Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Problema. Dimostrare che $p(x)=x^4+x^3+x+1$ non è irriducibile su alcun campo $\mathbb{F}$.
A parte la formulazione un po' arzigogolata il problema chiede di dimostrare che $p(x)=x^4+x^3+x+1$ è riducibile su ogni campo. In caratteristica 0, non c'è problema: ammette come radice razionale $x=-1$ e quindi si spezza su $QQ$.
Per i campi finiti del tipo $ZZ/(pZZ)$ non ci dovrebbero essere altri problemi: il polinomio si fattorizza su $ZZ$ (perché ...
Ciao a tutti ,
ho da risolvere questo esercizio ma non riesco a capirci na mazza....
Sai $m in Z$ e $* : Z x Z => Z$ la legge di composizione interna definita $ AA x,y in Z $ da
$x*y = x+ m^2 y$
stabilire per quali valori di m l'operazione $ * $ è commutativa.
A. solo per m =0
B. solo per m = $\pm$ 1
C. m $!=$ 1
D. per nessun valore di ...
Ciao a tutti. Sto affrontando la dimostrazione del teorema di Kegel e Wielandt. Il teorema afferma che un gruppo finito prodotto di due sottogruppi nilpotenti è risolubile. Il teorema si divide in vari lemmi ed io sto avendo difficoltà con l'ultimo passaggio del primo di questi lemmi. Cerco di riassumervi un po' i passaggi fatti fino al punto, per me, cruciale.
Innanzitutto si suppone che il teorema sia falso e si considera il gruppo G, prodotto di due sottogruppi nilpotenti, non risolubile ...
devo mostrare che:
l'unico numero intero divisibile per ogni numero intero POSITIVO è 0.
dimostrare che l'unico numero intero divisibile per ogni numero intero è 0 è semplice, basta dire
sia $c in Z$ dire che c|0 significa che esiste $x in Z$ tale che 0=cx. basta prendere x=0 infatto c0=0 per ogni $c in Z$ e questo è ok...
non capisco come il positivo cambi la questione e come fare un'adeguata dimostrazione
Salve a tutti, volevo chiedere una delucidazione sull'uso dei teoremi di Sylow per classificare i gruppi, o meglio, un aiuto per riuscire a capire come sbrogliare alcune situazioni che al momento mi risultano complicate. Riporto 3 esercizi che in particolare non sono riuscito a completare.
1) Sia $G$ un gruppo di ordine 24 in cui nessun Sylow è normale.
a) Quanti sono i 2-Sylow e i 3-Sylow di $G$?
b) Dimostrare che l'intersezione di tutti i 2-Sylow di ...
Salve a tutti, domani mattina ho l'esame e vorrei sapere, se possibile entro stasera, (lo so sono in ritardo ma non si studia un esame alla volta) tre cose che in rete non ho trovato, e cioè queste tre dimostrazioni:
1)Se g o f è suriettiva allora lo è anche g.
2)Se g o f è iniettiva allora lo è anche f.
3)Se f e g sono suriettive allora lo è anche g o f.
So che sono bazzecole ma non mi raccapezzo più, grazie anticipatamente.
Ho un problema con quest'esercizio..
Sia G gruppo. Siano H e N 2 sottogruppi normali di G.
a) Dimostrare che HN: (hn: h appartiene ad H, n appartiene ad N) è un sottogruppo di G.
b) Dimostrare che se $ H nn N = (e) $ allora hn=nh per ogni h appartenente ad H, ed ogni n appartenente ad N.
c) Dimostrare che se $ H nn N = (e) $ allora HN è isomorfo ad H*N.
allora il primo punto l'ho svolto così:
Sia a= h1n1 e sia b=h2n2 quindi HN è sottogruppo di G se $ a(b)^(-1) $ appartiene ad ...
Il polinomio $3X^(3)+2X^(2)+1$ sta nell'ideale di $ZZ_8[X]$ generato da $X-4$?
Allora posso scrivere $3X^(3)+2X^(2)+1=(X+4)(3X^(2)+6X)+1$
Quindi $I=(X-4,1)$ giusto..?
E allora alla domanda cosa rispondo?Io direi che $x-4$ lo genera, anche se l'ideale non è principale. Corretto..?
Grazieeeeeeeeeeeeeeeee...
Provare che l'ideale $(X^2-4)nn(X^2-X-6)$ di $QQ[X]$ è pincipale e determinare un suo generatore.
Allora scompongo:
$(X^2-4)=(X-2)(X+2)$
$(X^2-X-6)=(X-3)(X+2)$
$mcm=(X-3)(X^2-4)=f(x)$
Posso dire che l'ideale è principae perchè è generato solo da $f(x)$?
Un suo generatore può essere $(X-3), (X-2)$ oppure $(X+2)$
Va bene..?Scusate ma ho bisogno di conferme per vedere se ho capito
Grazie...
Ciao ragazzi!! Esiste un modo per poter capire quante radici ha un polinomio negative e quante positive!? Ad esempio ho questo polinomio di cui devo scoprire quante radici sono positive e quante negative. Come faccio!?
-(lambda)^3 + [[(6pigreco +1)]/2pigreco]*lambda^2 + (2pigrecolambda - 2lambda)/pigreco + (1-2pigreco)/pigreco =0
Mi scuso per la scrittura ma sono nuova in questo forum
Salve vorrei un consiglio su questo esercizio :
Determina il numero di omomorfismi $ S3rarr S3 $ .
Considero tutti i sottogruppi normali di $ S3 $ che sono $ id $ , $ S3 $ , $ A3 $ e distinguo tre casi :
Se ker = $ S3 $ ho l'omomorfismo banale.
Se ker = $ A3 $ ho che $ (S3)/(A3) $ è isomorfo a $ Z2 $ e quindi gli omomorfismi $ Z2rarr S3 $ sono 4
Se ker = $ id $ cosa posso dire ? cambia ...
Ciao a tutti! Volevo chiedervi un aiuto per risolvere questo esercizio. Sia G un gruppo finito di ordine 595. Dimostrare che G ha almeno un sottogruppo normale non banale.
Allora, in base alle mie conoscenze lo risolverei dicendo che 595=5*7*17 quindi esistono p-sottogruppi di Sylow tali che
n5 conguro 1 (mod 5) e n5 deve dividere l'ordine di G, 595.
Lo stesso per n7 e n17, quindi
n7 congruo 1 (mod 7) e n17 congruo 1 (mod 17)
indicando con n5, n7 e n17 il possibile numero dei ...
Devo trovare il MCD tra $x^(5)-3x^(2)+4x-3$ e $x-2$. Applicando l'algoritmo euclideo ottengo:
$x^(5)-3x^(2)+4x-3=(x-2)(x^(4)+2x^(3)+4x^(2)+5x+14)+25$
$x-2=25(x/25)-2$
$25=-25/2(-2)+0$
E quindi il MCD dovrebbe essere -2..ma è mai possibile che il MCD sia negativo..?
Ho applicato anche Bezoùt, ma anche lì esce un campanellino d'allarme...forse il MCD è semplicemente 1?
Grazie a tutti...
trovare gcd tra $x^2-4x+3$ e $x^3-1$ in $Q[x]$ usando algoritmo euclideo
Soluzione
io so che $f=g*q1 +r1$
$g=r1*q2 +r2$ ecc ecc(formula 1.1)
per definizione l'ultimo resto non nullo è un dei gcd
come prima cosa scompongo i polinomi (avrei potuto anche dividere i 2 polinomi??)
f=$x^2-4x+3$ diventa $(x-3/2)(x-1)$
g=$x^3-1$ diventa $(x-1)(x^2+x+1)$
divido i due polinomi
$[(x-3/2)(x-1)]/[(x-1)(x^2+x+1)]$ ed ho $(x-3/2)/(x^2+x+1)$
questo è il ...
Buongiorno.
volevo chiedere conferma su un esercizio. Sicuramente è banale, ma visto che ancora non mi muovo bene, vorrei conferme per evitare di dire stupidaggini.
L'esercizio è il seguente:
Sia $ F_2 := ZZ/(2ZZ) $ e X un'indeterminata su $ F_2 $
a) sia $f(x)=x^2+x+bar(1) in F_2[x]$. Qual è la cardinalità di $ (F_2[x])/((f(x))) $
b) dimostrate che $(F_2[x])/((f(x)))$ è un campo.
allora...
per il punto b) avevo pensato che, dato che $f(x)=x^2+x+bar(1)$ è un irriducibile in $F_2[x]$ allora ...
Mi sta venendo un dubbio...il gruppo quoziente $D_4$/${1,r,r^(2),r^(3)}$ è isomorfo a ${1,-1}$ giusto? ma se una classe laterale è ${1,r,r^(2),r^(3)}$ come faccio per trovarmi l'altra?si posso andare per esclusione e quindi troverei ${s,rs,r^(2)s,r^(3)s}$.Ma se volessi un metodo più raffinato?grazie mille!!
Salve a tutti,
vorrei proporre un mio ragionamente, non sò se è corretto o meno.
Premetto al mio ragionamento alcune def. ed osservazioni:
$Def.$:dati gli insiemi $A$ e $B$, $A$ è uguale a $B$, ed inicasi con la scrittura $A=B$,$harr AAx:x in A harr x in B$
Questa def. mi porta a dire che l' insiemi $A={1,1,1,1,1,a,v,3}$ è uguale all'insieme $B={1,a,v,3}$
$Def.$: dati gli insiemi ...
Provare che $X^(5)+4X^(4)+4X+1$ appartiene all'ideale di $ZZ_5[X]$ generato da $2X^(3)+2X^(2)+1$
Scusate ma come devo procedere?non saprei proprio...
Io ho diviso $X^(5)+4X^(4)+4X+1$ per $2X^(3)+2X^(2)+1$ trovando che $X^(5)+4X^(4)+4X+1=(2X^(3)+2X^(2)+1)(3X^(2)-X)+X^(2)+4X+2$. Ma ora mi sono proprio bloccata...non capisco bene ciò che devo fare...dove devo arrivare!!
Grazie in anticipo per l'aiuto....davvero!
Buongiornoo!! volevo solo chiedere conferma sullo svolgimento di un esercizio sugli omomorfismi..
Quanti omomorfismi da f:G->H ci sono? con G=D4 e H=Q.
Allora D4= ($ 1, R, R^{2} , R^{3}, T, RT, R^{2}T, R^{3}T $ ), mentre Q = (+1,-1,+i,-i,+j,-j,+k,-k)
allora per determinare gli omomorfismi da D4 a Q...prendo in considerazione i sottogruppi di D4 che in tutto sono 6..i due banali più..H3= ($ 1, R, R^{2} , R^{3} $ ) , H4 = ($ 1,R^{2} $ ), H5= ($ 1, T $ ), H6= ($ 1, RT, R^{2}T, R^{3}T $ ).
Quindi ora procedo prendendo ...
Come faccio a determinare i polinomi di grado 5 in $Z_5[x]$ che sono multipli di $x^4-bar4$. Inoltre come mai questi polinomi ammettono necessariamente una radice in $Z_5$???
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