Problemi con Sylow e Cauchy
Salve!
Sto (ri)studiando il teorema di Sylow e qualche sua ingegnosa applicazione alle dimostrazioni di non-semplicità di gruppi con certi ordini.
Per prima cosa - e qui devo essere io che sono rimbambito - non mi è chiaro come il teorema di Cauchy si deduca da quello di Sylow.
In secondo luogo, nella dimostrazione che non esistono gruppi semplici di ordine 300, Robinson, nel suo A course in the theory of groups, pag.40, arriva alla conclusione che devono necessariamente esistere 6 5-Sylow, e dunque l'ipotetico gruppo semplice G in questione contiene un sottogruppo (che immagino essere il normalizzante di uno qualsiasi di tali 5-Sylow, ditemi se sbaglio) di indice 6. E qui arriva il punto non chiaro: da qui deduce che G è isomorfo ad un sottogruppo del gruppo simmetrico su 6 oggetti. Come fa? L'unica cosa che mi è venuta in mente è usare il teorema che dice che se un gruppo G contiene un sottogruppo H di indice $n$, allora G quozientato il cuore di H in G è isomorfo a un sottogruppo del Sym su $n$ oggetti... ma mi sa che non si va molto lontano così.
Mi indichereste la retta via?
Sto (ri)studiando il teorema di Sylow e qualche sua ingegnosa applicazione alle dimostrazioni di non-semplicità di gruppi con certi ordini.
Per prima cosa - e qui devo essere io che sono rimbambito - non mi è chiaro come il teorema di Cauchy si deduca da quello di Sylow.
In secondo luogo, nella dimostrazione che non esistono gruppi semplici di ordine 300, Robinson, nel suo A course in the theory of groups, pag.40, arriva alla conclusione che devono necessariamente esistere 6 5-Sylow, e dunque l'ipotetico gruppo semplice G in questione contiene un sottogruppo (che immagino essere il normalizzante di uno qualsiasi di tali 5-Sylow, ditemi se sbaglio) di indice 6. E qui arriva il punto non chiaro: da qui deduce che G è isomorfo ad un sottogruppo del gruppo simmetrico su 6 oggetti. Come fa? L'unica cosa che mi è venuta in mente è usare il teorema che dice che se un gruppo G contiene un sottogruppo H di indice $n$, allora G quozientato il cuore di H in G è isomorfo a un sottogruppo del Sym su $n$ oggetti... ma mi sa che non si va molto lontano così.
Mi indichereste la retta via?
Risposte
"Lemniscata":Piglia un p-Sylow e un suo elemento non identico. Deve avere ordine una potenza di p. Una sua opportuna potenza ha ordine p.
non mi è chiaro come il teorema di Cauchy si deduca da quello di Sylow.
"Lemniscata":Come non si va molto lontano? E' tutto lì: nel tuo caso il cuore normale deve essere identico dato che il gruppo in questione è semplice.
da qui deduce che G è isomorfo ad un sottogruppo del gruppo simmetrico su 6 oggetti. Come fa? L'unica cosa che mi è venuta in mente è usare il teorema che dice che se un gruppo G contiene un sottogruppo H di indice $n$, allora G quozientato il cuore di H in G è isomorfo a un sottogruppo del Sym su $n$ oggetti... ma mi sa che non si va molto lontano così.
Caspiterina, avevo completamente messo da parte l'ipotesi che il gruppo fosse semplice, che stupido... quindi dato che il cuore normale del normalizzante (che non è tutto G perché ha indice maggiore di 1) è un sottogruppo normale proprio di G, per semplicità di G deve essere identico, dunque l'isomorfismo c'è eccome! Perfetto, grazie Martino!
Mi spiegheresti in due righe anche l'implicazione Sylow implica Cauchy? Non deve essere difficile ma in questo momento sono un po' obnubilato...
Mi spiegheresti in due righe anche l'implicazione Sylow implica Cauchy? Non deve essere difficile ma in questo momento sono un po' obnubilato...
Come volevasi dimostrare, oggi sono proprio rimba. Mi avevi già risposto prima, scusa!!! Grazie mille!!
In realtà ho "editato" l'intervento dopo pochi secondi. Comunque se ti interessa l'argomento vedi qui.
Scusate ancora. Adesso sono alle prese con i $\pi$-sottogruppi di Sylow di un gruppo G, ove $\pi$ è un certo insieme di primi.
Sempre il simpatico Robinson dice che tali sottogruppi sono dei $\pi$-sottogruppi (ossia sottogruppi tali che tutti i loro elementi abbiano ordini nella cui fattorizzazione compaiono solo primi in $\pi$) massimali nel gruppo G di partenza... ciò significa che sono dei $\pi$-sottogruppi propri che non sono contenuti in nessun $\pi$-sottogruppo proprio di G strettamente più grande di loro giusto?
Posto che quello che ho detto sia corretto, e vi prego di dirmi se ho capito bene, l'autore dice senza soffermarsi neanche un momento che tali $\pi$-Sylow esistono sempre, per ogni gruppo G. Come si dimostra questa asserzione?
Sempre il simpatico Robinson dice che tali sottogruppi sono dei $\pi$-sottogruppi (ossia sottogruppi tali che tutti i loro elementi abbiano ordini nella cui fattorizzazione compaiono solo primi in $\pi$) massimali nel gruppo G di partenza... ciò significa che sono dei $\pi$-sottogruppi propri che non sono contenuti in nessun $\pi$-sottogruppo proprio di G strettamente più grande di loro giusto?
Posto che quello che ho detto sia corretto, e vi prego di dirmi se ho capito bene, l'autore dice senza soffermarsi neanche un momento che tali $\pi$-Sylow esistono sempre, per ogni gruppo G. Come si dimostra questa asserzione?
Sì hai capito bene.
Più in generale data una proprietà PR che un gruppo può avere o meno, puoi sempre parlare di PR-sottogruppi massimali (risp. minimali) di un gruppo finito, definiti come sottogruppi con la proprietà PR non contenuti (risp. non contenenti) propriamente in nessun altro sottogruppo con la proprietà PR. Tali PR-massimali/minimali esistono sempre nei gruppi finiti che contengono almeno un PR-sottogruppo, per vederlo usi la finitezza come ho fatto sopra.
Nel caso ci stessi pensando, osserva che il lemma di Zorn applicato a un insieme finito si può effettivamente dimostrare. Quindi non serve.
"Lemniscata":Prendi un [tex]\pi[/tex]-sottogruppo, se non è massimale ne prendi uno che lo contiene, e continui così finché non ne trovi uno che non è contenuto propriamente in nessun altro [tex]\pi[/tex]-sottogruppo. Il processo si ferma per forza dato che [tex]G[/tex] è finito.
l'autore dice senza soffermarsi neanche un momento che tali $\pi$-Sylow esistono sempre, per ogni gruppo G. Come si dimostra questa asserzione?
Più in generale data una proprietà PR che un gruppo può avere o meno, puoi sempre parlare di PR-sottogruppi massimali (risp. minimali) di un gruppo finito, definiti come sottogruppi con la proprietà PR non contenuti (risp. non contenenti) propriamente in nessun altro sottogruppo con la proprietà PR. Tali PR-massimali/minimali esistono sempre nei gruppi finiti che contengono almeno un PR-sottogruppo, per vederlo usi la finitezza come ho fatto sopra.
Nel caso ci stessi pensando, osserva che il lemma di Zorn applicato a un insieme finito si può effettivamente dimostrare. Quindi non serve.
E per gruppi infiniti? Ha ancora senso parlare di $\pi$-sottogruppi e $\pi$-Sylow?
Se sì, mi spiegheresti in che modo si utilizza il Lemma di Zorn per dimostrare l'esistenza dei $\pi$-Sylow?
Se sì, mi spiegheresti in che modo si utilizza il Lemma di Zorn per dimostrare l'esistenza dei $\pi$-Sylow?
Se ne è parlato su scienzematematiche: qui. Immagino che con un argomento simile si facciano anche i "[tex]\pi[/tex]-Sylow".
Ok grazie proverò a vedere.
Mi sa che romperò ancora le scatole con altri dubbi, intanto grazie... infinite XD
Mi sa che romperò ancora le scatole con altri dubbi, intanto grazie... infinite XD
Ho letto il link e mi è parso molto chiaro, mi pare inoltre che fili tutto anche nel caso dei $\pi$-Sylow!!
Grazie ancora Martino! Ciao!
Grazie ancora Martino! Ciao!
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