Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Salve di nuovo
Avrei un piccolo problema con un esercizio. Forse non riesco a vedere la soluzione, ma dopo ore e ore a studiare algebra sono un po' confusa.
L'esercizio dice:
Sia $f$ un polinomio irriducibile di $RR[x]$
a) Dimostrate che se $degf=1$, allora $(RR[x])/((f))$ è isomorfo a $RR$
b) Dimostrate che se $degf>1$, allora $(RR[x])/((f))$ è isomorfo a $CC$
Non so da dove iniziare. Studiare l'isomorfismo? Vedere dove ...
Quanti elementi ha l'anello $A=ZZ_5[X]$/$(X^3-2)$?
Io l'ho risolto in questo modo:
$A=ZZ_5[X]$/$(X^3-2)\congZZ_5[root(3)(2)]=a+b root(3)(2)$ e siccome a e b hanno valori in $ZZ_5$ la cardinalità dell'anello è 25. Va bene?
Grazie di nuovo...
PS poi chiede anche se $bar(X^7)=bar(-X)$ in A. Ma qui non so dove mettere mani.
Ciao, ho appena iniziato il corso di laurea in Fisica e mi sono trovato di fronte a un dubbio, riguardo ai seguenti simboli, che io interpreto così:
- $->$ sta per "allora" (usato prima di enunciare la tesi di un teorema, dopo l'ipotesi);
- $harr$ sta per "se e solo se" (usato prima di enunciare la tesi di un teorema, dopo l'ipotesi, nel caso in cui, appunto, la tesi è valida "se e solo se è valida l'ipotesi);
- $=>$ sta per "implica a livello logico" ...
Salve a tutti,
il mio prof. mi ha proposto alcuni esercizi di logica, seppure logica non la faccio, per avere dimestichezza con alcune def., questi esercizi sussitono nel negare le seguenti quantificazioni:
$EEx(x in A -> AAz(z in A -> z=x))$
$EEx(x in A -> AAz(z in A harr z=x))$
$EEx(x in A ^^ AAz(z in A -> z=x))$
$EEx(x in A ^^ AAz(z in A harr z=x))$
Io so che bisogna cambiare $AA$ con $EE$, ma non saprei come comportarmi dopo.. potreste suggerirmi qualcosa di modo che io possa capire il metodo?
Cordiali saluti
Ciao a tutti,
mi è venuto il seguente dubbio : Se ho due famiglie finite di insiemi $A$ e $B$ tali che $ A sube B $ e indico con $A_j , B_j, j=1,2,...,k$ i k insiemi contenuti nella famiglia $A$ e in quella $B$, posso dire che è vera anche l'affermazione
$\bigcap_(j =1) ^k A_j sube \bigcap_(j =1) ^k B_j $ ?
Per ora non ho in mente nessuna dimostrazione di questo, ma continuerò a pensarci..a dire la verità non so nemmeno se è vero in generale
Un saluto a tutta comunità ...
Salve!
Avrei di nuovo bisogno del vostro aiuto. Ho risolto alcuni esercizi e vorrei mi aiutaste a capire se sono fatti bene. Siate clementi se ho detto qualche grossa sciocchezza
Esercizio 1
Sia $ a in CC$ e si consideri la funzione
$F_a : QQ[x] rarr CC$
$f(x)rarr F_a(f(x)) = f(a)$
Mostrate che se $f(x)$ è un generatore di $KerF_a$, allora $f(x)$ è irriducibile in $QQ[x] $
Soluzione:
$ (QQ[x])/((f(x))) \sim CC $ (sarebbe isomorfo, ma non ho trovato il simbolo)
Dato ...
Problema. Dimostrare che $p(x)=x^4+x^3+x+1$ non è irriducibile su alcun campo $\mathbb{F}$.
A parte la formulazione un po' arzigogolata il problema chiede di dimostrare che $p(x)=x^4+x^3+x+1$ è riducibile su ogni campo. In caratteristica 0, non c'è problema: ammette come radice razionale $x=-1$ e quindi si spezza su $QQ$.
Per i campi finiti del tipo $ZZ/(pZZ)$ non ci dovrebbero essere altri problemi: il polinomio si fattorizza su $ZZ$ (perché ...
Ciao a tutti ,
ho da risolvere questo esercizio ma non riesco a capirci na mazza....
Sai $m in Z$ e $* : Z x Z => Z$ la legge di composizione interna definita $ AA x,y in Z $ da
$x*y = x+ m^2 y$
stabilire per quali valori di m l'operazione $ * $ è commutativa.
A. solo per m =0
B. solo per m = $\pm$ 1
C. m $!=$ 1
D. per nessun valore di ...
Ciao a tutti. Sto affrontando la dimostrazione del teorema di Kegel e Wielandt. Il teorema afferma che un gruppo finito prodotto di due sottogruppi nilpotenti è risolubile. Il teorema si divide in vari lemmi ed io sto avendo difficoltà con l'ultimo passaggio del primo di questi lemmi. Cerco di riassumervi un po' i passaggi fatti fino al punto, per me, cruciale.
Innanzitutto si suppone che il teorema sia falso e si considera il gruppo G, prodotto di due sottogruppi nilpotenti, non risolubile ...
devo mostrare che:
l'unico numero intero divisibile per ogni numero intero POSITIVO è 0.
dimostrare che l'unico numero intero divisibile per ogni numero intero è 0 è semplice, basta dire
sia $c in Z$ dire che c|0 significa che esiste $x in Z$ tale che 0=cx. basta prendere x=0 infatto c0=0 per ogni $c in Z$ e questo è ok...
non capisco come il positivo cambi la questione e come fare un'adeguata dimostrazione
Salve a tutti, volevo chiedere una delucidazione sull'uso dei teoremi di Sylow per classificare i gruppi, o meglio, un aiuto per riuscire a capire come sbrogliare alcune situazioni che al momento mi risultano complicate. Riporto 3 esercizi che in particolare non sono riuscito a completare.
1) Sia $G$ un gruppo di ordine 24 in cui nessun Sylow è normale.
a) Quanti sono i 2-Sylow e i 3-Sylow di $G$?
b) Dimostrare che l'intersezione di tutti i 2-Sylow di ...
Salve a tutti, domani mattina ho l'esame e vorrei sapere, se possibile entro stasera, (lo so sono in ritardo ma non si studia un esame alla volta) tre cose che in rete non ho trovato, e cioè queste tre dimostrazioni:
1)Se g o f è suriettiva allora lo è anche g.
2)Se g o f è iniettiva allora lo è anche f.
3)Se f e g sono suriettive allora lo è anche g o f.
So che sono bazzecole ma non mi raccapezzo più, grazie anticipatamente.
Ho un problema con quest'esercizio..
Sia G gruppo. Siano H e N 2 sottogruppi normali di G.
a) Dimostrare che HN: (hn: h appartiene ad H, n appartiene ad N) è un sottogruppo di G.
b) Dimostrare che se $ H nn N = (e) $ allora hn=nh per ogni h appartenente ad H, ed ogni n appartenente ad N.
c) Dimostrare che se $ H nn N = (e) $ allora HN è isomorfo ad H*N.
allora il primo punto l'ho svolto così:
Sia a= h1n1 e sia b=h2n2 quindi HN è sottogruppo di G se $ a(b)^(-1) $ appartiene ad ...
Il polinomio $3X^(3)+2X^(2)+1$ sta nell'ideale di $ZZ_8[X]$ generato da $X-4$?
Allora posso scrivere $3X^(3)+2X^(2)+1=(X+4)(3X^(2)+6X)+1$
Quindi $I=(X-4,1)$ giusto..?
E allora alla domanda cosa rispondo?Io direi che $x-4$ lo genera, anche se l'ideale non è principale. Corretto..?
Grazieeeeeeeeeeeeeeeee...
Provare che l'ideale $(X^2-4)nn(X^2-X-6)$ di $QQ[X]$ è pincipale e determinare un suo generatore.
Allora scompongo:
$(X^2-4)=(X-2)(X+2)$
$(X^2-X-6)=(X-3)(X+2)$
$mcm=(X-3)(X^2-4)=f(x)$
Posso dire che l'ideale è principae perchè è generato solo da $f(x)$?
Un suo generatore può essere $(X-3), (X-2)$ oppure $(X+2)$
Va bene..?Scusate ma ho bisogno di conferme per vedere se ho capito
Grazie...
Ciao ragazzi!! Esiste un modo per poter capire quante radici ha un polinomio negative e quante positive!? Ad esempio ho questo polinomio di cui devo scoprire quante radici sono positive e quante negative. Come faccio!?
-(lambda)^3 + [[(6pigreco +1)]/2pigreco]*lambda^2 + (2pigrecolambda - 2lambda)/pigreco + (1-2pigreco)/pigreco =0
Mi scuso per la scrittura ma sono nuova in questo forum
Salve vorrei un consiglio su questo esercizio :
Determina il numero di omomorfismi $ S3rarr S3 $ .
Considero tutti i sottogruppi normali di $ S3 $ che sono $ id $ , $ S3 $ , $ A3 $ e distinguo tre casi :
Se ker = $ S3 $ ho l'omomorfismo banale.
Se ker = $ A3 $ ho che $ (S3)/(A3) $ è isomorfo a $ Z2 $ e quindi gli omomorfismi $ Z2rarr S3 $ sono 4
Se ker = $ id $ cosa posso dire ? cambia ...
Ciao a tutti! Volevo chiedervi un aiuto per risolvere questo esercizio. Sia G un gruppo finito di ordine 595. Dimostrare che G ha almeno un sottogruppo normale non banale.
Allora, in base alle mie conoscenze lo risolverei dicendo che 595=5*7*17 quindi esistono p-sottogruppi di Sylow tali che
n5 conguro 1 (mod 5) e n5 deve dividere l'ordine di G, 595.
Lo stesso per n7 e n17, quindi
n7 congruo 1 (mod 7) e n17 congruo 1 (mod 17)
indicando con n5, n7 e n17 il possibile numero dei ...
Devo trovare il MCD tra $x^(5)-3x^(2)+4x-3$ e $x-2$. Applicando l'algoritmo euclideo ottengo:
$x^(5)-3x^(2)+4x-3=(x-2)(x^(4)+2x^(3)+4x^(2)+5x+14)+25$
$x-2=25(x/25)-2$
$25=-25/2(-2)+0$
E quindi il MCD dovrebbe essere -2..ma è mai possibile che il MCD sia negativo..?
Ho applicato anche Bezoùt, ma anche lì esce un campanellino d'allarme...forse il MCD è semplicemente 1?
Grazie a tutti...
trovare gcd tra $x^2-4x+3$ e $x^3-1$ in $Q[x]$ usando algoritmo euclideo
Soluzione
io so che $f=g*q1 +r1$
$g=r1*q2 +r2$ ecc ecc(formula 1.1)
per definizione l'ultimo resto non nullo è un dei gcd
come prima cosa scompongo i polinomi (avrei potuto anche dividere i 2 polinomi??)
f=$x^2-4x+3$ diventa $(x-3/2)(x-1)$
g=$x^3-1$ diventa $(x-1)(x^2+x+1)$
divido i due polinomi
$[(x-3/2)(x-1)]/[(x-1)(x^2+x+1)]$ ed ho $(x-3/2)/(x^2+x+1)$
questo è il ...
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