Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Buongiorno, ho bisogno di una mano nella dimostrazione che riguarda l'infinità dei numeri primi del tipo $4n + 3$ .
Ho iniziato prendendo in considerazione e supponendo (per assurdo) che l'insieme $P = { p è primi | p = 4n + 3, n \in N }$ abbia cardinalità finita $p$. E quindi siano ${ p_{1} .... p_{p} }$ l'insieme dei numeri primi esprimibili in questa forma....
Considero $N = \prod_{i=1}^{p} p_{i}$.
Adesso non so più come andare avanti ..
Mi date qualche consiglio? grazie
Sia $~$ una relazione di equivalenza definita su $Z x Z$ tale che se $(a, b) ~ (c, d)$ allora $2^{a^{2} + d^{2}} \equiv 2^{b^{2} + c^{2}} mod 5$.
Sia $f: Z x Z -> Z/4Z$ tale che per ogni $(a, b) \in Z x Z$ si abbia $f( (a, b) ) = a^{2} - b^{4} + 4Z$ ....
Devo mostrare che la relazione di equivalenza indotta dalla mappa $f$ che denoto con $~_{f}$ su $Z x Z$ è uguale alla relazione di equivalenza definita precedentemente $~$.
.... Come faccio a dimostrare l'uguaglianza fra ...
Determinare il periodo moltiplicativo di $ x^2 + 1 $ in $ Z_2[x] $
Ho provato a calcolare le varie potenze del polinomio assegnato, ma non ottengo mai 1 , che dovrebbe essere l'elemento neutro dell'anello di polinomi.
E' corretto il ragionamento?
Grazie
Ho il seguente sistema formato dalle due congruenze:
1) $3x + 2y \equiv 1 mod 7$
2) $2x - y \equiv 2 mod 7$
Ho pensato di risolverla in questo modo ....
Riscrivo la 2) come segue
2) $2x + 6y \equiv 2 mod 7$ perché $-1$ (il coefficiente di $y$ è equivalente modulo 7 a $6$.
Dalla 1) ricavo che $2y \equiv (1-3x) mod 7$
Quindi osservando che $6y = 3(2y)$ sostituisco il $2y$ nella 2).
2) $2x + 6y \equiv 2x + 3*(1-3x) mod 7 \equiv -7x + 3 \equiv 3 mod 7$.... E osservo che $3 mod 7$ non è ...
Devo trovare tutti gli interi $x$ tali che $x^{35} \equiv 1 mod 37$.
Non so da che parte iniziare...
Mi date un mano?
Grazie
Pensavo che sicuramente essendo $x^{35} \equiv x mod 37*x mod 37 *x mod 37 ... * x mod 37 \equiv 1 mod 37$ e siccome $x mod 37 \equiv r mod 37$ con $r$ resto della divisione di $x$ per $37$ devo trovare un numero compreso fra 1 e 36 tale che elevato alla 35 mi restituisca $1$ come resto della divisione per $37$.
Ma il mio dubbio nasce dal fatto che ...
Ciao,
un chiarimento sulla seguente affermazione che ho trovato sul Munkres - Topology cap 1 pag 7.
Con riferimento allo statement 'if \( x^2 < 0 \text { then } x=23 \)' del tipo 'if P then Q' viene detto che esso e' un 'true statement'. In particolare ogni volta che l'ipotesi P vale anche la conclusione Q vale.
Ora se prendo ad es $x=1$ ovviamente P e' falsa e Q e' falsa.
Come dobbiamo intendere l'affermazione 'in ogni caso in cui P vale anche Q vale' ?
Grazie.
Ho questo esercizio.
Siano $m_{1}, m_{2}$ coprimi fra loro ed $m = m_{1} * m_{2}$
(Ipotesi ) Se $m_{1} | f(x)$ e $m_{2} | f(x)$ - ovvero, questo significa che esistono interi $c, c'$ tali che $m_{1} | f(c)$ e $m_{2} | f(c')$ - devo mostrare che se valgono le seguenti condizioni allora $f(x) \equiv 0 mod m$ ammette soluzione.
Quindi devo mostrare che se $m_{1}$ è coprimo con $m_{2}$ allora $m = m_{1}*m_{2} | f(x)$ ovvero che $f(x) \equiv 0 mod m$ ammette ...
Devo risolvere la seguente congruenza $5^{x} \equiv 1 mod 7$ ....
La soluzione la ho ma non riesco a capire perché è l'unica soluzione.... Cioè la soluzione che ho trovato è quella che ho trovato osservando che 7 è primo e dal teorema di Fermat ogni numero intero elevato a $7-1 = 6$ restituisce resto 1.
Però non riesco a capire formalmente come dimostro che questa è una soluzione... e soprattutto che è l'unica soluzione... Mi date una mano a capire..
Grazie
Dividendo $2x^4-mx^3+x^2-7$ per $x+2$ si ottiene come resto 5, quanto vale m?
Tralasciando momentaneamente risoluzioni più sottili, ho provato a risolvere l'esercizio di forza bruta facendo i conti e non riesco a ottenere la soluzione corretta.
Il quoto mi esce $2x^3+(-m-4)x^2+(2m+9)x+(-4m-18)$ con un resto finale $r=8m-43$
, perciò la mia risposta sarebbe $m=6$.
Purtroppo la soluzione è $m=-3$, potreste aiutarmi a capire dove sbaglio il calcolo (non a risolvere ...
Devo trovare le soluzioni di $x^{2} \equiv 5 (mod 6)$ ...
E' da poco che tratto questo argomento e vorrei quindi non saltare nessun passaggio.
Ho pensato di proseguire nel seguente modo.
Pongo $z = x^{2}$ e cerco le soluzioni di $z \equiv 5 (mod 6)$ la quale è unica (modulo 6) visto che il coefficiente di $z$ è $1$. La soluzione è quindi data da $5 + 6k$ per ogni $k$ intero.
Essendo $x^{2} = z = 5 + 6k$ si ha che non esiste alcun valore ...
Non comprendo la dimostrazione di un teorema..
In particolare non capisco come mai se ho due numeri coprimi (che poi si può estendere il caso ad n numeri coprimi) $m_{1}, m_{2}$ tali che $m_{1} | a-b$ e $m_{2} | a-b$ allora $m_{1} * m_{2} | a-b$.
Mi spiegate il motivo?
Grazie
Salve, giorni fa ho letto uno dei problemi proposti nei giochi matematici della Bocconi (trattato anche qui https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?t=219228&p=8538621): si chiedeva, a partire dai quadrati di numeri interi aventi 3 cifre, il numero massimo s di quadrati concatenabili, ovvero tali che l'ultima cifra di uno fosse la prima cifra del seguente. Per n = 3 è facile dimostrare che s = 12, e una delle possibili catene è {841, 121, 144, 484, 441, 169, 961, 196, 676, 625, 529, 900} (ce ne sono 26 possibili).
È immediato ...
\( \newcommand{\val}[1]{[\![{#1}]\!]} \)Uso le notazioni di H. B. Enderton, A Mathematical Introduction to Logic.
Sia \( U \) un insieme. Sia \( B\subset U \) un sottoinsieme di "elementi di base". Siano \( f\colon U\times U\to U \) e \( g\colon U\to U \) due funzioni. Sia \( C \) il più piccolo insieme \( B \)-induttivo rispetto alle funzioni \( f \) e \( g \); in altre parole, \( C \) è l'intersezione di tutti i sottoinsiemi \( S\subset U \) tali che \( B\subset S \) e tali che per ogni \( ...
Per definizione ogni insieme contiene anche l'insieme vuoto .
Vale anche per ogni sottoinsieme dell'insieme delle parti ?
Sto studiando i FILTRI , che sono sottoinsiemi dell'insieme delle parti P(X) di un insieme X.
E un filtro è detto PROPRIO se appunto non contiene l'insieme vuoto
Grazie .
Salve a tutti,
Sono alle prese con la dimostrazione del teorema suddetto ed essendomi arenato in un punto ho bisogno di aiuto.
Riscrivo l'enunciato per comodità intanto:
Teo: Sia $\mathbb{K}\subseteq \mathbb{E}$ un'estensione finita di campi, e sia $\mathbb{E}=\mathbb{K}(\alpha,\beta_1,...,\beta_n)$ con $\alpha$ algebrico ed i $\beta_i$ separabili su $\mathbb{K}$. Allora esiste $\delta\in\mathbb{E}$ tale che $\mathbb{E}=\mathbb{K}(\delta)$.
La parte della dimostrazione su cui ho difficoltà è quella che riguarda il caso ...
Un'algebra di Boole è un reticolo distributivo con minimo ($0$) e massimo ($1$) tale che ogni elemento ammetta un complemento ($b$ è complemento di $a$ se $a \wedge b = 0$ e $a \vee b = 1$).
Voglio dimostrare la legge di De Morgan $C(x \wedge y) = C(x) \vee C(y)$, dove $C(*)$ indica il complementare.
Siccome in un reticolo distributivo il complementare (se esiste) è unico è sufficiente mostrare che $(x \wedge y) \wedge (C(x) \vee C(y)) = 0$ e che ...
Un semigruppo numerico $S$ è un semigruppo in $\mathbb{N}$ tale che $\mathbb{N}\backslash S$ è finito. È noto che esiste sempre un insieme $M$ tale che un elemento in $S$ può essere espresso come somma finita di elementi in $M$ con coefficienti in $\mathbb{N}$. Ad esempio $S=\mathbb{N}\backslash\{1\}$ è il semigruppo numerico generato da $2$ e $3$, e in tal caso scriviamo $S=<2,3>$. Definiamo quanto segue:
- ...
Salve a tutti,
Sto incontrando difficoltà nel dimostrare che l'intersezione di due sottogruppi di Galois è banale. Mi spiego meglio.
Ho $\mathbb{F}$, $\mathbb{K}_1$ e $\mathbb{K}_2$ campi tali che $\mathbb{K}_1\supseteq \mathbb{F}$ estensione di Galois, $\mathbb{K}_2\supseteq \mathbb{F}$ estensione di grado finito, $\mathbb{K}_1\cap \mathbb{K}_2 = \mathbb{F}$ e $\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2\supseteq \mathbb{F}$ di Galois.
Vorrei dimostrare che $Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2} / \mathbb{F}) \cong Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_1) \rtimes Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_2)$
Sono bloccato all'ultimo punto in cui voglio far vedere che $Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_1) \cap Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_2) = {id}$
La mia idea: Voglio far vedere che ...
Sia $(P,\le)$ un insieme parzialmente ordinato e sia $X \subseteq P$.
Si supponga che esista l'estremo inferiore di X. Si può dimostrare che allora questo è unico?
La via più naturale che mi era venuta in mente era di supporre che sia $a$ che $b$ siano estremi inferiori di $b$ e di provare a dimostrare che allora $a<=b$ e $b<=a$ (da cui seguirebbe $a=b$) ma non riesco a capire poter fare.
Un reticolo è un insieme $R$ dotato di due operazioni binarie $\wedge$ e $\vee$ che godono delle seguenti proprietà:
(commutativa) $a \wedge b = b \wedge a$ e $a \vee b = b \vee a$
(associativa) $a \wedge (b \wedge c) = (a \wedge b) \wedge c$ e $a \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee c$
(assorbimento) $a \vee (a \wedge b) = a$ e $a \wedge (a \vee b) = a$
Da queste segue una quarta proprietà:
(idempotenza) $a \wedge a = a$ e $a \vee a = a$
Un reticolo si dice distributivo se è un reticolo in cui vale la proprietà:
(distributiva) ...
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