Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Salve ragazzi! Mi sono imbattuto in qualche quiz di logica che francamente non riesco a risolvere, sono semplici eppure ho tanti dubbi che non mi permettono di venirne a capo, potreste aiutarmi spiegandomi il procedimento che utilizzate per arrivare alla soluzione? Sarebbe molto importante perché capirne la meccanica mi aiuterebbe ad affrontare un test che si terrà tra qualche mese... QUIZ 1 Antonio vuole far entrare tutte le sue pecore nel recinto dell'ovile. Inizialmente fa entrare 9 pecore ...

Ciao Ho il seguente esercizio di tutorato che mi manda un po' in crisi: Si consideri la funzione $f:Z_4→Z_(12)^xx$ definita ponendo $f([k])=[7]^k$ Per ognuna delle seguenti affermazioni scegliere se vera o falsa: #È ben definita. #È iniettiva. #È suriettiva. #Im(f) ha cardinalità 2. Il problema è che già mi areno sulla buona definizione (così come sull'iniettività) La buona def. richiederebbe di dimostrare che $[k]=[h] -> [7]^k=[7]^k$, ossia che ...

Sia \( K \) un campo, e sia \( V \) uno spazio vettoriale su \( K \). È noto che il gruppo moltiplicativo \( K^\times \) agisce sul gruppo \( \mathrm{GL}(V) \) degli automorfismi di \( V \) e che il gruppo proiettivo lineare, cioè il gruppo \( \mathbb P\mathrm{GL}(V) \) delle proiettività dello spazio proiettivo \( \mathbb P(V) \) su \( V \), è in biiezione con l'insieme \( \mathrm{GL}(V)/{K^\times} \) delle orbite per l'azione di \( K^\times \). Mi vien detto ...

Ciao Vorrei avere un parere sulla dimostrazione del principio della somma (insiemistica). In particolare stavo cercando una dimostrazione online sul perché della cardinlaità $|AUB|=|A|+|B|$ se A,B finiti disgiunti, il pdf di una università (quindi penso corretto) dimostra così: Posto per comodità $a:=|A|, b:=|B|$ poiché finiti A e B esistono biiezioni $alpha:I_a->A, beta:I_b->B$[nota]con $I_n={1,...,n}$[/nota] Possiamo definire: $f:I_(a+b)->AUB$ ponendo - $f(i):=alpha(i) if 1<=i<=a$ - ...

Buongiorno. Considero $(CC, +, cdot )$ campo dei numeri complessi, con $+ \qquad (a+bi)+(a'+b'i)=(a+a')+(b+b')i$$\qquad\qquadcdot \qquad (a+bi)cdot(a'+b'i)=(aa'-b\b')+(ab'+ba')i$ La professoressa ha introdotto $ZZ[sqrtd]:={a+bsqrt(d): a, b in ZZ}$ e ha dimostrato che è un sottoanello di $CC$ in questo modo $(a+bsqrtd)-(a'+b'sqrtd)=(a-a')+(b-b')sqrtd$ $(a+bsqrtd)(a'+b'sqrtd)=aa'+ab'sqrtd+ba'sqrtd+b\b'd=(aa'+b\b'd)+(ab'+ba')sqrtd$ Mi è chiara la verifica della stabilità rispetto alla somma, ma non la verifica della stabilità rispetto al prodotto. Sembra che abbia applicato la distributività, e non la definizione di prodotto data da "lei". Io quando devo ...

Buonasera. Sto leggendo la definizione di monoide fattoriale cioè$(S,cdot)$ fattoriale $:<\=\>$ 1) $(S,cdot)$ monoide commutativo regolare;2) $forall a in S$ tale che $a$ non invertibile si eprime come prodotto di irriducibili e se$a=p_1...p_s=q_1...q_t$ con $q_i, p_j$ irriducibili, si ha $s=t$ e, a meno dell'ordine $q_i $ ~ $ p_j$ Viene fornito come esempio: un gruppo abeliano è sempre un monoide fattoriale. Questo non ...

Ho alcuni dubbi sul perché la funzione 1) definita dal vuoto a B qualsiasi esista 2) definita da A a B=∅, esiste solo se A vuoto Dalla definizione di funzione avrei: per ogni a in A esiste unico b in B t.c (a,b) sta in f (con f relazione) 1) Ora analizzando il primo caso il prof dice che se A è vuoto allora poiché A×B=∅, f deve essere l'insieme vuoto e non ci dà problemi poché è verificata. Non capisco il perche di tale affermazione, devo forse intendere la definizione di funzione come una ...

Il polinomio minimo di un elemento algebrico $alpha$ su un campo è irriducibile,giusto? Come si può dimostrare l'unicità del polinomio minimo?

Ciao, vorrei porre una seconda domanda per capire come procede questa dimostrazione: Si vuole provare che: "Siano A e B insiemi finiti con |A|=|B|. Allora A⊆B ⇒A = B" la domanda che vorrei porre e mi confonde è la seguente: - non capisco se l'ipotesi sia che [ho |A|=|B| e quando ho anche A⊆B] allora [(tesi) A = B] - oppure se ho che [|A|=|B|] allora [(tesi) se A⊆B ⇒A = B] Vorrei chiedere: le due formulazioni sopra sono la stessa cosa? perché a me sembrano uguali ma non è così. Non riesco a ...

Sia $p(x)$ un polinomio di grado $n$ a coefficienti in $Q$ ed ivi irriducibile, sia $x_1$ una sua radice, e sia anche $E=Q(x_1)$ il suo campo di spezzamento, come potrei mostrare che esistono esattamente $n$ automorfismi $sigma$ di $E->E$ tali che $sigma(a)=a$ per ogni $a$ $in$ $Q$? Ovviamente la dimensione di $|E:Q|=n$ visto che il polinomio è ...

ciao a tutti, ho incontrato delle difficoltà in algebra spero qualcuno possa aiutarmi. dovrei provare se $x^p-px-1=0$ è irriducibile in Z. Eseinstein fallisce, non ho trovato raccoglimenti utili, nè sono riuscito a provarlo irriducibile su un qualche $Z_q$ con q primo (che mi permetterebbe di concludere), infine considerazioni sul grado del polinomio non sembrano efficaci perchè p è un generico primo. Come si potrebbe fare? Poi si chiedeva se è vero che un polinomio ...

Qual'è il gruppo di Galois del seguente polinomio $x^5-3x^3 -x^2 +2x+2$, se non sbaglio risulta irriducibile in $Q$, dovrei provare ad ricercare qualche soluzione e scomporlo?

Buongiorno, provando con alcuni primi $p$ piccoli, vedo che, per ogni \(c\in\{1,\dots,p-2\}\), il più piccolo $l_c$ tale che: \[\sum_{k=0}^{l_c-1}(-c)^k\equiv 0\pmod p\] è un divisore di $p-1$, e che, per alcuni \(c\in\{1,\dots,p-2\}\), esso è proprio $p-1$. Ad esempio, per $p=5$: \[ \begin{alignat*}{2} &c=1\colon\space\space 1-1\equiv 0\pmod 5 &&\Longrightarrow l_1=2\mid (5-1) \\ &c=2\colon\space\space 1-2+4-8\equiv 0\pmod 5 ...

Ciao Vorrei dimostrare che: "dato il polinomio $f in RR[x]$ di grado 1 o 2 con $Delta<0$ => irriducibile" Riprendendo la definizione di irriducibile data so che: f è irriducibile se 1) $f!=0$ 2) f non appartiene a $A[x]^(xx)$ 3) f ha solo divisori impropri Ricordo anche la definizione di divisore imporprio g con g|f: Dato l'anello A con unità e $f,g in A[x]$ diciamo g divisore improprio di f se $g in A[x]^(xx) or (g|f and f|g)$ ossia in altre parole ...

Non riesco a capire il seguente teorema, potreste darmi un piccolo aiuto? Siano $F$ ed $F'$ due campi isomorfi con rispettivamente $E$ ed $E'$ campi di spezzamento dei polinomi $f$ $in$ $F[x]$, ed $f'$ $in$ $F'[x]$ Supponiamo che ogni fattore irriducibile di $f$ abbia radici distinte in $E$.Allora il numero di isomorfismi ...

Se \( R \) è un anello (non necessariamente commutativo) e \( B \) è un \( R \)-modulo sinistro e \( C \) è un gruppo abeliano, in che senso \( \hom_\mathbb Z(B,C) \) è un modulo? Lore: se ho, oltre a \( B \), un \( R \)-modulo destro \( A \) e un'applicazione \( \beta\colon A\times B\to C \) tale che \[ \begin{aligned} \beta(a + a^\prime,b) &= \beta(a,b) + \beta(a^\prime,b)\\ \beta(a,b + b^\prime) &= \beta(a,b) + \beta(a,b^\prime)\\ \beta(ar,b) &= \beta(,rb) \end{aligned} \] ogni volta che \( ...

Ciao a tutti, vorrei tediarvi con una domanda banalotta ma dalla cui non comprensione capisco che c'è qualcosa di fondamentale che non mi torna e vorrei mettervi rimedio. Stavo leggendo riguardo le serie formali, o meglio l'anello delle serie formali di potenze in x $A[[x]]$, esso dovrebbe avere un sottoanello $A[x]$ definito come l’insieme delle serie formali a coefficienti in A in una indeterminata x aventi un numero finito di coefficienti non nulli. Ora, questo vuol ...

Sera, c'è un passaggio che non capisco di una dimostrazione per sottogruppi normali di algebra 1 piuttosto semplice che credo proprio di non afferrare. Quel che si vuole dimostrare è che dato per hp G gruppo e che per ogni $g in G, gH=Hg$ (ove gH e Hg sono le classi laterali sx e dx di g) allora la relazione $≡_H^l$ è compatibile (ossia $x≡_H^lx' and y≡_H^ly' <=> x*y≡_H^lx'*y'$) DIM: voglio dimostrare che $x*y≡_H^lx'*y'$ partendo da (vere) $x≡_H^lx' and y≡_H^ly'$, ora essendo per def. $x*y≡_H^lx'*y'$ ...

Salve, ho un dubbio sulla questione del titolo La dimostrazione che ogni campo sia dominio di integrità procede dalla definizione di dominio: $a*b=0 -> a=0 or b=0$ Quindi poiché campo $1*b=a^-1*a*b=a*a^-1*b=a^-1*0=0$ quinid b=0. Oss: la seconda uguaglianza sfrutta la definizione di inverso ma essendo campo e commutativo e verificata automaticamente. Sembra quindi che sia utile la commutatività. Tuttavia ecco il dubbio, mi sembra valga anche l'asserto A corpo => A dominio di integrità Se io prendo la ...

Sia $p(x)$ un polinomio di grado $n$ irriducibile in $Q$,ed $E$ il suo campo di spezzamento, allora esistono esattamente $|E:Q|$ automorfismi di $E$ in $E$ che fissano ogni elemento in $Q$. Se prendiamo un polinomio di secondo grado irriducibile,ad esempio $x^2-2$ con radici $sqrt(2),-sqrt(2)$ risulta banalmente vero, infatti il campo di spezzamento risulta $E=Q(sqrt(2)) $ ed una ...