Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
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Domande e risposte
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Buongiorno a tutti,
come da titolo, dovrei dimostrare che un polinomio ciclotomico è un polinomio a coefficienti interi.
Volevo chiedere se questa dimostrazione è valida.
Notazione
$\Phi_n(x) = $ n-esimo polinomio ciclotomico
Dimostrazione
caso base: $n=1$
$\Phi_1(x) = x-1 \in \mathbb{Z}[X]$
ipotesi induttiva fino a valori $< n$
passo induttivo
$x^n-1 = \prod_{d|n}\Phi_d(x) = \Phi_n(x)\prod_{d|n, d<n}\Phi_d(x) = \Phi_n(x)f$
per ipotesi induttiva $f \in \mathbb{Z}[X]$; questa è la divisione fatta in $\mathbb{C}[X]$, ed essendo il coefficiente ...
$AA x in N$, sia , $D(x)={y in N:$ y è un divisore di $x}$
i) si verifichi che $AA x in N, D(x)!=O/$, e si determini $AA x in N\{0}$, il max di $D(x)$
Per verificare che $AA x in N, D(x) != O/$ ho proceduto in questo modo:
Preso un $x in N$ es $n=8$, questo avrà come suo divisore $2$ oppure $4$ poichè: $n=b*c => 8=2*4, AA c in N$
quindi in definitiva:
$AA x in N, EE y in N : x=y*c, AAc in N$ (va bene???)
ii) inoltre dice, considerare la seguente ...
Siano $S={a,b}$ e $T={1,2}$ l'insieme di tutte le applicazioni $f:S->T$
i) Determinare quanti e quali sono gli elementi di X, specificando per ognuno l'immagine di a e b.
ii) Di tali applicazioni discutere iniettività e suriettività.
Come posso svolgere il quesito i)
posto $S={1,-1,2}$,si considerino in $SxS = S^2$ la seguente relazione:
$(a,b) pi (c,d) <=>a^2 + b^2 = c^2 + d^2$
determinare l'insieme quoziente di $S^2$ rispetto alla relazione di qeuivalenza $pi$,specificando il numero delle classi distinte e gli elementi di ognuna.In particolare,si dica se ci sono classi di ordine 1 o 2.
Qualcuno può aiutarmi a svolgere questo esercizio???
salve ragazzi, qualcuno ha una buona fonte sulla quale studiare i reticoli.
Ad esempio oggi la prof. ha detto una cosa del tipo:
Un reticoli isomorfo coincide con P(S) => una cosa del genere...
ma non è un argomento che trovo facilmente
Grazie anticiptamente
ragazzi, ho i seguenti polinomi:
$f=x^4-3x^2+2$ e $g=x^3-5x^2+7x-3$
Adesso dovrei calcolare il M.C.D, specifico che siamo in $Z_2$.
Adesso dovrei scomporre i polinomi.
In primis, ho espresso $f$ come $x^4+x^2$ in quanto $-3 in Z_2 = 1$ mentre $+2 in Z_2=0$ va bene?
g lo espresso così: $x^3+x^2+x+1$, vorrei sapere se è corretto, come continuo?
Sia $f:RR->RR$ un omomorfismo di anelli. Far vedere che f è l'applicazione identica.
Se 1 generasse tutto $RR$ avrei risolto per la proprieta $f(1)=1 di un omomorfismo ntra anelli. Ma in questo caso non è così. Come posso fare? Non riesco ad arrivarci...
Grazie mille....!!!
Ho il seguente polinomio $f(x)=x^3+x+2 in F[x]$ devo decomporlo in prodotto di fattori irriducibili nei seguenti casi:
1) $F=R$
2) $F=Z_2$
3) $F=Z_3$
4) $F=Z_7$
Nel primo caso mi trovo che -1 è radice del polinomio quindi $x^3+x+2 : x+1$ è uguale a:
$(x^2-x+2)(x+1)=f(x)$ In $R$ un polinomio è irriducibile se e solo se il grado del polinomio è 1 oppure se è di grado 2 con delta < 0, in questo caso $(x+1)$ è di grado 1, mentre ...
Come faccio a determinare un polinomio $f$ di grado=5 a coefficienti in $R$ che ammetta come radici gli elementi $+1,-1+2$ e che non si possa scrivere in $R[x] $come prodotto di fattori di primo grado(devo scriverlo direttamente come prodotto di fattori irriducibili)
in realtà se potessi scriverlo come prodotto di fattori di primo grado scriverei:
$(x+1)(x-1)(x-2)=x^3-2x-x+2$ ma poichè non posso e devo determinarlo con grado=5, come faccio?
Salve, questa già so che è una domanda banale ma vorrei sapere da voi la risposta (sperando in tempi brevi) per poi poter affrontare l'esame tra qualche giorno.
Per come la so io un insieme è ben ordinato se:
"Per ogni possibile sottoinsieme non vuoto, si può sempre stabilire l'elemento minimo secondo la relazione scelta".
La mia domanda partendo da ciò è:
Se io ho un insieme ed una relazione e non tutti gli elementi dell'insieme sono confrontabili, può quell'insieme secondo quella relazione ...
sia $K$ un campo e $F \subset K$ una sua estensione algebrica tramite il polinomio $P(x)$ di grado $n$
(quando dico che un'estensione è "tramite" un polinomio irriducibile $P(x)$, intendo dire che $F$ è isomorfo al quoziente dell'anello dei polinomi a coeficienti in $K$ sull'ideale generato da $P(x)$;
ad esempio, se $F= \mathbb Q[\sqrt{3}]$ e $K= \mathbb Q$ allora $P(x)= x^2-3=0$)
la mia domanda è:
è ...
Ho $f(x)=x^4+3x^3-x^2-2x+3$ e sia $A=QQ_(/f(x))$
Provare che $g(x)=\bar (X^2-1)$ è invertibile in $A$.
Io so che $\bar (X^2-1)$ è invertibile $\Leftrightarrow MCD(g(x),f(x))=1$
Svolgo l'algoritmo di Euclide, ma ottengo sempre 8 come ultimo resto. Quindi $\bar (g(x))$ non è invertibile. Giusto?
Sia R un anello. Far vedere che esiste un solo omomorfismo di anelli da $ZZ->R$
Qui non so proprio da dove iniziare...volevo utilizzare il teorema di omomorfismo ma non ci riesco...potete darmi qualche dritta..?vi ringrazio per il vostro costante aiuto!!!
ragazzi è giusto questo ragionamento:
Considerato il polinomio $f=x^4-4$, si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando le risposte.
i) esiste un campo F tale che $f in F[X]$ ammette in $F$ esattamente due radici distinte;
ii) esiste un campo F tale che $f in F[x]$ non ammette in $F$ nessuna radice;
iii) esiste un campo F tale che $f in F[x]$ sia irriducibile.
in $F=R$, il polinomio ...
Devo risolvere questo problema di pura logica , ma non credo di esserci riuscita . Mi date una mano ? per favore .
Problema :
Dimostrare la seguente ipotesi con l’ausilio delle informazioni date .
Ipotesi (da dimostrare) :
Solo i numeri interi che soddisfano la relazione $y$ soddisfano anche la relazione $z$
Informazioni :
1)$y$ e $z$ sono due relazioni astratte
2)Solo gli interi $1$ , $2$ , ...
Ho un grande dubbio circa un argomento XD Per esempio ho preso l'esercizio dello scorso appello d'esame:
Sia G il gruppo additivo $ ZZ 12 $ e sia H il suo gruppo moltiplicativo $ ZZ 12 $* . Quanti omomorfismi G->H ci sono? Quanti omomorfismi H->G ci sono?
Allora parto dal presupposto che entrambi sono abeliani, poi $ ZZ 12 $* è isomorfo al gruppo di Klein V4 e ha 4 elementi (1,5,7,11)
Ecco io ho provato a cercare esercizi simili su internet e alcuni li svolgono ...
Salve ragazzi,
dovrei determinare per quali interi $n in N^star$ sono vere le seguenti uguaglianze:
$[3]_n+[5]_n=[2]_n*[6]_n$
$[12]_n+[15]_n=[7]_n+[6]_n$
come svolgo questo tipo di esercizio?
grazie anticiptamente.
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano per trovare il numero di morfismi tra i seguenti gruppi, alcuni sono solo da controllare se sono giusti:
1) $ G $ gruppo ciclico di ordine 84 e $ ZZ_24 $
2) $ ZZ_168 $ e $ G $ gruppo ciclico di ordine 84
3) $ G $ gruppo ciclico di ordine 30 e $ H $ gruppo ciclico di ordine 10
4) $ ZZ $ e $ G $ gruppo ciclico di ordine 90
5) $ ZZ_4 $ e $ S_6 $ (gruppo ...
Sia $n>=2$. Dimostrare che $S_n$ contiene un sottogruppo isomorfo a $D_n$.
Potete aiutarmi?non sono molto brava a fare le dimostrazioni...Credo che basti dimostrare che $D_n \subset S_n$
Concettualmente l'ho capito, infatti i movimenti rigidi di un poligono regolare si possono pensare come permutazioni dei vertici, ma come faccio a dimostrarlo..?
Grazie per l'aiuto....
Dimostrare che per nessun $n>=3$ i gruppi $S_n$ e $A_nxZZ_2$ sono isomorfi.
Come al solito la cosa mi pare logica. Anche se hanno la stessa cardinalità i due gruppi se prendo:
-n=3
In $S_3$ ci sono 3 elementi di ordine 2, 2 elementi di ordine 3 e un elemento di ordine 1
In $A_nxZZ_2$ ci sono 2 elementi di ordine 3, 2 elementi di ordine 6, un elelemento di ordine 1 e un elemento di ordine 2
-n=4
In $S_4$ ci sono 9 elementi di ordine ...
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