Correzione e consigli su alcuni esercizi
Salve!
Avrei di nuovo bisogno del vostro aiuto. Ho risolto alcuni esercizi e vorrei mi aiutaste a capire se sono fatti bene. Siate clementi se ho detto qualche grossa sciocchezza
Esercizio 1
Sia $ a in CC$ e si consideri la funzione
$F_a : QQ[x] rarr CC$
$f(x)rarr F_a(f(x)) = f(a)$
Mostrate che se $f(x)$ è un generatore di $KerF_a$, allora $f(x)$ è irriducibile in $QQ[x] $
Soluzione:
$ (QQ[x])/((f(x))) \sim CC $ (sarebbe isomorfo, ma non ho trovato il simbolo)
Dato che $ (QQ[x])/((f(x))) $ è un campo, allora $ (f(x)) $ è un massimale e, visto che siamo in un PID, questo sarà generato da un irriducibile.
Esercizio 2
Dimostrare che l'ideale $(2, x^3+x+1)$ è massimale in $ZZ[x]$
Soluzione:
$(ZZ[x])/(((2,x^3+x+1))) \sim ((ZZ[x])/((2)))/((((2,x^3+x+1)))/((2)))=(F_2[x])/((x^3+x+1))$
Dato che $x^3+x+1$ è un irriducibile in $F_2[x]$ e $F_2[x]$ è un PID, allora $(x^3+x+1)$ è massimale.
Esercizio 3
Sia $K[x]$ l'anello dei polinomi a coefficienti in un campo $K$
Dimostrate che gli ideali massimali sono generati da polinomi irriducibili
Soluzione:
Potrei essermi persa la dimostrazione rigorosa, quindi, dato che non mi veniva in mente altro, sono passata per ideali ed elementi primi. Ma non mi convince per nulla
Ora, se non vi secca, vorrei chiedervi giusto un paio di imput per alcuni esercizi che mi hanno lasciata un po' perplessa.
Perdonatemi, vi prego
Esercizio 1
Sia $R$ un anello. Dimostrate che $R$ è un dominio di integrità se e solo se esiste un campo $K$ tale che $ R sube K $
Quello che mi era venuto in mente di fare era di dimostrare il teorema di immersione. è corretto?
Esercizio 2
A chi è isomorfo $(ZZ)/((5))$?
Qui sono andata nel pallone. Mi è venuto in mente $(ZZ)/((2+i))$ ma mi pare che questo sia isomorfo a $ZZ/((5))$... non so.
So che ho scritto un post lunghissimo con molte domande, ma non mi sembrava il caso di aprirne di più. Se ci dovessero essere problemi, aggiusto tutto
Grazie in anticipo!
Avrei di nuovo bisogno del vostro aiuto. Ho risolto alcuni esercizi e vorrei mi aiutaste a capire se sono fatti bene. Siate clementi se ho detto qualche grossa sciocchezza
Esercizio 1
Sia $ a in CC$ e si consideri la funzione
$F_a : QQ[x] rarr CC$
$f(x)rarr F_a(f(x)) = f(a)$
Mostrate che se $f(x)$ è un generatore di $KerF_a$, allora $f(x)$ è irriducibile in $QQ[x] $
Soluzione:
$ (QQ[x])/((f(x))) \sim CC $ (sarebbe isomorfo, ma non ho trovato il simbolo)
Dato che $ (QQ[x])/((f(x))) $ è un campo, allora $ (f(x)) $ è un massimale e, visto che siamo in un PID, questo sarà generato da un irriducibile.
Esercizio 2
Dimostrare che l'ideale $(2, x^3+x+1)$ è massimale in $ZZ[x]$
Soluzione:
$(ZZ[x])/(((2,x^3+x+1))) \sim ((ZZ[x])/((2)))/((((2,x^3+x+1)))/((2)))=(F_2[x])/((x^3+x+1))$
Dato che $x^3+x+1$ è un irriducibile in $F_2[x]$ e $F_2[x]$ è un PID, allora $(x^3+x+1)$ è massimale.
Esercizio 3
Sia $K[x]$ l'anello dei polinomi a coefficienti in un campo $K$
Dimostrate che gli ideali massimali sono generati da polinomi irriducibili
Soluzione:
Potrei essermi persa la dimostrazione rigorosa, quindi, dato che non mi veniva in mente altro, sono passata per ideali ed elementi primi. Ma non mi convince per nulla
Ora, se non vi secca, vorrei chiedervi giusto un paio di imput per alcuni esercizi che mi hanno lasciata un po' perplessa.
Perdonatemi, vi prego
Esercizio 1
Sia $R$ un anello. Dimostrate che $R$ è un dominio di integrità se e solo se esiste un campo $K$ tale che $ R sube K $
Quello che mi era venuto in mente di fare era di dimostrare il teorema di immersione. è corretto?
Esercizio 2
A chi è isomorfo $(ZZ)/((5))$?
Qui sono andata nel pallone. Mi è venuto in mente $(ZZ)/((2+i))$ ma mi pare che questo sia isomorfo a $ZZ/((5))$... non so.
So che ho scritto un post lunghissimo con molte domande, ma non mi sembrava il caso di aprirne di più. Se ci dovessero essere problemi, aggiusto tutto
Grazie in anticipo!
Risposte
Premetto che non sono molto brava....quindi tutto ciò che ti dico non prenderlo sul serio, però voglio provarci..
ESERCIZIO 2
$5=(2+i)(2-i)$
$2+i=0$ e $2-i=0$ quando $i=+-2$
Allora $i^2=4$
Ma noi sappiamo che $i^2=-1$ e così $4=-1$ cioè $5=0$.
L'anello è isomorfo a $ZZ$/$5ZZ$ cioè $ZZ_5$
Come hai detto tu..
ESERCIZIO 2
$5=(2+i)(2-i)$
$2+i=0$ e $2-i=0$ quando $i=+-2$
Allora $i^2=4$
Ma noi sappiamo che $i^2=-1$ e così $4=-1$ cioè $5=0$.
L'anello è isomorfo a $ZZ$/$5ZZ$ cioè $ZZ_5$
Come hai detto tu..
ok, questo va bene. Il problema è che a me chiede di trovare a chi è isomorfo $(ZZ)/((5))$. Non è un po' diverso?
No...$ZZ$/$(5)\cong ZZ$/$(2+i)(2-i)\cong ZZ_5$ per quello che abbiamo detto prima..
Ok, grazie
e...ehm... per gli altri esercizi? Gentilmente qualcuno mi può aiutare?
e...ehm... per gli altri esercizi? Gentilmente qualcuno mi può aiutare?
Buongiorno.
Sì, va bene. Due note:
1) Per l'isomorfismo, puoi usare [tex]\simeq[/tex].
2) Dovresti comunque argomentare un po' sul perché vale quell'isomorfismo; ok, stai applicando il teorema fondamentale, ma sarebbe bene dimostrare che $F_a$ è un omomorfismo di anelli e, soprattutto, che è suriettivo (ma è banale).
Ok, mi sembra tutto giusto.
Be', questo è praticamente ovvio, si può vedere in più modi. Se il polinomio fosse riducibile, allora...
D'altra parte, in ogni anello (commutativo unitario) massimale implica primo, quindi gli ideali massimali sono anche primi (e da chi sono generati gli ideali primi in $\mathbb{K}[X]$? )
Non so che cosa intendi per "Teorema di immersione"; comunque non mi pare difficile. Una direzione è ovvia; per l'altra, puoi semplicemente ripercorrere la costruzione (che dovrebbe essere nota) del campo dei quozienti.
E' lodevole il tuo tentativo, melli13; mi perdonerai, però, se ti dico che quanti scrivi è completamente sbagliato. Mi spiace, davvero, ma gli errori sono molto, molto gravi. Ed è per questo che ho ritenuto opportuno intervenire, post del genere possono generare una confusione notevole. Ti prego, dunque di riflettere maggiormente prima di postare in futuro; ripeto, è lodevole che tu voglia cimentarti con esercizi più "difficili", ma tieni conto che ci legge potrebbe essere seriamente confuso.
Partiamo proprio da quello che ha scritto melli13: $5=(2+i)(2-i)$. Sì, questo è giusto e avrebbe dovuto mettervi subito in allarme: l'ideale generato da (5) in $ZZ$ potrà mai essere massimale? E di conseguenza può il quoziente essere un campo? No, non è nemmeno un dominio!
Quindi, sicuramente quel quoziente non può essere (isomorfo a) $ZZ_[5]$. Capite quello che voglio dire? Dovete fare molta, molta attenzione mentre svolgete gli esercizi: tutta la teoria che avete studiato deve essere coerente con il vostro svolgimento. L'errore grave sta qui:
Perchè poni i due fattori uguali a zero? $i$ non è un simbolo come $x$, è un numero! E anche $2+i$ è un numero, diverso da zero. Non ha nessun senso quanto scritto in quelle righe ed è bene evitare errori del genere (se mi posso permettere, ad un esame orale sarebbe da bocciatura istantanea).
Spero non me ne vogliate per le mie parole, ho cercato di essere severo solo per aiutarvi.
Ora però risolviamo questo esercizio: vi suggerisco una strada che, ad occhio, mi pare funzionare. Cominciate a studiare l'anello $ZZ_5:={a+bi, " con " a,b \in ZZ_5}$: com'è fatto? E' integro?
Poi considerate la seguente applicazione: $\phi: ZZ \to ZZ_5$ che manda $a+bi \mapsto (a mod 5) + (b mod 5)i$. E' un omomorfismo di anelli? E' suriettivo? Chi è il nucleo?
Che cosa potete concludere?
Buon lavoro.
"Izzy412":
Esercizio 1
Sia $ a in CC$ e si consideri la funzione
$F_a : QQ[x] rarr CC$
$f(x)rarr F_a(f(x)) = f(a)$
Mostrate che se $f(x)$ è un generatore di $KerF_a$, allora $f(x)$ è irriducibile in $QQ[x] $
Soluzione:
$ (QQ[x])/((f(x))) \sim CC $ (sarebbe isomorfo, ma non ho trovato il simbolo)
Dato che $ (QQ[x])/((f(x))) $ è un campo, allora $ (f(x)) $ è un massimale e, visto che siamo in un PID, questo sarà generato da un irriducibile.
Sì, va bene. Due note:
1) Per l'isomorfismo, puoi usare [tex]\simeq[/tex].
2) Dovresti comunque argomentare un po' sul perché vale quell'isomorfismo; ok, stai applicando il teorema fondamentale, ma sarebbe bene dimostrare che $F_a$ è un omomorfismo di anelli e, soprattutto, che è suriettivo (ma è banale).
"Izzy412":
Esercizio 2
Dimostrare che l'ideale $(2, x^3+x+1)$ è massimale in $ZZ[x]$
Soluzione:
$(ZZ[x])/(((2,x^3+x+1))) \sim ((ZZ[x])/((2)))/((((2,x^3+x+1)))/((2)))=(F_2[x])/((x^3+x+1))$
Dato che $x^3+x+1$ è un irriducibile in $F_2[x]$ e $F_2[x]$ è un PID, allora $(x^3+x+1)$ è massimale.
Ok, mi sembra tutto giusto.
"Izzy412":
Esercizio 3
Sia $K[x]$ l'anello dei polinomi a coefficienti in un campo $K$
Dimostrate che gli ideali massimali sono generati da polinomi irriducibili
Be', questo è praticamente ovvio, si può vedere in più modi. Se il polinomio fosse riducibile, allora...
D'altra parte, in ogni anello (commutativo unitario) massimale implica primo, quindi gli ideali massimali sono anche primi (e da chi sono generati gli ideali primi in $\mathbb{K}[X]$?
)"Izzy412":
Sia $R$ un anello. Dimostrate che $R$ è un dominio di integrità se e solo se esiste un campo $K$ tale che $ R sube K $
Quello che mi era venuto in mente di fare era di dimostrare il teorema di immersione. è corretto?
Non so che cosa intendi per "Teorema di immersione"; comunque non mi pare difficile. Una direzione è ovvia; per l'altra, puoi semplicemente ripercorrere la costruzione (che dovrebbe essere nota) del campo dei quozienti.
"Izzy412":
Esercizio 2 A chi è isomorfo $(ZZ)/((5))$?
"melli13":
Premetto che non sono molto brava....quindi tutto ciò che ti dico non prenderlo sul serio, però voglio provarci..
ESERCIZIO 2
$5=(2+i)(2-i)$
$2+i=0$ e $2-i=0$ quando $i=+-2$
Allora $i^2=4$
Ma noi sappiamo che $i^2=-1$ e così $4=-1$ cioè $5=0$.
L'anello è isomorfo a $ZZ$/$5ZZ$ cioè $ZZ_5$
Come hai detto tu..
E' lodevole il tuo tentativo, melli13; mi perdonerai, però, se ti dico che quanti scrivi è completamente sbagliato. Mi spiace, davvero, ma gli errori sono molto, molto gravi. Ed è per questo che ho ritenuto opportuno intervenire, post del genere possono generare una confusione notevole. Ti prego, dunque di riflettere maggiormente prima di postare in futuro; ripeto, è lodevole che tu voglia cimentarti con esercizi più "difficili", ma tieni conto che ci legge potrebbe essere seriamente confuso.
Partiamo proprio da quello che ha scritto melli13: $5=(2+i)(2-i)$. Sì, questo è giusto e avrebbe dovuto mettervi subito in allarme: l'ideale generato da (5) in $ZZ$ potrà mai essere massimale? E di conseguenza può il quoziente essere un campo? No, non è nemmeno un dominio!
Quindi, sicuramente quel quoziente non può essere (isomorfo a) $ZZ_[5]$. Capite quello che voglio dire? Dovete fare molta, molta attenzione mentre svolgete gli esercizi: tutta la teoria che avete studiato deve essere coerente con il vostro svolgimento. L'errore grave sta qui:
$5=(2+i)(2-i)$
$2+i=0$ e $2-i=0$ quando $i=+-2$
Allora $i^2=4$
Perchè poni i due fattori uguali a zero? $i$ non è un simbolo come $x$, è un numero! E anche $2+i$ è un numero, diverso da zero. Non ha nessun senso quanto scritto in quelle righe ed è bene evitare errori del genere (se mi posso permettere, ad un esame orale sarebbe da bocciatura istantanea).
Spero non me ne vogliate per le mie parole, ho cercato di essere severo solo per aiutarvi.
Ora però risolviamo questo esercizio: vi suggerisco una strada che, ad occhio, mi pare funzionare. Cominciate a studiare l'anello $ZZ_5:={a+bi, " con " a,b \in ZZ_5}$: com'è fatto? E' integro?
Poi considerate la seguente applicazione: $\phi: ZZ \to ZZ_5$ che manda $a+bi \mapsto (a mod 5) + (b mod 5)i$. E' un omomorfismo di anelli? E' suriettivo? Chi è il nucleo?
Che cosa potete concludere?
Buon lavoro.
"Paolo90":
Buongiorno.
[quote="Izzy412"] Esercizio 1
Sia $ a in CC$ e si consideri la funzione
$F_a : QQ[x] rarr CC$
$f(x)rarr F_a(f(x)) = f(a)$
Mostrate che se $f(x)$ è un generatore di $KerF_a$, allora $f(x)$ è irriducibile in $QQ[x] $
Soluzione:
$ (QQ[x])/((f(x))) \sim CC $ (sarebbe isomorfo, ma non ho trovato il simbolo)
Dato che $ (QQ[x])/((f(x))) $ è un campo, allora $ (f(x)) $ è un massimale e, visto che siamo in un PID, questo sarà generato da un irriducibile.
Sì, va bene. Due note:
1) Per l'isomorfismo, puoi usare [tex]\simeq[/tex].
2) Dovresti comunque argomentare un po' sul perché vale quell'isomorfismo; ok, stai applicando il teorema fondamentale, ma sarebbe bene dimostrare che $F_a$ è un omomorfismo di anelli e, soprattutto, che è suriettivo (ma è banale). [/quote]
Ok, sì, era un punto dell'esercizio. non l'ho scritto per fare una cosa abbastanza veloce
"Paolo90":
[quote="Izzy412"]
Esercizio 3
Sia $K[x]$ l'anello dei polinomi a coefficienti in un campo $K$
Dimostrate che gli ideali massimali sono generati da polinomi irriducibili
Be', questo è praticamente ovvio, si può vedere in più modi. Se il polinomio fosse riducibile, allora...
D'altra parte, in ogni anello (commutativo unitario) massimale implica primo, quindi gli ideali massimali sono anche primi (e da chi sono generati gli ideali primi in $\mathbb{K}[X]$?
)[/quote]Sì, ho detto esattamente questo, però non ero convinta che bastasse
"Paolo90":
[quote="Izzy412"] Sia $R$ un anello. Dimostrate che $R$ è un dominio di integrità se e solo se esiste un campo $K$ tale che $ R sube K $
Quello che mi era venuto in mente di fare era di dimostrare il teorema di immersione. è corretto?
Non so che cosa intendi per "Teorema di immersione"; comunque non mi pare difficile. Una direzione è ovvia; per l'altra, puoi semplicemente ripercorrere la costruzione (che dovrebbe essere nota) del campo dei quozienti.[/quote]
Per me questo è il teorema di immersione
la mia prof ama dare un nome a tutto
"Paolo90":
[quote="Izzy412"]Esercizio 2 A chi è isomorfo $(ZZ)/((5))$?
Ora però risolviamo questo esercizio: vi suggerisco una strada che, ad occhio, mi pare funzionare. Cominciate a studiare l'anello $ZZ_5:={a+bi, " con " a,b \in ZZ_5}$: com'è fatto? E' integro?
Poi considerate la seguente applicazione: $\phi: ZZ \to ZZ_5$ che manda $a+bi \mapsto (a mod 5) + (b mod 5)i$. E' un omomorfismo di anelli? E' suriettivo? Chi è il nucleo?
Che cosa potete concludere?
Buon lavoro.
[/quote]potresti dirmi cosa intendi con anello integro per favore? non l'ho mai sentito...
comunque ti devo ringraziare, sempre gentile, disponibile e paziente. Appena faccio l'esame, ti dedico una statua
"Izzy412":
Ok, sì, era un punto dell'esercizio. non l'ho scritto per fare una cosa abbastanza veloce
Lo immaginavo. Tuttavia, ho preferito precisare.
"Izzy412":
Per me questo è il teorema di immersione
la mia prof ama dare un nome a tutto
Capisco.
"Izzy412":
potresti dirmi cosa intendi con anello integro per favore? non l'ho mai sentito...
Tranquilla, nulla di sconvolgente: semplicemente, l'ho usato come sinonimo di dominio di integrità
In ogni caso, se sei pratica di residui quadratici $mod p$ e di un minimo di teoria dei numeri, puoi generalizzare notevolmente il tuo secondo esercizio.
"Izzy412":
comunque ti devo ringraziare, sempre gentile, disponibile e paziente. Appena faccio l'esame, ti dedico una statua
Prego, figurati; è un piacere per me poter dare una mano, dove posso.
E alla statua non ci pensare nemmeno
Buono studio.
Risolto!!!! Grazie mille
Discutendo con l'amico Martino è venuta fuori la necessità di chiarire un attimo la notazione.
Scrivere $ZZ_5$ è in effetti molto ambiguo: si è portati a pensare che si sta "aggiungendo" l'elemento $i \in CC$ al campo di caratteristica cinque $ZZ_5$.
D'altra parte, si potrebbe mantenere la notazione a patto di precisare le relazioni (come se fosse la presentazione di un gruppo). Ad ogni modo, è decisamente meno fuorviante scrivere esplicitamente $ZZ//5ZZ$.
"Paolo90":
Cominciate a studiare l'anello $ZZ_5:={a+bi, " con " a,b \in ZZ_5}$: com'è fatto? E' integro?
Scrivere $ZZ_5$ è in effetti molto ambiguo: si è portati a pensare che si sta "aggiungendo" l'elemento $i \in CC$ al campo di caratteristica cinque $ZZ_5$.
D'altra parte, si potrebbe mantenere la notazione a patto di precisare le relazioni (come se fosse la presentazione di un gruppo). Ad ogni modo, è decisamente meno fuorviante scrivere esplicitamente $ZZ//5ZZ$.
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