Automorfismi di un campo
Sia $p(x)$ un polinomio di grado $n$ a coefficienti in $Q$ ed ivi irriducibile, sia $x_1$ una sua radice, e sia anche $E=Q(x_1)$ il suo campo di spezzamento, come potrei mostrare che esistono esattamente $n$ automorfismi $sigma$ di $E->E$ tali che $sigma(a)=a$ per ogni $a$ $in$ $Q$?
Ovviamente la dimensione di $|E:Q|=n$ visto che il polinomio è irriducibile e di grado $n$ quindi una base di $E$ risulta ${1,x_1,x_1^2, .., x^(n-1)}$.
Ovviamente la dimensione di $|E:Q|=n$ visto che il polinomio è irriducibile e di grado $n$ quindi una base di $E$ risulta ${1,x_1,x_1^2, .., x^(n-1)}$.
Risposte
"francicko":
Ovviamente la dimensione di $|E:Q|=n$ visto che il polinomio è irriducibile e di grado $n$ quindi una base di $E$ risulta $(1,x_1,x_1^2)$.
??? E comunque gli insiemi si scrivono tra parentesi graffe, non tonde.
Si scusa, avevo sbagliato, ho corretto.
Se $E=Q(x_i)$ campo di spezzamento del polinomio irriducibile di grado $n$ contiene tutte le radici allora sarà $Q(x_1)~~Q(x_2)~~.. Q(x_i) ..~~Q(x_n)$ giusto?
In un automorfismo del campo di spezzamento $E//Q$ visto come spazio vettoriale si devono corrispondere necessariamente le radici del polinomio, ed anche le basi dello spazio vettoriale, giusto?
Una qualsiasi base di $E=Q(x_i)$ del tipo ${1,x_i, x_i^2,....., x_i^(n-1)}$ sarà trasformata da un automorfismo in un altra base del tipo ${1,x_j,x_j^2,..., x_j^(n-1)}$ ciò non dimostra che nel caso specifico gli automorfismi sono esattamente $n$?
In un automorfismo del campo di spezzamento $E//Q$ visto come spazio vettoriale si devono corrispondere necessariamente le radici del polinomio, ed anche le basi dello spazio vettoriale, giusto?
Una qualsiasi base di $E=Q(x_i)$ del tipo ${1,x_i, x_i^2,....., x_i^(n-1)}$ sarà trasformata da un automorfismo in un altra base del tipo ${1,x_j,x_j^2,..., x_j^(n-1)}$ ciò non dimostra che nel caso specifico gli automorfismi sono esattamente $n$?
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