Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Sia $p(x)$ un polinomio di grado $n$ a coefficienti in $Q$ ed ivi irriducibile, sia $x_1$ una sua radice, e sia anche $E=Q(x_1)$ il suo campo di spezzamento, come potrei mostrare che esistono esattamente $n$ automorfismi $sigma$ di $E->E$ tali che $sigma(a)=a$ per ogni $a$ $in$ $Q$?
Ovviamente la dimensione di $|E:Q|=n$ visto che il polinomio è ...
ciao a tutti, ho incontrato delle difficoltà in algebra spero qualcuno possa aiutarmi.
dovrei provare se $x^p-px-1=0$ è irriducibile in Z. Eseinstein fallisce, non ho trovato raccoglimenti utili, nè sono riuscito a provarlo irriducibile su un qualche $Z_q$ con q primo (che mi permetterebbe di concludere), infine considerazioni sul grado del polinomio non sembrano efficaci perchè p è un generico primo. Come si potrebbe fare?
Poi si chiedeva se è vero che un polinomio ...
Qual'è il gruppo di Galois del seguente polinomio $x^5-3x^3 -x^2 +2x+2$, se non sbaglio risulta irriducibile in $Q$, dovrei provare ad ricercare qualche soluzione e scomporlo?
Buongiorno,
provando con alcuni primi $p$ piccoli, vedo che, per ogni \(c\in\{1,\dots,p-2\}\), il più piccolo $l_c$ tale che: \[\sum_{k=0}^{l_c-1}(-c)^k\equiv 0\pmod p\] è un divisore di $p-1$, e che, per alcuni \(c\in\{1,\dots,p-2\}\), esso è proprio $p-1$. Ad esempio, per $p=5$:
\[
\begin{alignat*}{2}
&c=1\colon\space\space 1-1\equiv 0\pmod 5 &&\Longrightarrow l_1=2\mid (5-1) \\
&c=2\colon\space\space 1-2+4-8\equiv 0\pmod 5 ...
Ciao
Vorrei dimostrare che: "dato il polinomio $f in RR[x]$ di grado 1 o 2 con $Delta<0$ => irriducibile"
Riprendendo la definizione di irriducibile data so che: f è irriducibile se
1) $f!=0$
2) f non appartiene a $A[x]^(xx)$
3) f ha solo divisori impropri
Ricordo anche la definizione di divisore imporprio g con g|f: Dato l'anello A con unità e $f,g in A[x]$ diciamo g divisore improprio di f se $g in A[x]^(xx) or (g|f and f|g)$ ossia in altre parole ...
Non riesco a capire il seguente teorema, potreste darmi un piccolo aiuto?
Siano $F$ ed $F'$ due campi isomorfi con rispettivamente $E$ ed $E'$ campi di spezzamento dei polinomi $f$ $in$ $F[x]$, ed $f'$ $in$ $F'[x]$ Supponiamo che ogni fattore irriducibile di $f$ abbia radici distinte in $E$.Allora il numero di isomorfismi ...
Se \( R \) è un anello (non necessariamente commutativo) e \( B \) è un \( R \)-modulo sinistro e \( C \) è un gruppo abeliano, in che senso \( \hom_\mathbb Z(B,C) \) è un modulo?
Lore: se ho, oltre a \( B \), un \( R \)-modulo destro \( A \) e un'applicazione \( \beta\colon A\times B\to C \) tale che
\[
\begin{aligned}
\beta(a + a^\prime,b) &= \beta(a,b) + \beta(a^\prime,b)\\
\beta(a,b + b^\prime) &= \beta(a,b) + \beta(a,b^\prime)\\
\beta(ar,b) &= \beta(,rb)
\end{aligned}
\] ogni volta che \( ...
Ciao a tutti, vorrei tediarvi con una domanda banalotta ma dalla cui non comprensione capisco che c'è qualcosa di fondamentale che non mi torna e vorrei mettervi rimedio.
Stavo leggendo riguardo le serie formali, o meglio l'anello delle serie formali di potenze in x $A[[x]]$, esso dovrebbe avere un sottoanello $A[x]$ definito come l’insieme delle serie formali a coefficienti in A in una indeterminata x aventi un numero finito di coefficienti non nulli.
Ora, questo vuol ...
Sera, c'è un passaggio che non capisco di una dimostrazione per sottogruppi normali di algebra 1 piuttosto semplice che credo proprio di non afferrare.
Quel che si vuole dimostrare è che dato per hp G gruppo e che per ogni $g in G, gH=Hg$ (ove gH e Hg sono le classi laterali sx e dx di g) allora la relazione $≡_H^l$ è compatibile (ossia $x≡_H^lx' and y≡_H^ly' <=> x*y≡_H^lx'*y'$)
DIM:
voglio dimostrare che $x*y≡_H^lx'*y'$ partendo da (vere) $x≡_H^lx' and y≡_H^ly'$, ora essendo per def.
$x*y≡_H^lx'*y'$ ...
Salve, ho un dubbio sulla questione del titolo
La dimostrazione che ogni campo sia dominio di integrità procede dalla definizione di dominio: $a*b=0 -> a=0 or b=0$
Quindi poiché campo $1*b=a^-1*a*b=a*a^-1*b=a^-1*0=0$ quinid b=0. Oss: la seconda uguaglianza sfrutta la definizione di inverso ma essendo campo e commutativo e verificata automaticamente.
Sembra quindi che sia utile la commutatività.
Tuttavia ecco il dubbio, mi sembra valga anche l'asserto
A corpo => A dominio di integrità
Se io prendo la ...
Sia $p(x)$ un polinomio di grado $n$ irriducibile in $Q$,ed $E$ il suo campo di spezzamento, allora esistono esattamente $|E:Q|$ automorfismi di $E$ in $E$ che fissano ogni elemento in $Q$.
Se prendiamo un polinomio di secondo grado irriducibile,ad esempio $x^2-2$ con radici $sqrt(2),-sqrt(2)$ risulta banalmente vero, infatti il campo di spezzamento risulta $E=Q(sqrt(2)) $ ed una ...
Cerco aiuto con questo esercizio.
Sia $A$ un anello unitario con la proprietà che il gruppo delle unità $A^{\times}$ è centrale.
Dimostrare che gli idempotenti di $A$ sono anche centrali.
So fare questo: per un idempotente $e\in A$, l’elemento $2e-1$ è invertibile. E quindi $2e$ è centrale. Ma $e$ stesso?
Mi chiedevo se questa proposizione valesse anche su un generico insieme \(X\)
"3m0o":
Proposizione: Un filtro su \( \mathbb{N} \) è un ultrafiltro se e solo se è partition regular, i.e. se \( A = C_1 \cup \ldots \cup C_k \) allora esiste \( 1 \leq i \leq k \) tale che \( C_i \in F \).
Cioè prendendo un ultrafiltro su \(X\), perché mi si chiede di dimostrare che dati due ultrafiltri su \( \mathbb{N} \) allora di dimostrare che \( p \rtimes q = \{ A \subseteq \mathbb{N} ...
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Studente Anonimo
9 nov 2021, 14:47
Ciao
In questa domenica vorrei chiacchierare con qualcuno riguardo un dubbio che mi attanaglia su una dimostrazione/osservazione che ho letto negli appunti.
L'osservazione dovrebbe mostrare che ogni permutazione $pi$ ha un ordine e ho ciclicità.
Divido le considerazioni in due parti utili per i dubbi che scriverò
1) Poiché il gruppo simmetrico $S_n$ cui $pi$ appartiene è finito allora ho (ripetizione): $pi^r=pi^s$ con $r in [0,s)$.
Data la ...
Ciao a tutti!
E' da qualche giorno che cerco di dimostrare a tempo perso che gli unici sottogruppi invarianti del gruppo ciclico di ordine N \(\displaystyle \mathbb{Z}_N\) sono gli \(\displaystyle \mathbb{Z}_q \) per ogni q divisore intero di N $q|N$.
Che questi insiemi funzionino come sottogruppi (chiaramente invarianti per l'abelianità del gruppo ciclico!) è ovvio. Per dimostrare che sono gli unici ho provato a lavorare nella rappresentazione \(\displaystyle g_n=(g_1)^n, ...
Sia \(p \) un ultrafiltro non principale su \( \mathbb{N} \).
a) Dimostra che per ogni \( A \in p \rtimes p \) esiste un insieme infinito \( Y \subseteq \mathbb{N} \) con \( Y^{(2)} \subseteq A \), dove identifichiamo \( \{ n,m\} \in Y^{(2)} \) con \( (\min(n,m),\max(n,m) ) \in \mathbb{N}^2 \).
Hint: costruisci l'insieme \(Y = \{ y_1,y_2,\ldots \} \) induttivamente prendendo \( y_1 \in A_p \), \( y_2 \in A_p \cap A_{y_1} \), \( y_3 \in A_p \cap A_{y_1} \cap A_{y_2} \), etc.
b) Usa a) per dare ...
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Studente Anonimo
9 nov 2021, 17:07
Vorrei fare una domanda. Mi hanno definito gli ultrafiltri su \( \mathbb{N} \) così
Una famiglia \( F \) non vuota di sottoinsiemi di \( \mathbb{N} \) è chiamata filtro se
i) \( \emptyset \not\in F \)
ii) \(F\) è chiusa rispetto ai superset, ovvero se \( A \in F \) e \( A \subset B \) allora \( B \in F \).
iii) \(F\) ha la proprietà dell'intersezione finita, i.e. se \(A , B \in F \) allora \( A \cap B \in F \)
Un filtro \(F\) è detto un ultrafiltro se
iv) \(F\) è massimale nel senso che nessun ...
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Studente Anonimo
6 nov 2021, 17:18
Mi chiedevo se per un polinomio generico irriducibile in $Q$ di terzo grado quindi con gruppo di Galois $S_3$ una base del suo campo di spezzamento risulta scritta per esteso ${1,x_1,x_1^2, x_2,x_1x_2,x_1^2x_2}$ quale sarà per un polinomio generico di quarto grado irriducibile in $Q$ con gruppo di Galois $S_4$, con soluzioni $x_1,x_2,x_3,x_4$?
Ho un problema con questa definizione:
(src: Joyal, André. Une théorie combinatoire des séries formelles. Advances in mathematics 42.1 (1981): 1-82.; pagina 8, inizio della §2)
In particolare: $R$ non può avere caratteristica positiva, perché $n!$ non è sempre invertibile in caratteristica positiva (in effetti, è vera una cosa drammatica: se la caratteristica di $R$ è $d$, \(d! \cdot 1_R\) non può essere un'unità...)
Poi, perché si ...
In un processo industriale deve essere verificato il corretto funzionamento di una tastiera con sei tasti. La tastiera dispone di connessioni elettriche in grado di stabilire se e quale tasto viene premuto. Scopo della verifica è stabilire che ogni tasto attivi l’uscita dovuta e non attivi nessuna delle altre. Tutto semplice, direte voi: si premono i sei tasti in sequenza e si verifica che a ogni pressione corrisponda il (solo) tasto corretto. Certo, ma c’è anche un metodo più furbo: premendo i ...
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