Esercizio macdonald
Salve a tutti! leggendo un libro di algebra commutativa ho trovato questo esercizio che non riesco a capire bene come si risolva, se $M,N$ sono un A- modulo e un B-modulo rispettivamente, e P è contemporaneamente un A-modulo che un B-modulo, allora ho che [tex](N \otimes_B P) \otimes_A M[/tex] e [tex]N \otimes_B (P \otimes_A M)[/tex] sono isomorfi, dove [tex]\otimes_A[/tex] è il prodotto tensore sull'anello A.. Non capisco proprio come funzionino le cose, il modulo di sinistra è un B-modulo e quello di destra un A-modulo, come fanno a essere isomorfi?
[xdom="Martino"]Sistemato usando "otimes".[/xdom]
[xdom="Martino"]Sistemato usando "otimes".[/xdom]
Risposte
Immagino che sia dato un omomorfismo strutturale [tex]A \to B[/tex], altrimenti non potresti vedere i B-moduli come A-moduli e in particolare il primo prodotto tensoriale che hai scritto non sarebbe ben definito.
Resta da chiarire quale sia la struttura di B-modulo su [tex]P \otimes_A M[/tex], che immagino essere [tex]b(p \otimes m) := bp \otimes m[/tex].
Detto questo, immagino che ti si richieda di dimostrare che quei due oggetti sono isomorfi come [tex]A[/tex]-moduli.
Resta da chiarire quale sia la struttura di B-modulo su [tex]P \otimes_A M[/tex], che immagino essere [tex]b(p \otimes m) := bp \otimes m[/tex].
Detto questo, immagino che ti si richieda di dimostrare che quei due oggetti sono isomorfi come [tex]A[/tex]-moduli.
Boh..qui non dicono che c'è un omomorfismo tra A e B..si per quanto riguarda la struttura di B-modulo di $P \otimes _A M$ è da intendersi in quel modo..forse si può dare una struttura di A-modulo a $N \otimes_B (P \otimes _A M)$ dicendo $a(n \otimes (p \otimes m))=n \otimes (ap \otimes m)$?.. l'isomorfismo da fare comunque è poco chiaro..PS:grazie per otimes!! =)
Sì scusa hai ragione, non servono omomorfismi [tex]A \to B[/tex], [tex]N \otimes_B P[/tex] ha struttura di A-modulo data da [tex]a(n \otimes p) := n \otimes ap[/tex]. Ora tutto e' chiaro. E in questo modo puoi vedere quei due oggetti sia come A-moduli che come B-moduli. Penso che puoi dimostrare che sono isomorfi sia come A-moduli che come B-moduli.
Io provavo a mandare $n\otimes (p \otimes m)$ in $(n \otimes p) \otimes m$, e poi estendere per linearità, però non è chiaro chi sia il ker di questa mappa... boh
UP!