Serie di Gödel
Premetto che scrivo per ricordi approssimati!
Più o meno 7 anni fa lessi di una serie (o somma) convergente di Gödel di numeri naturali del tipo \[\sum_{m=0}^{+\infty}a(m;n)-1\] ove \(n\) è un fissato numero naturale ed \(a(m;n)\) è una funzione (che non ricordo) a valori naturali!
Ricordo che per \(m\in\{0;1;2\}\) si riescono a fare i conti a mano, per \(m=3\) c'è bisogno del computer e per \(m\geq4\) non si riesce a calcolarla!
Probabilmente converge sempre a \(0\). 
Per dimostrare che queste serie (o somma) converge per ogni \(m\) si è costretti a utilizzare l'assioma dell'infinito, ciò costituisce l'argomento per cui Gödel credeva nell'infinito.
Qualcuno riconosce qualcosa in questo abbozzato discorso e può aiutarmi? Non è urgente, è solo per sistemare questo interessante ricordo!
Più o meno 7 anni fa lessi di una serie (o somma) convergente di Gödel di numeri naturali del tipo \[\sum_{m=0}^{+\infty}a(m;n)-1\] ove \(n\) è un fissato numero naturale ed \(a(m;n)\) è una funzione (che non ricordo) a valori naturali!
Ricordo che per \(m\in\{0;1;2\}\) si riescono a fare i conti a mano, per \(m=3\) c'è bisogno del computer e per \(m\geq4\) non si riesce a calcolarla!
Probabilmente converge sempre a \(0\). Per dimostrare che queste serie (o somma) converge per ogni \(m\) si è costretti a utilizzare l'assioma dell'infinito, ciò costituisce l'argomento per cui Gödel credeva nell'infinito.
Qualcuno riconosce qualcosa in questo abbozzato discorso e può aiutarmi? Non è urgente, è solo per sistemare questo interessante ricordo!
Risposte
A quanto ricordo si tratta di questo:
partiamo da un numero a caso, per esempio 5. Lo scriviamo come somma e/o prodotto di potenze di due, cioe' [tex]5=2^2+2^0[/tex]. Sostituiamo i 2 con dei 3 e togliamo 1. Otteniamo [tex]3^3+3^0-1=3^3[/tex]. Sostituiamo i 3 con dei 4 e togliamo 1. Otteniamo [tex]4^4-1[/tex], che dovremo riscrivere come somma e/o prodotto di potenze di quattro, [tex]3 \cdot 4^3+3 \cdot 4^2+ 3 \cdot 4^1+ 3 \cdot 4^0[/tex], sostituiamo i 4 con dei 5 e togliamo 1. Eccetera. Si dimostra che qualunque sia il numero di partenza questa successione converge a zero.
Purtroppo non so come si chiami questa successione, so che ha a che fare con la logica.
partiamo da un numero a caso, per esempio 5. Lo scriviamo come somma e/o prodotto di potenze di due, cioe' [tex]5=2^2+2^0[/tex]. Sostituiamo i 2 con dei 3 e togliamo 1. Otteniamo [tex]3^3+3^0-1=3^3[/tex]. Sostituiamo i 3 con dei 4 e togliamo 1. Otteniamo [tex]4^4-1[/tex], che dovremo riscrivere come somma e/o prodotto di potenze di quattro, [tex]3 \cdot 4^3+3 \cdot 4^2+ 3 \cdot 4^1+ 3 \cdot 4^0[/tex], sostituiamo i 4 con dei 5 e togliamo 1. Eccetera. Si dimostra che qualunque sia il numero di partenza questa successione converge a zero.
Purtroppo non so come si chiami questa successione, so che ha a che fare con la logica.
Sì è lei, è dovuta a Gödel come ho scritto; è una sorpresa che c'entrino le potenze. 
Grazie Martino. 
Ora mi spiego: ho uno studentello di 12 anni che ogni volta che fa i conti (anche con le potenze) aggiunge sempre \(1\) al risultato, e gli ho detto:"Non ti preoccupare, il grande Gödel, invece, sottraeva sempre \(1\)!" e mi si è visualizzato questo ricordo regresso!
Sarà una sorpresa dirgli che "questo giochetto" è con le potenze.
Grazie Martino. Ora mi spiego: ho uno studentello di 12 anni che ogni volta che fa i conti (anche con le potenze) aggiunge sempre \(1\) al risultato, e gli ho detto:"Non ti preoccupare, il grande Gödel, invece, sottraeva sempre \(1\)!" e mi si è visualizzato questo ricordo regresso!
Sarà una sorpresa dirgli che "questo giochetto" è con le potenze.
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