Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ciao Ho il seguente esercizio di tutorato che mi manda un po' in crisi: Si consideri la funzione $f:Z_4→Z_(12)^xx$ definita ponendo $f([k])=[7]^k$ Per ognuna delle seguenti affermazioni scegliere se vera o falsa: #È ben definita. #È iniettiva. #È suriettiva. #Im(f) ha cardinalità 2. Il problema è che già mi areno sulla buona definizione (così come sull'iniettività) La buona def. richiederebbe di dimostrare che $[k]=[h] -> [7]^k=[7]^k$, ossia che ...

Sia \( K \) un campo, e sia \( V \) uno spazio vettoriale su \( K \). È noto che il gruppo moltiplicativo \( K^\times \) agisce sul gruppo \( \mathrm{GL}(V) \) degli automorfismi di \( V \) e che il gruppo proiettivo lineare, cioè il gruppo \( \mathbb P\mathrm{GL}(V) \) delle proiettività dello spazio proiettivo \( \mathbb P(V) \) su \( V \), è in biiezione con l'insieme \( \mathrm{GL}(V)/{K^\times} \) delle orbite per l'azione di \( K^\times \). Mi vien detto ...

Ciao Vorrei avere un parere sulla dimostrazione del principio della somma (insiemistica). In particolare stavo cercando una dimostrazione online sul perché della cardinlaità $|AUB|=|A|+|B|$ se A,B finiti disgiunti, il pdf di una università (quindi penso corretto) dimostra così: Posto per comodità $a:=|A|, b:=|B|$ poiché finiti A e B esistono biiezioni $alpha:I_a->A, beta:I_b->B$[nota]con $I_n={1,...,n}$[/nota] Possiamo definire: $f:I_(a+b)->AUB$ ponendo - $f(i):=alpha(i) if 1<=i<=a$ - ...

Buongiorno. Considero $(CC, +, cdot )$ campo dei numeri complessi, con $+ \qquad (a+bi)+(a'+b'i)=(a+a')+(b+b')i$$\qquad\qquadcdot \qquad (a+bi)cdot(a'+b'i)=(aa'-b\b')+(ab'+ba')i$ La professoressa ha introdotto $ZZ[sqrtd]:={a+bsqrt(d): a, b in ZZ}$ e ha dimostrato che è un sottoanello di $CC$ in questo modo $(a+bsqrtd)-(a'+b'sqrtd)=(a-a')+(b-b')sqrtd$ $(a+bsqrtd)(a'+b'sqrtd)=aa'+ab'sqrtd+ba'sqrtd+b\b'd=(aa'+b\b'd)+(ab'+ba')sqrtd$ Mi è chiara la verifica della stabilità rispetto alla somma, ma non la verifica della stabilità rispetto al prodotto. Sembra che abbia applicato la distributività, e non la definizione di prodotto data da "lei". Io quando devo ...

Buonasera. Sto leggendo la definizione di monoide fattoriale cioè$(S,cdot)$ fattoriale $:<\=\>$ 1) $(S,cdot)$ monoide commutativo regolare;2) $forall a in S$ tale che $a$ non invertibile si eprime come prodotto di irriducibili e se$a=p_1...p_s=q_1...q_t$ con $q_i, p_j$ irriducibili, si ha $s=t$ e, a meno dell'ordine $q_i $ ~ $ p_j$ Viene fornito come esempio: un gruppo abeliano è sempre un monoide fattoriale. Questo non ...

Ho alcuni dubbi sul perché la funzione 1) definita dal vuoto a B qualsiasi esista 2) definita da A a B=∅, esiste solo se A vuoto Dalla definizione di funzione avrei: per ogni a in A esiste unico b in B t.c (a,b) sta in f (con f relazione) 1) Ora analizzando il primo caso il prof dice che se A è vuoto allora poiché A×B=∅, f deve essere l'insieme vuoto e non ci dà problemi poché è verificata. Non capisco il perche di tale affermazione, devo forse intendere la definizione di funzione come una ...

Il polinomio minimo di un elemento algebrico $alpha$ su un campo è irriducibile,giusto? Come si può dimostrare l'unicità del polinomio minimo?

Ciao, vorrei porre una seconda domanda per capire come procede questa dimostrazione: Si vuole provare che: "Siano A e B insiemi finiti con |A|=|B|. Allora A⊆B ⇒A = B" la domanda che vorrei porre e mi confonde è la seguente: - non capisco se l'ipotesi sia che [ho |A|=|B| e quando ho anche A⊆B] allora [(tesi) A = B] - oppure se ho che [|A|=|B|] allora [(tesi) se A⊆B ⇒A = B] Vorrei chiedere: le due formulazioni sopra sono la stessa cosa? perché a me sembrano uguali ma non è così. Non riesco a ...

Sia $p(x)$ un polinomio di grado $n$ a coefficienti in $Q$ ed ivi irriducibile, sia $x_1$ una sua radice, e sia anche $E=Q(x_1)$ il suo campo di spezzamento, come potrei mostrare che esistono esattamente $n$ automorfismi $sigma$ di $E->E$ tali che $sigma(a)=a$ per ogni $a$ $in$ $Q$? Ovviamente la dimensione di $|E:Q|=n$ visto che il polinomio è ...

ciao a tutti, ho incontrato delle difficoltà in algebra spero qualcuno possa aiutarmi. dovrei provare se $x^p-px-1=0$ è irriducibile in Z. Eseinstein fallisce, non ho trovato raccoglimenti utili, nè sono riuscito a provarlo irriducibile su un qualche $Z_q$ con q primo (che mi permetterebbe di concludere), infine considerazioni sul grado del polinomio non sembrano efficaci perchè p è un generico primo. Come si potrebbe fare? Poi si chiedeva se è vero che un polinomio ...

Qual'è il gruppo di Galois del seguente polinomio $x^5-3x^3 -x^2 +2x+2$, se non sbaglio risulta irriducibile in $Q$, dovrei provare ad ricercare qualche soluzione e scomporlo?

Buongiorno, provando con alcuni primi $p$ piccoli, vedo che, per ogni \(c\in\{1,\dots,p-2\}\), il più piccolo $l_c$ tale che: \[\sum_{k=0}^{l_c-1}(-c)^k\equiv 0\pmod p\] è un divisore di $p-1$, e che, per alcuni \(c\in\{1,\dots,p-2\}\), esso è proprio $p-1$. Ad esempio, per $p=5$: \[ \begin{alignat*}{2} &c=1\colon\space\space 1-1\equiv 0\pmod 5 &&\Longrightarrow l_1=2\mid (5-1) \\ &c=2\colon\space\space 1-2+4-8\equiv 0\pmod 5 ...

Ciao Vorrei dimostrare che: "dato il polinomio $f in RR[x]$ di grado 1 o 2 con $Delta<0$ => irriducibile" Riprendendo la definizione di irriducibile data so che: f è irriducibile se 1) $f!=0$ 2) f non appartiene a $A[x]^(xx)$ 3) f ha solo divisori impropri Ricordo anche la definizione di divisore imporprio g con g|f: Dato l'anello A con unità e $f,g in A[x]$ diciamo g divisore improprio di f se $g in A[x]^(xx) or (g|f and f|g)$ ossia in altre parole ...

Non riesco a capire il seguente teorema, potreste darmi un piccolo aiuto? Siano $F$ ed $F'$ due campi isomorfi con rispettivamente $E$ ed $E'$ campi di spezzamento dei polinomi $f$ $in$ $F[x]$, ed $f'$ $in$ $F'[x]$ Supponiamo che ogni fattore irriducibile di $f$ abbia radici distinte in $E$.Allora il numero di isomorfismi ...

Se \( R \) è un anello (non necessariamente commutativo) e \( B \) è un \( R \)-modulo sinistro e \( C \) è un gruppo abeliano, in che senso \( \hom_\mathbb Z(B,C) \) è un modulo? Lore: se ho, oltre a \( B \), un \( R \)-modulo destro \( A \) e un'applicazione \( \beta\colon A\times B\to C \) tale che \[ \begin{aligned} \beta(a + a^\prime,b) &= \beta(a,b) + \beta(a^\prime,b)\\ \beta(a,b + b^\prime) &= \beta(a,b) + \beta(a,b^\prime)\\ \beta(ar,b) &= \beta(,rb) \end{aligned} \] ogni volta che \( ...

Ciao a tutti, vorrei tediarvi con una domanda banalotta ma dalla cui non comprensione capisco che c'è qualcosa di fondamentale che non mi torna e vorrei mettervi rimedio. Stavo leggendo riguardo le serie formali, o meglio l'anello delle serie formali di potenze in x $A[[x]]$, esso dovrebbe avere un sottoanello $A[x]$ definito come l’insieme delle serie formali a coefficienti in A in una indeterminata x aventi un numero finito di coefficienti non nulli. Ora, questo vuol ...

Sera, c'è un passaggio che non capisco di una dimostrazione per sottogruppi normali di algebra 1 piuttosto semplice che credo proprio di non afferrare. Quel che si vuole dimostrare è che dato per hp G gruppo e che per ogni $g in G, gH=Hg$ (ove gH e Hg sono le classi laterali sx e dx di g) allora la relazione $≡_H^l$ è compatibile (ossia $x≡_H^lx' and y≡_H^ly' <=> x*y≡_H^lx'*y'$) DIM: voglio dimostrare che $x*y≡_H^lx'*y'$ partendo da (vere) $x≡_H^lx' and y≡_H^ly'$, ora essendo per def. $x*y≡_H^lx'*y'$ ...

Salve, ho un dubbio sulla questione del titolo La dimostrazione che ogni campo sia dominio di integrità procede dalla definizione di dominio: $a*b=0 -> a=0 or b=0$ Quindi poiché campo $1*b=a^-1*a*b=a*a^-1*b=a^-1*0=0$ quinid b=0. Oss: la seconda uguaglianza sfrutta la definizione di inverso ma essendo campo e commutativo e verificata automaticamente. Sembra quindi che sia utile la commutatività. Tuttavia ecco il dubbio, mi sembra valga anche l'asserto A corpo => A dominio di integrità Se io prendo la ...

Sia $p(x)$ un polinomio di grado $n$ irriducibile in $Q$,ed $E$ il suo campo di spezzamento, allora esistono esattamente $|E:Q|$ automorfismi di $E$ in $E$ che fissano ogni elemento in $Q$. Se prendiamo un polinomio di secondo grado irriducibile,ad esempio $x^2-2$ con radici $sqrt(2),-sqrt(2)$ risulta banalmente vero, infatti il campo di spezzamento risulta $E=Q(sqrt(2)) $ ed una ...

Cerco aiuto con questo esercizio. Sia $A$ un anello unitario con la proprietà che il gruppo delle unità $A^{\times}$ è centrale. Dimostrare che gli idempotenti di $A$ sono anche centrali. So fare questo: per un idempotente $e\in A$, l’elemento $2e-1$ è invertibile. E quindi $2e$ è centrale. Ma $e$ stesso?