Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ciao a tutti, sto cercando di capire come si determini se un polinomio in $\mathbb{Q}_p$ con $p$ primo sia irriducibile oppure no. Gli strumenti che ho a disposizione sono limitati in numero ma non in "capacità", nonostante ciò il quadro non mi è ancora totalmente chiaro. Gli strumenti che mi sono noti sono
1) Lemma di Hensel (sia in versione con la radice semplice sia nella versione con il prodotto di polinomi tra loro primi)
2) Lemma di Krasner con il criterio che ne deriva ...
Sia $A$ un dominio di integrità. Siano $a, b in A$ ed $n,m$ interi positivi coprimi. Dimostrare che se $a^n =b^n$ e $a^m = b^m$ allora $a=b$.
Se $n,m$ sono coprimi esistono interi $\alpha, \beta$ tali che $1=n\alpha + m\beta$ ...
Quindi abbiamo che se $a^{n} = b^{n}$ allora $a^{n\alpha} = b^{n\alpha}$ ovvero $a^{1-m\beta} = b^{1-m\beta}$. Siccome siamo in un dominio abbiamo che $a^{1-m\beta} = a * (a^{m})^{-\beta} = b * (b^{m})^{-\beta}$ ma per ipotesi so che $a^{m} = b^{m}$ da ...
Ciao. Sia
\[
\begin{CD}
A @>f>> B\\
@VgVV\\
C
\end{CD}
\] un diagramma di insiemi e funzioni. Sto cercando di capire la costruzione del suo pushout "canonico".
Sia \( B\amalg C := B\times\{1\}\cup C\times\{2\} \), con \( 1\neq 2 \), e sia \( \mathcal R \) la relazione su \( B\amalg C \) definita chiedendo che \( (x,i)\mathrel{\mathcal R}(y,j) \) se e solo se esiste un \( a\in A \) tale che o \( x = f(a) \), \( y = g(a) \), o \( x = g(a) \), \( y = f(a) \), per ogni \( (x,i),(y,j)\in B\amalg C ...
Ho provato a trovare il polinomio minimo di $sqrt(3)+sqrt(3)$, con semplici calcoli si arriva ad $x^4-10x^2 +1$, poi ho provato con $sqrt(2)+root(3)(3)$ iterando lo stesso procedimento rimango bloccato, potreste darmi un aiuto? Grazie!
Chi mi può dare una mano a capire due cose? In grassetto le cose su cui non sono sicuro.
L' obbiettivo è di dimostrare la class number formula. Ovvero che
\[ h(d) = \frac{w \sqrt{ \left|d \right|}}{2 \pi } L(1,\chi_d) \]
dove \( \chi_d(m) = \left( \frac{d}{m} \right) \) è il simolo di Kronecker e \( w = 6 \) se \(d=-3 \), \( w=4 \) se \(d=-4 \) e \( w=2 \) se \(d < -4 \).
1) Dimostra che
\[ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 } } R_d(n) = w \frac{ ...
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Studente Anonimo
10 giu 2022, 21:49
Buon pomeriggio a tutti, sono alle prese con un esercizio che dovrebbe essere abbastanza ovvio, ma mi crea qualche piccolo problema.
Siano $a,b \in \mathbb{Z}$ con $b$ positivo e $(a,b)=1$.
Dimostrare che $a$ è un residuo quadratico modulo $b$ se, e solo se, è un residuo quadratico modulo $p$ per ogni primo $p$ che divide $b$. Inoltre se $b \equiv_4 0$ Allora
1) $a \equiv_4 1$ se ...
Sia $Q$campo dei razionali e sia $alpha$ algebrico su $Q$, sia $beta$ algebrico su $Q(alpha)$ posso concludere che $beta$ è algebrico su $Q$?
Buongiorno, in generale se ho un'equaizone diofantea a due variabili lineare sdel tipo $ax + by = n$ so che ammette soluzione se e solo se $(a,b) | n$ e in questo caso esprimo come combinazione lineare di $a$ e $b$ il massimo comun divisore $d = (a,b) = \alpha a + \beta b$ e moltiplicando ambo i lati dell'equazione per $\frac{n}{d}$ si ottiene la soluzione particolare dell'equazione.
Data poi una soluzione particolare $(\bar{x}, \bar{y})$ so che tutte le soluzioni sono ...
Sia $F$ un campo ed $alpha$ un elemento algebrico su $F$, quanti automorfismi che fissano ogni elemento di$F$,avrà l'estensione $F(alpha)$?
Ciao a tutti,
Anche oggi ho un problema nella risoluzione di un esercizio di teoria dei numeri.
Devo dimostrare che il class number di $K=\mathbb[Q](\sqrt{5})$ è $1$.
Usando la “Minkowski bound” l’esercizio è ovvio, infatti dovrei trovare gli ideali $I$ Dell’anello $\O_{K}$ tali che
$$N(I) \leq \frac{n!}{n^n} (\frac{4}{\pi})^s \sqrt{|d_K|}=\frac{1}{4} \sqrt{5} < 2$$
Cioè solo $O_K$ stesso.
L’esercizio però chiede di non ...
Ciao a tutti, chiedo aiuto per un problema che proprio non riesco a risolvere sui discriminanti dei campi di numeri.
In particolare non mi è chiaro come utilizzare le estensioni intermedie per calcolare i discriminanti.
So dell'esistenza dell'equazione
$$d(A)=^ 2 d(B)$$
se $A$ e $B$ sono due $\mathbb{Z}$-moduli finitamente generati tali che $A \subseteq B$, ci sono però volte in cui non riesco proprio ad utilizzarla. Faccio un ...
Se devo dimostrare in maniera diretta una proposizione del tipo $(A=>B)=>(C=>D)$ (cioè se $A=>B$ allora $C=>D$); la procedura da fare è la seguente?
1)Assumo $A=>B$
2)Assumendo $C$ devo dimostrare che ne segue $D$ utilizzando ad un cero punto nella dimostrazione il fatto che $A=>B$
Sia $n \in N*$ . Si provi che l’equazione diofantea $x + 2xy + y = n$ ha soluzioni non banali (cioè $x \ne 0, y \ne 0$) se e solo se $2n + 1$ non è un numero primo.
Dimostro che se $2n+1$ non è primo allora l'equazione ammette soluzioni.
Pensavo di procedere in questo modo...
Se $2n + 1$ non è primo esistono $a, b$ divisori propri di $2n+1$ tali che $2n + 1 = ab$ e $3 \leq a,b \leq 2n - 1$.
Quindi $2n + 1 = ab$ ovvero ...
Sia $A$ un dominio d’integrità, e $a, b \in A$. Si provi che se esistono interi positivi coprimi $n,m$ tali che $a^{n} = b^{n}$ e $a^{m} =b^{m}$ allora $a = b$.
Le mie ipotesi sono quindi che esistono $\alpha, \beta$ interi tali che $1 = n\alpha + m\beta$ (Bezout) e che $a^{n} = b^{n}$ e $a^{m} =b^{m}$.
Suppongo per assurdo che $a \neq b$. Allora abbiamo $a^{n} = a^{\frac{1 - \beta m}{\alpha}} = b^{n}$ e $a^{m} = a^{\frac{1 - \alpha n}{\beta}} = b^{m}$. Ma questa strada poi non mi porta da ...
Sto studiando la teoria delle categorie dal libro "Cathegory Theory for programmers" che mi offre anche una infarinatura di Haskell. Il libro è in inglese ma non sto avendo grosse difficoltà, tuttavia mi sono imbattuto già più volte in frasi di questo tipo:
Pairs are not strictly commutative: a pair (Int, Bool) cannot be substituted for a pair (Bool, Int) , even though they carry the same information. They are, however, commutative up to isomorphism — the isomorphism being given ...
Salve,
dovrei comporre due permutazioni, in realtà è sempre la stessa ma dovrei ottenere un $f^3=f^2*f$
Non riesco a calcolare:
$f^2=(129)(378)(564)$
$f=(19)(12)(357684)$
$f^3=(19)(12)(357684)°(129)(378)(564)$
Io ho questo risultato $f^3=(21)(36)(47)(58)$ ma non sono sicuro di aver fatto bene.
Grazia a chi mi aiuterà
Buongiorno a tutti,
Vorrei porre una domanda riguardo l'utilizzo dei simboli $\to, \Rightarrow, \models$.
Da quello che ho capito il primo simbolo è un connettivo logico detto di implicazione materiale, definito attraverso una tabella di verità: date due proposizioni $P,Q$ si ha che $P\to Q$ è: falsa quando $P$ è vera e $Q$ falsa; vera in tutti gli altri casi. Cioè, quando $P$ è falsa, $Pto Q$ è sempre vera. Questo tipo di ...
Buonasera,io so che, se considero $sigma$ permutazione, allora $sigma$ è il prodotto di $p$ trasposizioni, dunque il segno di $sigma$ è dato dal prodotto dei segni delle trasposizione, cioé, se $f$ trasposizione si ha $sgn(f)=-1$, dunque, si ha $sgn(sigma)=(-1)^p$
Ora, mi chiedo se $alpha$ è un ciclo di lunghezza $1ledlen$, allora $sgn(alpha)=(-1)^(d-1)$
Banalmente- vero per $d=1$ perché in tal caso ...
Nella definizione di campo non è necessario inserire l'assioma di commutatività della somma ($a+b=b+a$) infatti si può ottenere questa proprietà dagli altri assiomi.
Dati $a,b$ $in$ $K$ sia $c=(1+1)*(a+b)$ $rArr$ $c=1*(a+b)+1*(a+b)=(a+b)+(a+b)$ e inoltre
$c=(1+1)*a+(1+1)*b=(a+a)+(b+b) rArr -a+c+(-b)=-a+(a+b)+(a+b)+(-b)=(-a+a)+b+a+(b+(-b))=0+b+a+0=b+a$
e inoltre $-a+c+(-b)=-a+(a+a)+(b+b)+(-b)=(-a+a)+a+b+(b+(-b))=0+a+b+0=a+b rArr <br />
a+b=b+a$
è giusta questa dimostrazione?
Definizione: un insieme $\Gamma$ di formule di un linguaggio del primo ordine si dice soddisfacibile se esistono una struttura $S$, un'algebra di Boole $B$ ed una valutazione $V$ tali che $V(\phi)=1_B$ per ogni formula $\phi \in \Gamma$.
Teorema di compattezza: un insieme $\Gamma$ di formule di un linguaggio del primo ordine è soddisfacibile se e solo se ogni suo sottoinsieme finito è soddisfacibile.
Sono interessato a capire se ...
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