si ha che \(b\,|\,x\) per la transitività della divisibilità e quindi \(x\in (b)\). Similmente si prova che per ogni \(y\in \(b)\) vale \(y\in (a)\).
Per quanto riguarda il tempo occupato, non ti preoccupare: è sempre un piacere rivedere queste cose!
Proof. (Lemma) Proviamo che in un UFD \(D\) non possono esistere catene infinite di cui in 2). Sia dunque \(\{a_i \,|\, i\in \mathbb{N}\}\) una catena tale che \(a_{i+1}\,|\,a_i\) per ogni indice \(i\) e mostriamo che dopo un certo indice \(k\) le divisioni non possono essere più proprie.
Per far ciò, ricordiamo che in un UFD se \(a\neq 0\), è non invertibile ed è diviso propriamente da un certo \(b\), allora il numero di fattori irriducibili in una fattorizzazione di \(b\) è strettamente minore del numero di fattori irriducibili in una fattorizzazione di \(a\). La dimostrazione di ciò te la lascio in fondo.
A questo punto abbiamo concluso: infatti, se supponiamo che \(k\) sia il numero di fattori irriducibili in cui si fattorizza l'elemento \(a_0\) della catena, poiché \(a_1\,|\,a_0\) per il Lemma ricordato sopra, il numero dei fattori irriducibili in \(a_1\) sarà sicuramente minore o uguale di \(k-1\). Ma allora dopo \(k-1\) passi il numero di fattori irriducibili di \(a_{k-1}\) sarà \(1\), ovvero \(a_{k-1}\) è un irriducibile. Abbiamo quindi scoperto che \(a_k\,|\,a_{k-1}\), ma \(a_{k-1}\parallel a_k\) e quindi la catena si arresta.
Proof. (Theor.) Proviamo che ogni PID è un UFD verificando che: 1) gli irriducibili sono primi, 2) non esistono catene infinite di cui al punto 2) del Lemma.
1) Questa parte è piuttosto standard. Sia \(D\) un PID e consideriamo un irriducibile \(a\in D\). Troviamo subito che \(a\neq 0\) e che \(a\) non è invertibile. Supponiamo dunque che \(a\,|\,xy\) per qualche \(x,y\in D\) e che \(a\nmid x\); proviamo che \(a\,|\,y\). Osserviamo, dal momento che \(a\nmid x\), che \(x\notin (a)\), dove \((a)\) è l'ideale generato da \(a\). A questo punto si osserva che l'ideale \(I=(a)+(x)\) è generato da un certo \(d\in D\), e che tale \(d\) è invertibile, facendo degenerare l'ideale \(I\) in tutto \(D\). In particolare, esisteranno \(\alpha,\beta \in D\) tali che \(1_D = \alpha a + \beta x\), da cui, moltiplicando per \(x\) e ricordando le ipotesi fatte, si ottiene che \(a\,|\,y\) e dunque la tesi.
2) Supponiamo adesso di avere una catena \(\{a_i\,|\, i\in \mathbb{N}\}\) con la proprietà che \(\forall i\,\,\,a_{i+1}\,|\,a_i\). Se chiamiamo \(K_i=(a_i)\,\,\forall i\), si trova subito che \(K_i\subseteq K_{i+1}\). Si verifica facilmente che l'insieme
\[K=\bigcup_{i=0}^{\infty} K_i\]
è un ideale di \(D\), e naturalmente sarà generato da un certo \(d\in D\). Ma d'altra parte \(d\in K_n\,\,\exists n\), da cui \((d)\subseteq K_n \subseteq K\Rightarrow K=K_n\). Similmente si trova che \(K\subseteq K_n\subseteq K_n+1\subseteq K\) da cui \(K_n=K_{n+1}\). Ricordando la definizione dei \(K_i\), abbiamo trovato che \((a_n)=(a_{n+1})\iff a_n\parallel a_{n+1}\) e dunque la catena si arresta.
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Alcuni lemmi che ho usato e che ritengo importanti:
Lemma 1 Sia \(D\) un UFD e siano \(a\in D\setminus \{0\}\) non invertibile e \(b\in D\) non invertibile. Se \(b\,|\,a\) propriamente, allora il numero di fattori irriducibili in una fattorizzazione di \(b\) è strettamente minore del numero di fattori irriducibili in una fattorizzazione di \(a\).
Proof. Dire che \(b\,|\, a\) significa dire che \(\exists\, x\in D\) tale che \(a=bx\) e \(a\nparallel b\); allora \(x\) non è invertibile e può essere fattorizzato in modo unico. In sostanza, date \(a=p_1,\ldots, p_n\), \(b=q_1,\ldots ,q_k\) e \(x=r_1,\ldots ,r_h\) le fattorizzazioni in irriducibili di \(a,b,x\), si trova che
\[p_1\ldots p_n = q_1\ldots q_k r_1\ldots r_h\]
da cui, per l'unicità della fattorizzazione su \(D\), \(n=k+r\Rightarrow k=n-r
Questo forse lo conosci già, ma è veramente importante:
Lemma 2 Sia \(D\) un dominio d'integrità e siano \(a,b\in D\). Allora \[(a)=(b)\iff a\parallel b\]
Proof. Assumiamo che \((a)=(b)\). Questo vuol dire che \(a\in (b)\Rightarrow b\,|\,a\) e al contempo \(b\in (a)\Rightarrow a\,|\,b\). Abbiamo provato che \(a\parallel b\).
Assumiamo ora che \(a\parallel b\). Ciò vuol dire che \(a\,|\,b\) e \(b\,|\,a\); allora per ogni elemento \(x\in (a)\) con \(a\,|\,x\) si ha che \(b\,|\,x\) per la transitività della divisibilità e quindi \(x\in (b)\). Similmente si prova che per ogni \(y\in \(b)\) vale \(y\in (a)\).
Per quanto riguarda il tempo occupato, non ti preoccupare: è sempre un piacere rivedere queste cose!
Non so come ringraziarti, sei stato precisissimo!
Solo un paio di domande:
Si scusa mi è partito il tasto INVIA, ora elimino questo post!
ehmmm...non so come eliminare questo intervento, non mi compare la X in alto a destra.
Solo un paio di domande:
Si scusa mi è partito il tasto INVIA, ora elimino questo post!
ehmmm...non so come eliminare questo intervento, non mi compare la X in alto a destra.
Non riesco a leggerle...
Non so come ringraziarti, sei stato precisissimo!
Solo un paio di domande:
1)
Che questo $d$ sia invertibile deriva dal fatto che $a$ non divida $x$? (non ho trovato il codice per il simbolo "non divide")
Per esempio, considerando in $ZZ$ gli ideali $(2)$ e $(3)$, siccome $MCD(2,3)=1$ allora $ I = (2) + (3) = ZZ $. E' qualcosa di analogo a questo?
2)
Questione di notazione, non ho mai usato questo simbolo:
significa che $a$ e $b$ sono in relazione, ossia esiste un elemento invertibile $c$ tale che $a=cb$ ?
Grazie ancora per tutto il tuo lavoro, spero che Martino lo aggiunga nella sua raccolta su Anelli ed Ideali!
Solo un paio di domande:
1)
"Richard_Dedekind":
l'ideale I=(a)+(x) è generato da un certo d∈D, e che tale d è invertibile
Che questo $d$ sia invertibile deriva dal fatto che $a$ non divida $x$? (non ho trovato il codice per il simbolo "non divide")
Per esempio, considerando in $ZZ$ gli ideali $(2)$ e $(3)$, siccome $MCD(2,3)=1$ allora $ I = (2) + (3) = ZZ $. E' qualcosa di analogo a questo?
2)
Questione di notazione, non ho mai usato questo simbolo:
"Richard_Dedekind":
a∥b
significa che $a$ e $b$ sono in relazione, ossia esiste un elemento invertibile $c$ tale che $a=cb$ ?
Grazie ancora per tutto il tuo lavoro, spero che Martino lo aggiunga nella sua raccolta su Anelli ed Ideali!
"Soloandre":
Non so come ringraziarti, sei stato precisissimo!
Solo un paio di domande:
1)Che questo $d$ sia invertibile deriva dal fatto che $a$ non divida $x$? (non ho trovato il codice per il simbolo "non divide")
Per esempio, considerando in $ZZ$ gli ideali $(2)$ e $(3)$, siccome $MCD(2,3)=1$ allora $ I = (2) + (3) = ZZ $. E' qualcosa di analogo a questo?
Il simbolo per "non divide" è \nmid. Comunque sì, dipende da quello. Infatti si ha che \(a\in (d)\iff a=dz\,\,\exists z\in D\). Ma \(a\) è un irriducibile, e quindi si ha che o \(a\parallel d\) o \(a\parallel z\). Se per assurdo \(a\parallel d\), allora (vedi Lemma 2) \((a)=(d)=(a)+(x)\Rightarrow x\in (a)\Rightarrow a\,|\,x\) che è assurdo.
2)
Questione di notazione, non ho mai usato questo simbolo:significa che $a$ e $b$ sono in relazione, ossia esiste un elemento invertibile $c$ tale che $a=cb$ ?
Purtroppo non riesco a vedere il simbolo incriminato poiché i tag quote non mostrano il TeX. Però suppondo tu parli di \(\parallel\). Hai ragione tu, in effetti, avrei dovuto specificare la mia notazione.
La relazione \(\parallel\) è la relazione di associazione. Ossia \(a\parallel b\iff a\,|\,b\text{ e } b\,|\,a\), o equivalentemente, come hai detto tu.
Grazie ancora per tutto il tuo lavoro, spero che Martino lo aggiunga nella sua raccolta su Anelli ed Ideali!
Figurati, è stato un vero piacere ed una occasione gradita di ripasso!
Ora è tutto perfetto!
Grazie di nuovo e buona serata!
Andrea
Grazie di nuovo e buona serata!
Andrea
Buona serata anche a te!
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