Un polinomio sempre riducibile (dall'Herstein)

[Paolo902]

Problema. Dimostrare che $p(x)=x^4+x^3+x+1$ non è irriducibile su alcun campo $\mathbb{F}$.

A parte la formulazione un po' arzigogolata il problema chiede di dimostrare che $p(x)=x^4+x^3+x+1$ è riducibile su ogni campo. In caratteristica 0, non c'è problema: ammette come radice razionale $x=-1$ e quindi si spezza su $QQ$.

Per i campi finiti del tipo $ZZ/(pZZ)$ non ci dovrebbero essere altri problemi: il polinomio si fattorizza su $ZZ$ (perché è primitivo e si fattorizza su $QQ$ o, se vogliamo, più brevemente $-1 \in ZZ$ ) e quindi posso "trasportare" la fattorizzazione in $ZZ_p$ (perchè il polinomio è monico e in particolare [tex]p \nmid 1[/tex]).

Domanda: per gli altri campi finiti (quelli con $p^n$ elementi, $n>1$)? Ho già finito? Ne dubito... Qualche idea, per piacere?
Grazie

[Studente Anonimo]

Beh, ma in caratteristica diversa da zero cosa cambia esattamente? Niente, mi pare

[Paolo902]

Mi sembrava troppo semplice, ecco tutto. Devo imparare ad avere meno timore dell'Herstein.

Praticamente, posso dire in estrema sintesi che il polinomio è sempre riducibile perchè $-1$ (che è una sua radice) sta in ogni campo (perchè è l'opposto di $1$)?

Non mi resta che scusarmi per la banalità della questione.
Grazie

[Studente Anonimo]

Esatto, la scrittura [tex]x^4+x^3+x+1 = (x+1)(x^3+1)[/tex] è 'vera' indipendentemente dalla caratteristica del campo base.