Campo e dominio di integrità

[alifasi]

Salve, ho un dubbio sulla questione del titolo

La dimostrazione che ogni campo sia dominio di integrità procede dalla definizione di dominio: $a*b=0 -> a=0 or b=0$

Quindi poiché campo $1*b=a^-1*a*b=a*a^-1*b=a^-1*0=0$ quinid b=0. Oss: la seconda uguaglianza sfrutta la definizione di inverso ma essendo campo e commutativo e verificata automaticamente.

Sembra quindi che sia utile la commutatività.

Tuttavia ecco il dubbio, mi sembra valga anche l'asserto

A corpo => A dominio di integrità

Se io prendo la definizione di dominio: $a!=0, b!=0 -> a*b!=0$ e per assurdo ammetto che $a*b=0$
poiché corpo esiste l'inverso per ogni a diverso da zero (cosa che ho per hp)

Valgono le seguenti (senza sfruttare commutatività ma solo per definizione di inverso):
- $a*b=0->1=a^-1*a*b^-1*b=0*a^-1*b^-1=0->1=0$
- $a*b=0 -> a*a^-1*b*b^-1=1 -> 1=0$

Ma per ipotesi A è corpo e quindi $1!=0$ sono quindi giunto a un assurdo e deve quindi essere $a*b!=0$ voluto.

Quindi non riesco a capire perché l'assunto del libro parta da Campo e non Corpo. Dove sbaglio?

[Studente Anonimo]

Ciao, è perché un dominio è per definizione commutativo.

[alifasi]

E' vero, che scemo sono! E' che in questa prima lettura sto facendo un po' un pasticcio son tutte 'ste definizioni. Dannata memoria, ci ho ragionato mezz'ora su sta cosa per nulla (bastava riaprire la pagina di definizione "dominio") XD

Gentilissimo