Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ciao. Sia
\[
\begin{CD}
A @>f>> B\\
@VgVV\\
C
\end{CD}
\] un diagramma di insiemi e funzioni. Sto cercando di capire la costruzione del suo pushout "canonico".
Sia \( B\amalg C := B\times\{1\}\cup C\times\{2\} \), con \( 1\neq 2 \), e sia \( \mathcal R \) la relazione su \( B\amalg C \) definita chiedendo che \( (x,i)\mathrel{\mathcal R}(y,j) \) se e solo se esiste un \( a\in A \) tale che o \( x = f(a) \), \( y = g(a) \), o \( x = g(a) \), \( y = f(a) \), per ogni \( (x,i),(y,j)\in B\amalg C ...
Ho provato a trovare il polinomio minimo di $sqrt(3)+sqrt(3)$, con semplici calcoli si arriva ad $x^4-10x^2 +1$, poi ho provato con $sqrt(2)+root(3)(3)$ iterando lo stesso procedimento rimango bloccato, potreste darmi un aiuto? Grazie!
Chi mi può dare una mano a capire due cose? In grassetto le cose su cui non sono sicuro.
L' obbiettivo è di dimostrare la class number formula. Ovvero che
\[ h(d) = \frac{w \sqrt{ \left|d \right|}}{2 \pi } L(1,\chi_d) \]
dove \( \chi_d(m) = \left( \frac{d}{m} \right) \) è il simolo di Kronecker e \( w = 6 \) se \(d=-3 \), \( w=4 \) se \(d=-4 \) e \( w=2 \) se \(d < -4 \).
1) Dimostra che
\[ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 } } R_d(n) = w \frac{ ...
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Studente Anonimo
10 giu 2022, 21:49
Buon pomeriggio a tutti, sono alle prese con un esercizio che dovrebbe essere abbastanza ovvio, ma mi crea qualche piccolo problema.
Siano $a,b \in \mathbb{Z}$ con $b$ positivo e $(a,b)=1$.
Dimostrare che $a$ è un residuo quadratico modulo $b$ se, e solo se, è un residuo quadratico modulo $p$ per ogni primo $p$ che divide $b$. Inoltre se $b \equiv_4 0$ Allora
1) $a \equiv_4 1$ se ...
Sia $Q$campo dei razionali e sia $alpha$ algebrico su $Q$, sia $beta$ algebrico su $Q(alpha)$ posso concludere che $beta$ è algebrico su $Q$?
Buongiorno, in generale se ho un'equaizone diofantea a due variabili lineare sdel tipo $ax + by = n$ so che ammette soluzione se e solo se $(a,b) | n$ e in questo caso esprimo come combinazione lineare di $a$ e $b$ il massimo comun divisore $d = (a,b) = \alpha a + \beta b$ e moltiplicando ambo i lati dell'equazione per $\frac{n}{d}$ si ottiene la soluzione particolare dell'equazione.
Data poi una soluzione particolare $(\bar{x}, \bar{y})$ so che tutte le soluzioni sono ...
Sia $F$ un campo ed $alpha$ un elemento algebrico su $F$, quanti automorfismi che fissano ogni elemento di$F$,avrà l'estensione $F(alpha)$?
Ciao a tutti,
Anche oggi ho un problema nella risoluzione di un esercizio di teoria dei numeri.
Devo dimostrare che il class number di $K=\mathbb[Q](\sqrt{5})$ è $1$.
Usando la “Minkowski bound” l’esercizio è ovvio, infatti dovrei trovare gli ideali $I$ Dell’anello $\O_{K}$ tali che
$$N(I) \leq \frac{n!}{n^n} (\frac{4}{\pi})^s \sqrt{|d_K|}=\frac{1}{4} \sqrt{5} < 2$$
Cioè solo $O_K$ stesso.
L’esercizio però chiede di non ...
Ciao a tutti, chiedo aiuto per un problema che proprio non riesco a risolvere sui discriminanti dei campi di numeri.
In particolare non mi è chiaro come utilizzare le estensioni intermedie per calcolare i discriminanti.
So dell'esistenza dell'equazione
$$d(A)=^ 2 d(B)$$
se $A$ e $B$ sono due $\mathbb{Z}$-moduli finitamente generati tali che $A \subseteq B$, ci sono però volte in cui non riesco proprio ad utilizzarla. Faccio un ...
Se devo dimostrare in maniera diretta una proposizione del tipo $(A=>B)=>(C=>D)$ (cioè se $A=>B$ allora $C=>D$); la procedura da fare è la seguente?
1)Assumo $A=>B$
2)Assumendo $C$ devo dimostrare che ne segue $D$ utilizzando ad un cero punto nella dimostrazione il fatto che $A=>B$
Sia $n \in N*$ . Si provi che l’equazione diofantea $x + 2xy + y = n$ ha soluzioni non banali (cioè $x \ne 0, y \ne 0$) se e solo se $2n + 1$ non è un numero primo.
Dimostro che se $2n+1$ non è primo allora l'equazione ammette soluzioni.
Pensavo di procedere in questo modo...
Se $2n + 1$ non è primo esistono $a, b$ divisori propri di $2n+1$ tali che $2n + 1 = ab$ e $3 \leq a,b \leq 2n - 1$.
Quindi $2n + 1 = ab$ ovvero ...
Sia $A$ un dominio d’integrità, e $a, b \in A$. Si provi che se esistono interi positivi coprimi $n,m$ tali che $a^{n} = b^{n}$ e $a^{m} =b^{m}$ allora $a = b$.
Le mie ipotesi sono quindi che esistono $\alpha, \beta$ interi tali che $1 = n\alpha + m\beta$ (Bezout) e che $a^{n} = b^{n}$ e $a^{m} =b^{m}$.
Suppongo per assurdo che $a \neq b$. Allora abbiamo $a^{n} = a^{\frac{1 - \beta m}{\alpha}} = b^{n}$ e $a^{m} = a^{\frac{1 - \alpha n}{\beta}} = b^{m}$. Ma questa strada poi non mi porta da ...
Sto studiando la teoria delle categorie dal libro "Cathegory Theory for programmers" che mi offre anche una infarinatura di Haskell. Il libro è in inglese ma non sto avendo grosse difficoltà, tuttavia mi sono imbattuto già più volte in frasi di questo tipo:
Pairs are not strictly commutative: a pair (Int, Bool) cannot be substituted for a pair (Bool, Int) , even though they carry the same information. They are, however, commutative up to isomorphism — the isomorphism being given ...
Salve,
dovrei comporre due permutazioni, in realtà è sempre la stessa ma dovrei ottenere un $f^3=f^2*f$
Non riesco a calcolare:
$f^2=(129)(378)(564)$
$f=(19)(12)(357684)$
$f^3=(19)(12)(357684)°(129)(378)(564)$
Io ho questo risultato $f^3=(21)(36)(47)(58)$ ma non sono sicuro di aver fatto bene.
Grazia a chi mi aiuterà
Buongiorno a tutti,
Vorrei porre una domanda riguardo l'utilizzo dei simboli $\to, \Rightarrow, \models$.
Da quello che ho capito il primo simbolo è un connettivo logico detto di implicazione materiale, definito attraverso una tabella di verità: date due proposizioni $P,Q$ si ha che $P\to Q$ è: falsa quando $P$ è vera e $Q$ falsa; vera in tutti gli altri casi. Cioè, quando $P$ è falsa, $Pto Q$ è sempre vera. Questo tipo di ...
Buonasera,io so che, se considero $sigma$ permutazione, allora $sigma$ è il prodotto di $p$ trasposizioni, dunque il segno di $sigma$ è dato dal prodotto dei segni delle trasposizione, cioé, se $f$ trasposizione si ha $sgn(f)=-1$, dunque, si ha $sgn(sigma)=(-1)^p$
Ora, mi chiedo se $alpha$ è un ciclo di lunghezza $1ledlen$, allora $sgn(alpha)=(-1)^(d-1)$
Banalmente- vero per $d=1$ perché in tal caso ...
Nella definizione di campo non è necessario inserire l'assioma di commutatività della somma ($a+b=b+a$) infatti si può ottenere questa proprietà dagli altri assiomi.
Dati $a,b$ $in$ $K$ sia $c=(1+1)*(a+b)$ $rArr$ $c=1*(a+b)+1*(a+b)=(a+b)+(a+b)$ e inoltre
$c=(1+1)*a+(1+1)*b=(a+a)+(b+b) rArr -a+c+(-b)=-a+(a+b)+(a+b)+(-b)=(-a+a)+b+a+(b+(-b))=0+b+a+0=b+a$
e inoltre $-a+c+(-b)=-a+(a+a)+(b+b)+(-b)=(-a+a)+a+b+(b+(-b))=0+a+b+0=a+b rArr <br />
a+b=b+a$
è giusta questa dimostrazione?
Definizione: un insieme $\Gamma$ di formule di un linguaggio del primo ordine si dice soddisfacibile se esistono una struttura $S$, un'algebra di Boole $B$ ed una valutazione $V$ tali che $V(\phi)=1_B$ per ogni formula $\phi \in \Gamma$.
Teorema di compattezza: un insieme $\Gamma$ di formule di un linguaggio del primo ordine è soddisfacibile se e solo se ogni suo sottoinsieme finito è soddisfacibile.
Sono interessato a capire se ...
Dire se $f: ZZ//100ZZ -> ZZ//20ZZ$ tale che $f(a+100ZZ) = (3a-1) + 20ZZ$ è suriettiva.
Per dimostrare la suriettività devo mostrare che $Im(f) = ZZ//20ZZ$. Quindi preso un qualsiasi elemento $y \in Z//20ZZ = {0,1,2,....,19}$ che sono le classi di resto modulo 20, mi chiedo se esiste $x \in {0,...., 99}$ tale che $3x - 1 + 20ZZ = y$ dove $20ZZ$ è un qualsiasi multiplo di 20. Quindi ci chiediamo se esiste $x \in ZZ//100ZZ$ tale che $3x + 20z = y + 1$.
Cioè ci chiediamo se esiste $x \in Z//100ZZ$ tale che ...
Il principio di identità per i polinomi afferma che: due polinomi ,ridotti in forma normale, sono identici se e solo se hanno lo stesso grado ed i coefficienti dei termini dello stesso grado sono uguali.
Non ho capito perchè si specifica anche che devono avere lo stesso grado: se i coefficienti dei termini dello stesso grado sono uguali, è ovvio che i 2 polinomi hanno lo stesso grado!
Esempio : $ 3*x^4 + 3*x^3 $ e $ 3*x^3 $ sono di grado diverso ma hanno anche i coefficienti diversi ...
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