Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Sia $n \in N*$ . Si provi che l’equazione diofantea $x + 2xy + y = n$ ha soluzioni non banali (cioè $x \ne 0, y \ne 0$) se e solo se $2n + 1$ non è un numero primo.
Dimostro che se $2n+1$ non è primo allora l'equazione ammette soluzioni.
Pensavo di procedere in questo modo...
Se $2n + 1$ non è primo esistono $a, b$ divisori propri di $2n+1$ tali che $2n + 1 = ab$ e $3 \leq a,b \leq 2n - 1$.
Quindi $2n + 1 = ab$ ovvero ...
Sia $A$ un dominio d’integrità, e $a, b \in A$. Si provi che se esistono interi positivi coprimi $n,m$ tali che $a^{n} = b^{n}$ e $a^{m} =b^{m}$ allora $a = b$.
Le mie ipotesi sono quindi che esistono $\alpha, \beta$ interi tali che $1 = n\alpha + m\beta$ (Bezout) e che $a^{n} = b^{n}$ e $a^{m} =b^{m}$.
Suppongo per assurdo che $a \neq b$. Allora abbiamo $a^{n} = a^{\frac{1 - \beta m}{\alpha}} = b^{n}$ e $a^{m} = a^{\frac{1 - \alpha n}{\beta}} = b^{m}$. Ma questa strada poi non mi porta da ...
Sto studiando la teoria delle categorie dal libro "Cathegory Theory for programmers" che mi offre anche una infarinatura di Haskell. Il libro è in inglese ma non sto avendo grosse difficoltà, tuttavia mi sono imbattuto già più volte in frasi di questo tipo:
Pairs are not strictly commutative: a pair (Int, Bool) cannot be substituted for a pair (Bool, Int) , even though they carry the same information. They are, however, commutative up to isomorphism — the isomorphism being given ...
Salve,
dovrei comporre due permutazioni, in realtà è sempre la stessa ma dovrei ottenere un $f^3=f^2*f$
Non riesco a calcolare:
$f^2=(129)(378)(564)$
$f=(19)(12)(357684)$
$f^3=(19)(12)(357684)°(129)(378)(564)$
Io ho questo risultato $f^3=(21)(36)(47)(58)$ ma non sono sicuro di aver fatto bene.
Grazia a chi mi aiuterà
Buongiorno a tutti,
Vorrei porre una domanda riguardo l'utilizzo dei simboli $\to, \Rightarrow, \models$.
Da quello che ho capito il primo simbolo è un connettivo logico detto di implicazione materiale, definito attraverso una tabella di verità: date due proposizioni $P,Q$ si ha che $P\to Q$ è: falsa quando $P$ è vera e $Q$ falsa; vera in tutti gli altri casi. Cioè, quando $P$ è falsa, $Pto Q$ è sempre vera. Questo tipo di ...
Buonasera,io so che, se considero $sigma$ permutazione, allora $sigma$ è il prodotto di $p$ trasposizioni, dunque il segno di $sigma$ è dato dal prodotto dei segni delle trasposizione, cioé, se $f$ trasposizione si ha $sgn(f)=-1$, dunque, si ha $sgn(sigma)=(-1)^p$
Ora, mi chiedo se $alpha$ è un ciclo di lunghezza $1ledlen$, allora $sgn(alpha)=(-1)^(d-1)$
Banalmente- vero per $d=1$ perché in tal caso ...
Nella definizione di campo non è necessario inserire l'assioma di commutatività della somma ($a+b=b+a$) infatti si può ottenere questa proprietà dagli altri assiomi.
Dati $a,b$ $in$ $K$ sia $c=(1+1)*(a+b)$ $rArr$ $c=1*(a+b)+1*(a+b)=(a+b)+(a+b)$ e inoltre
$c=(1+1)*a+(1+1)*b=(a+a)+(b+b) rArr -a+c+(-b)=-a+(a+b)+(a+b)+(-b)=(-a+a)+b+a+(b+(-b))=0+b+a+0=b+a$
e inoltre $-a+c+(-b)=-a+(a+a)+(b+b)+(-b)=(-a+a)+a+b+(b+(-b))=0+a+b+0=a+b rArr <br />
a+b=b+a$
è giusta questa dimostrazione?
Definizione: un insieme $\Gamma$ di formule di un linguaggio del primo ordine si dice soddisfacibile se esistono una struttura $S$, un'algebra di Boole $B$ ed una valutazione $V$ tali che $V(\phi)=1_B$ per ogni formula $\phi \in \Gamma$.
Teorema di compattezza: un insieme $\Gamma$ di formule di un linguaggio del primo ordine è soddisfacibile se e solo se ogni suo sottoinsieme finito è soddisfacibile.
Sono interessato a capire se ...
Dire se $f: ZZ//100ZZ -> ZZ//20ZZ$ tale che $f(a+100ZZ) = (3a-1) + 20ZZ$ è suriettiva.
Per dimostrare la suriettività devo mostrare che $Im(f) = ZZ//20ZZ$. Quindi preso un qualsiasi elemento $y \in Z//20ZZ = {0,1,2,....,19}$ che sono le classi di resto modulo 20, mi chiedo se esiste $x \in {0,...., 99}$ tale che $3x - 1 + 20ZZ = y$ dove $20ZZ$ è un qualsiasi multiplo di 20. Quindi ci chiediamo se esiste $x \in ZZ//100ZZ$ tale che $3x + 20z = y + 1$.
Cioè ci chiediamo se esiste $x \in Z//100ZZ$ tale che ...
Il principio di identità per i polinomi afferma che: due polinomi ,ridotti in forma normale, sono identici se e solo se hanno lo stesso grado ed i coefficienti dei termini dello stesso grado sono uguali.
Non ho capito perchè si specifica anche che devono avere lo stesso grado: se i coefficienti dei termini dello stesso grado sono uguali, è ovvio che i 2 polinomi hanno lo stesso grado!
Esempio : $ 3*x^4 + 3*x^3 $ e $ 3*x^3 $ sono di grado diverso ma hanno anche i coefficienti diversi ...
Buongiorno, ho bisogno di una mano nella dimostrazione che riguarda l'infinità dei numeri primi del tipo $4n + 3$ .
Ho iniziato prendendo in considerazione e supponendo (per assurdo) che l'insieme $P = { p è primi | p = 4n + 3, n \in N }$ abbia cardinalità finita $p$. E quindi siano ${ p_{1} .... p_{p} }$ l'insieme dei numeri primi esprimibili in questa forma....
Considero $N = \prod_{i=1}^{p} p_{i}$.
Adesso non so più come andare avanti ..
Mi date qualche consiglio? grazie
Sia $~$ una relazione di equivalenza definita su $Z x Z$ tale che se $(a, b) ~ (c, d)$ allora $2^{a^{2} + d^{2}} \equiv 2^{b^{2} + c^{2}} mod 5$.
Sia $f: Z x Z -> Z/4Z$ tale che per ogni $(a, b) \in Z x Z$ si abbia $f( (a, b) ) = a^{2} - b^{4} + 4Z$ ....
Devo mostrare che la relazione di equivalenza indotta dalla mappa $f$ che denoto con $~_{f}$ su $Z x Z$ è uguale alla relazione di equivalenza definita precedentemente $~$.
.... Come faccio a dimostrare l'uguaglianza fra ...
Determinare il periodo moltiplicativo di $ x^2 + 1 $ in $ Z_2[x] $
Ho provato a calcolare le varie potenze del polinomio assegnato, ma non ottengo mai 1 , che dovrebbe essere l'elemento neutro dell'anello di polinomi.
E' corretto il ragionamento?
Grazie
Ho il seguente sistema formato dalle due congruenze:
1) $3x + 2y \equiv 1 mod 7$
2) $2x - y \equiv 2 mod 7$
Ho pensato di risolverla in questo modo ....
Riscrivo la 2) come segue
2) $2x + 6y \equiv 2 mod 7$ perché $-1$ (il coefficiente di $y$ è equivalente modulo 7 a $6$.
Dalla 1) ricavo che $2y \equiv (1-3x) mod 7$
Quindi osservando che $6y = 3(2y)$ sostituisco il $2y$ nella 2).
2) $2x + 6y \equiv 2x + 3*(1-3x) mod 7 \equiv -7x + 3 \equiv 3 mod 7$.... E osservo che $3 mod 7$ non è ...
Devo trovare tutti gli interi $x$ tali che $x^{35} \equiv 1 mod 37$.
Non so da che parte iniziare...
Mi date un mano?
Grazie
Pensavo che sicuramente essendo $x^{35} \equiv x mod 37*x mod 37 *x mod 37 ... * x mod 37 \equiv 1 mod 37$ e siccome $x mod 37 \equiv r mod 37$ con $r$ resto della divisione di $x$ per $37$ devo trovare un numero compreso fra 1 e 36 tale che elevato alla 35 mi restituisca $1$ come resto della divisione per $37$.
Ma il mio dubbio nasce dal fatto che ...
Ciao,
un chiarimento sulla seguente affermazione che ho trovato sul Munkres - Topology cap 1 pag 7.
Con riferimento allo statement 'if \( x^2 < 0 \text { then } x=23 \)' del tipo 'if P then Q' viene detto che esso e' un 'true statement'. In particolare ogni volta che l'ipotesi P vale anche la conclusione Q vale.
Ora se prendo ad es $x=1$ ovviamente P e' falsa e Q e' falsa.
Come dobbiamo intendere l'affermazione 'in ogni caso in cui P vale anche Q vale' ?
Grazie.
Ho questo esercizio.
Siano $m_{1}, m_{2}$ coprimi fra loro ed $m = m_{1} * m_{2}$
(Ipotesi ) Se $m_{1} | f(x)$ e $m_{2} | f(x)$ - ovvero, questo significa che esistono interi $c, c'$ tali che $m_{1} | f(c)$ e $m_{2} | f(c')$ - devo mostrare che se valgono le seguenti condizioni allora $f(x) \equiv 0 mod m$ ammette soluzione.
Quindi devo mostrare che se $m_{1}$ è coprimo con $m_{2}$ allora $m = m_{1}*m_{2} | f(x)$ ovvero che $f(x) \equiv 0 mod m$ ammette ...
Devo risolvere la seguente congruenza $5^{x} \equiv 1 mod 7$ ....
La soluzione la ho ma non riesco a capire perché è l'unica soluzione.... Cioè la soluzione che ho trovato è quella che ho trovato osservando che 7 è primo e dal teorema di Fermat ogni numero intero elevato a $7-1 = 6$ restituisce resto 1.
Però non riesco a capire formalmente come dimostro che questa è una soluzione... e soprattutto che è l'unica soluzione... Mi date una mano a capire..
Grazie
Dividendo $2x^4-mx^3+x^2-7$ per $x+2$ si ottiene come resto 5, quanto vale m?
Tralasciando momentaneamente risoluzioni più sottili, ho provato a risolvere l'esercizio di forza bruta facendo i conti e non riesco a ottenere la soluzione corretta.
Il quoto mi esce $2x^3+(-m-4)x^2+(2m+9)x+(-4m-18)$ con un resto finale $r=8m-43$
, perciò la mia risposta sarebbe $m=6$.
Purtroppo la soluzione è $m=-3$, potreste aiutarmi a capire dove sbaglio il calcolo (non a risolvere ...
Devo trovare le soluzioni di $x^{2} \equiv 5 (mod 6)$ ...
E' da poco che tratto questo argomento e vorrei quindi non saltare nessun passaggio.
Ho pensato di proseguire nel seguente modo.
Pongo $z = x^{2}$ e cerco le soluzioni di $z \equiv 5 (mod 6)$ la quale è unica (modulo 6) visto che il coefficiente di $z$ è $1$. La soluzione è quindi data da $5 + 6k$ per ogni $k$ intero.
Essendo $x^{2} = z = 5 + 6k$ si ha che non esiste alcun valore ...
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