Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ragazzi oggi la prof, mi ha fatto notare che quando cerchiamo di dimostrare le proprietà di riflessività, antisimmetria e transitività di una relazione d'ordine procediamo in questo modo: se tipo ho: $AA (a,b), (c,d) in NxN, (a,b) pi (c,d) <=> a+b <= c+d$ 1) riflessività $AA (a,b) in NxN, a+b <= a+b => (a,b) pi (a,b)$ 2) antisimmetria $AA (a,b), (c,d) in NxN, (a,b) pi (c,d)$ e $(c,d) pi (a,b) => (a,b)=(c,d)$ Quando faccio l'antisimmetria, qui sta praticamente dicendo: Se a è in relazione con b e b è in relazione con a allora gli elementi a e b sono uguali. Nel mio caso ...

Teorema (Binet) Se \(A, B\) sono matrici \(n \times n\) a coefficienti complessi allora \[(1)\qquad \det(AB)=\det(A)\det(B).\] Leggevo proprio adesso una interessante osservazione sul libro di algebra di Artin (§12.3): questa identità si estende senza sforzo ulteriore a matrici a coefficienti in qualsiasi anello commutativo unitario \(R\). Infatti, fissate \(A=(a_{ij}), B=(b_{hk}) \in R^{n \times n}\), l'identità \((1)\) è della forma \(f(a_{ij}, b_{hk})=0\) per un polinomio \(f\) in ...

ciao a tutti, sto cercando invano di capire il passaggio di una dimostrazione, ho postato nella sezione algebra lineare perchè mi è sembrata la sezione più naturale. Ecco il problema: dato U insieme non vuoto di interi positivi chiuso rispetto alla somma. $\sum_{j=1}^k i_j*b_j = 1$ con $b_1 ... b_j$ appartenenti all'insieme U e $i_1 ... i_j in ZZ$ (cioè sono dei coefficienti che possono avere valore negativo) Posso riscrivere la sommatoria come: $u-v = 1$ dove in u ho raccolto tutti gli ...

Posto $S = {-1, +1, +3}$, si consideri il prodotto cartesiano $SxS$. i) Verificare che per ogni $(a,b) in SxS a^2+b^2$ è un multiplo di $2$. Definita poi l’applicazione $f: (a,b) in SxS -> a^2+b^2 in 2Z$ , studiare iniettività e suriettività. Ragazzi partendo dalle definizioni di iniettività: $f: SxS -> 2Z$ è iniettivia se, $AA (a,b), (c,d) in SxS, [f(a,b)=f(c,d)]=>(a,b)=(c,d)$ Quindi dovrei prendere due f generiche e eguagliarle: $f(a,b)=f(c,d)$ $a^2+b^2=c^2+d^2$ arrivato qui, cosa dico? Per la suriettività invece ...

Salve, vorrei un parere. Se avessi questa applicazione di funzione, mettendo in conto che le varie funzioni "commutano": $f(a_1,...,a_n)$ ed applicassi una funzione $g$ ad $f$ in questo modo: $g(f(a_1,...,a_n)) = f(g(a_1),...,g(a_n))$ questo sarebbe la proprietà per definire un morfismo per $g$? passatemi la non-terminologia Ringrazio

Salve a tutti, in molti testi di matematica si utilizza la seguente scrittura: #1 : $xfy$ piuttosto che la seguente: #2 : $(x,y) in f$ ebbene, volevo sapere perchè? Poi, sappiamo che una legge di composizione interna binaria $f$ è associativa in un insieme $A$ se $AAx,y,z in A: ((xfy)fz)=(xf(yfz))=xfyfz$, come la si scrive se al posto della scrittura #1 si usasse la scrittura #2 (ovvero con coppie ordinate). Cordiali saluti

Indicato con $P$ l’insieme dei numeri primi positivi, si ponga, $AA x in N^star$, $Pi(x)= {p in P : p|x}$, e si consideri l’applicazione $f : x in N^star ->Pi(x) in P(N)$. i) Si studino iniettività e suriettività di $f$. ii) Si determinino $f^-1(O/)$ e $f^-1({1})$. Ragazzi per il punto i) inizio partendo dalle definizioni: Un applicazione $f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, x1=x2=>f(x1)=f(x2)$ Quindi nel caso della mia applicazione avrò: $Pi(x1)=Pi(x2)$ Per ...

Cari ragazzi , in rete mi sono imbattuto in questo video : http://www.youtube.com/watch?v=Ogb5ZTjpxFo e mi ha intricato molto , anche dopo il mio esame di algebra 1 la situazione . Vorrei un vostro parere : davvero il numero " aureo " e gli annessi hanno un valore così importante nella strutturazione degli organismi oppure e solo frutto dell'estremo desiderio dell'uomo di vedere enti laddove non ve ne sono ? Assumo questa posizione "scettica" ( in apparenza ) per riuscire a comprendere meglio le vostre posizioni a ...

Sia $S$ l’insieme dei numeri naturali prodotto di numeri primi a due a due distinti (ovvero tali che nella loro scomposizione in prodotto di numeri primi ogni primo compaia al più una volta: si noti che ($1 in S$).$AAx in S$ si indichi con $pi(x)$ l’insieme dei primi positivi che dividono x. Se ho capito bene S dovrebbe essere un insieme formato da elementi di questo tipo: $S={1, 1*2, 1*3, 2*2, 1*5, 2*3, 1*7$, (8 come lo scrivo, se nella scomposizione in prodotto di ...

Salve, ho letto su un libro che l'assioma di Peano che dice: $ (a)^(+) = (b)^(+) hArr a = b $ giustifica il fatto che dati n,m naturali, il successivo n-esimo di m è uguale al successivo m-esimo di n. Riesco a capire che la proprietà è vera, ma non capisco perché è proprio quell'assioma a giustificarlo. Sinceramente avevo pensato che l'uguaglianza fosse giustificata dal fatto che la funzione che associa ad ogni numero naturale il suo successivo è iniettiva per ipotesi, ma ora ho il dubbio Grazie in ...

se P è un p-Sylow di G e H è un sottogruppo di G, è vero che P è un p-Sylow di H?

a lezione il professore ci ha detto che lo spazio generato da: $span{x_0,...,A^(l-1) * x_l-1}$ si dice spazio vettoriale ciclico. A riguardo ho qualche domanda: Come si definisce uno spazio ciclico? Quello dato e' uno spazio ciclico nel senso che rientra nella definizione di spazio ciclico o nel senso che e' la definizione di spazio ciclico? c'entra qualcosa con la definizione di gruppo ciclico http://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_ciclico ? grazie in anticipo delle eventuali risposte

siano m,n numeri interi positivi. si consideri la funzione $f: Z_ (mnZ )->Z_(mZ) x Z_(nZ)$ definita da $f[x]_(mn)=([x]_m,[x]_n)$ si mostri che 1) f è ben definita 2)si mostri che se il massimo comune divisore tra m ed n è 1, allora f è biettiva 3)se invece M.C.D(m,n) è diverso da 1, allora non è biettiva mi potete far vedere cosa devo dimostrare e poi io me lo faccio??? ad esempio il punto 1... devo dimostrare che se $([x]_m,[x]_n)=([y]_m,[y]_n)$ allora $f(x)=f(y)$????? e il secondo?? P.S. il primo punto come si fa ...

Ciao a tutti, vi chiedo se possibile di aiutarmi con la risoluzione di alcuni esercizi... In teoria sarei anche arrivata ad una soluzione (che posterò), ma essendo una capra totale mi fido poco di me stessa.. perdonate anche i termini probabilmente usati in maniera impropria! Vi chiedo perciò di spiegarmi se il ragionamento è giusto o ci sono arrivata in maniera un po' troppo "grezza", eventualmente correggendomi anche nei termini e nelle notazioni =) [size=130]ESERCIZIO 1[/size] Sia ...

In $Z_5[x]$ , scrivere un polinomio di grado $5$ che ammetta come radici tutti gli elementi di $Z_5$ ed un polinomio di grado $5$ che ammetta come radice il solo $bar 1$. Il polinomio $x^4-bar4$ è irriducibile in $Z_5[x]$? Ammette radici in $Z_5[x]$? Determinare la forma dei polinomi di grado $5$ in $Z_5[x]$ che sono multipli di $x^4-bar4$. Spiegare perchè questi polinomi ...

Se ho la seguente relazione: con $D(x)$ indichiamo tutti gli $y in N$ che sono divisori di $x$. $x sum y <=> D(x) sube D(x)$ Devo verificare che è una relazione d'ordine: 1) riflessività: $AA x in N, D(x) sube D(x)$ Allora, adesso arrivato a questa conclusione, cosa dico? che è vero per la proprietà degli insiemi? ($A sube A = A$) 2) antisimmetria $AA x,y in N, D(x) sube D(y)$ e $D(y) sube D(x) => D(x)=D(y)$ (qui è sempre vero per la proprietà degli insiemi??? $(A sube B e B sube A => A=B)$ 3) ...

Salve ragazzi, stò cercando di capire come svolgere il seguente esercizio: Posto $S={1,2,3}$, sia $T=Z_8^S={f | f: S->Z_8$ è un'applicazione $}$. (i) Determinare l'ordine ti $T$. (ii) Definita in T l'operazione $*$ come segue $AA f,g in T$, $f * g: x in S -> f(x)g(x) in Z_8$ verificare che $(T,*)$ è un monoide commutativo. Di esso si caratterizzino gli elementi invertibili. (iii) Se $f, g in T$ sono iniettive $f*g$ è iniettiva? (iv) ...

In logica intuizionista, date $A$ e $B$ proposizioni, la proposizione $A \vv B$ ammette un ticket se e solo se esiste un ticket per $A$ oppure esiste un ticket per $B$. Per conservare l'informazione sulla provenienza del ticket di $A \vv B$ si considera $A \vv B$ come unione disgiunta di $A$ e di $B$. Questo significa che si suppone che non possa esistere un ticket in grado di provare sia ...

Da bravo ingegnere ho sempre parlato piu' o meno a vanvera di algebra. Da bravo amante della matematica mi sono appena accorto di non sapere esattamente cosa si intende per algebra. Mi potreste dare una definizione formale, ma al contempo non tanto tecnica da non essere capita da un povero ingegnere? Grazie Cosimo

Salve uno studente al primo anno di matematica e sto avendo qualche difficolta con questa dimostrazione di geometria: bisogna dimostrare che la cardinalita dell'insieme Sn è n! dove Sn={A:Nm-->Nm biunivoca} indicando con #Sn la cardinalita dell'insieme cerchiamo di dimostrarlo per induzione: per n=1 S1={1}=Id quindi #S1=1=1! passo induttivo: #Sn-1=(n-1)! per ogni K=1,2,....,n I(K)={A che appartiene ad Sn/A(k)=n} Sn=I(1)uI(2)uI(3)...uI(n) insieme disgiunti allora #Sn=\sum da 1 a n di ...