Idempotenti centrali
Cerco aiuto con questo esercizio.
Sia $A$ un anello unitario con la proprietà che il gruppo delle unità $A^{\times}$ è centrale.
Dimostrare che gli idempotenti di $A$ sono anche centrali.
So fare questo: per un idempotente $e\in A$, l’elemento $2e-1$ è invertibile. E quindi $2e$ è centrale. Ma $e$ stesso?
Sia $A$ un anello unitario con la proprietà che il gruppo delle unità $A^{\times}$ è centrale.
Dimostrare che gli idempotenti di $A$ sono anche centrali.
So fare questo: per un idempotente $e\in A$, l’elemento $2e-1$ è invertibile. E quindi $2e$ è centrale. Ma $e$ stesso?
Risposte
E' un argomento un po' convoluto, non so se esiste una dimostrazione diretta; le condizioni seguenti sono equivalenti, se \(e\in R\) è idempotente. Prova a dimostrare questo.
1. $e$ è centrale, cioè $ea=ae$ per ogni \(a\in R\);
2. $er=re$ per ogni elemento invertibile $r$ dell'anello;
3. $er=re$ per ogni elemento nilpotente $r$ dell'anello.
1. $e$ è centrale, cioè $ea=ae$ per ogni \(a\in R\);
2. $er=re$ per ogni elemento invertibile $r$ dell'anello;
3. $er=re$ per ogni elemento nilpotente $r$ dell'anello.
1. $\Rightarrow$ 2. $Rightarrow$ 3. è facile.
2. $Rightarrow$ 1. è la mia domanda.
Stai dicendo che la strada da seguire è di dimostrare 3. $Rightarrow$ 1.?
2. $Rightarrow$ 1. è la mia domanda.
Stai dicendo che la strada da seguire è di dimostrare 3. $Rightarrow$ 1.?
Dimostra che 3 implica 1 e concludi; non so se sia possibile fare direttamente 2 implica 1...
Vedi il Teorema 1 in: https://www.cambridge.org/core/journals/proceedings-of-the-edinburgh-mathematical-society/article/rings-with-central-idempotent-or-nilpotent-elements/B14954E172F019AD2EA2087A46C9D14A
Viene dimostrata l'implicazione direttamente?
Nel teorema 1 indicato da Stickelberger viene dimostrato che se un idempotente $e$ commuta con tutti i nilpotenti allora $e$ è centrale.
La dimostrazione è (riporto): dato $v$ un qualsiasi elemento, $z=ev-eve$ soddisfa $z^2=0$ quindi $ze=ez$, cioè $ev=eve$. Ma anche $w=ve-eve$ soddisfa $w^2=0$ e quindi $we=ew$, cioè $ve=eve$. Segue che $ev=eve=ve$. []
Osservo che se $e$ commuta con tutti gli invertibili allora commuta anche con qualsiasi $z$ tale che $z^2=0$, perché per un tale $z$ l'elemento $1+z$ è invertibile (infatti $(1+z)(1-z)=1$) e quindi $e$ commuta con $1+z$, cioè $e$ commuta con $z$.
La dimostrazione è (riporto): dato $v$ un qualsiasi elemento, $z=ev-eve$ soddisfa $z^2=0$ quindi $ze=ez$, cioè $ev=eve$. Ma anche $w=ve-eve$ soddisfa $w^2=0$ e quindi $we=ew$, cioè $ve=eve$. Segue che $ev=eve=ve$. []
Osservo che se $e$ commuta con tutti gli invertibili allora commuta anche con qualsiasi $z$ tale che $z^2=0$, perché per un tale $z$ l'elemento $1+z$ è invertibile (infatti $(1+z)(1-z)=1$) e quindi $e$ commuta con $1+z$, cioè $e$ commuta con $z$.
Un typo, volevi dire che \((1+z)(1-z)=1\).
Sì grazie
Grazie mille a tutti per le risposte!
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