Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Vorrei chiedervi se ci sia un modo furbo per semplificarmi la vita nel calcolo si qualcosa tipo
$2^23≡_(52)20$
E' un esempio casuale che mi sono inventato, però ogni volta me lo calcolo a mano e mi chiedo se ci sia qualche furbata per il calcolo operativo che possa semplificare le cose.
Ringrazio.
"Martino":Ti suggerisco di includere sempre la fonte e un contesto (libro di testo o simili) perché la quantità di notazione non spiegata è veramente scoraggiante.
Hai ragione!! Fonte: le note del corso del professore
Spero di non aver dimenticato nulla:
Notazione:
- \( K \) è campo di numeri, i.e. \( K/\mathbb{Q} \) un estensione di grado finita
- \( \mathcal{O}_K \) è l'anello degli interi di \(K\), i.e l'integral closure (chisura intera?) di \( \mathbb{Z} \) in \( K ...
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Studente Anonimo
29 mag 2021, 16:01
Vorrei domandare alcune cose rispetto a questo esercizio
Sia \( K/ \mathbb{Q} \) un estensione quadratica. Sia \( \mathcal{O}_K \) l'anello degli interi di \(K\),i.e. la chiusura di \( \mathbb{Z} \) in \(K\).
a) Dimostra che \(K=\mathbb{Q} (\sqrt{d}) \) per qualche \(d\in \mathbb{Z} \) privo di quadrati
b) Per \(z=a+b\sqrt{d} \) calcola \( \operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(z) \) e \( \operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(z) \)
c) Dimostra che \( \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{d}] \) se \( d ...
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Studente Anonimo
26 mag 2021, 16:00
Qualcuno mi potrebbe spiegare l'intuizione dietro il regulator di un anello degli interi?
Sia \( (r-1)\)-upla \( ( \epsilon_1,\ldots,\epsilon_{r-1} ) \in (\mathcal{O}_K^{\times})^{r-1} \) tale che
\[ \operatorname{Log}_{\infty} ( \epsilon_1,\ldots,\epsilon_{r-1} ):= ( \operatorname{Log}_{\infty} \epsilon_1,\ldots, \operatorname{Log}_{\infty} \epsilon_{r-1} )) \]
è una \( \mathbb{Z}\)-base di \( \operatorname{Log}_{\infty}(\mathcal{O}_K^{\times}) \) è chiamata un sistema di unità ...
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Studente Anonimo
24 mag 2021, 17:55
Ciao a tutta la sezione.
Vorrei chiedere a voi un aiuto riguardo l'intuizione della dimostrazione per induzione. Studiandola con i postulati di Peano mi ci trovo mostrando come l'insieme l'insieme X=N tramite l'ultimo postulato renda vera una P(n) per ogni $n in X$. Cioè la proposizione vera per un certo n in X e per tutti i successivi (funzione successore) diventa vera per ogni naturale N essendo N=X dall'ultimo postulato.
Quello che non riesco però a vedere è intuitivamente come ...
Sia $Q(root(3)(2),j)$ con $Q$ campo dei razionali, estensione di campo, dove $j=e^((2i(pi))/3)$, visto come spazio vettoriale che dimensione ha? Qual'è una base di tale spazio?
Mi sono imbattuto in un quesito molto semplice di algebra però che mi crea alcuni dubbi ed essendo abbastanza di base vorrei capirlo bene.
Ho $A_n:=[-n,n]={r in RR:-n<=r<=n}$ si chiede di individuare l'intersezione su $n in NN$ di $∩A_n$ (non so scriverla bene, si intende come intersezione arbitraria su n insiemi)
Penso di dover mostrare con la doppia inclusione, intuitivamente mi verrebbe da dire nei confronti dell'insieme {0}
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come dimostrarlo in ...
Vorrei chiedervi, se non fosse di troppo disturbo, qualcosa riguardo una dimostrazione che mi sta facendo ammattire. Purtroppo (o meglio per fortuna) ne ho un mucchio da fare xcasa, tuttavia non ho le soluzioni, quindi non so davvero come apprendere se sbaglio o meno se non confrontandomi con qualcuno che ne sappia di più.
In particolare ho la seguente: $P(A)∪P(B)=P(AUB)<=>(A⊆B)∨(B⊆A)$ da dimostrare.
In particolare ho dimostrato "spezzettando" usando la doppia inclusione sull'uguale e la doppia implicazione ...
Sto leggendo il capitolo sui gruppi di permutazioni dell'Herstein, un aiuto su questi quattro esercizi?
a) Se $A_n$ contiene un sottogruppo normale $H$ che contiene anche un solo 3-ciclo, dimostra che $H=A_n$
b) Dimostra che $A_5$ non ha sottogruppi normali diversi da $(e)$ e $A_5$
c) Determinare i sottogruppi normali di $S_4$
d) Per $n>=5$ dimostrare che $A_n$ è l'unico sottogruppo ...
Salve, dovrei calcolare $N_{\text{GL}(2n,RR)}(\text{Sp}(n,RR))$ essendo [tex]\text{Sp}(n,\mathbb{R})=\{A\in \text{SL}(2n,\mathbb{R}): A^TJA=J\}[/tex] e $J$ la matrice simplettica standard.
Posto per semplicità $G=\text{GL}(2n,RR)$, $S=\text{Sp}(n,\RR)$ ho usato l'identità di Dedekind per dedurre:
\[
N_G(S)=N_G(S)\cap G=N_G(S)\cap (R^\ast I_{2n})\text{SL}(2n,R)=(R^\ast I_{2n})(N_G(S)\cap \text{SL}(2n,R))
\]
Ora sospetto che $N_G(S)\cap \text{SL}(2n,RR)=S$. Per provarlo vorrei sfruttare il fatto che le trasvezioni generano ...
Buongiorno, ho il seguente esempio dove si prova che
$mZZ$ è massimale se e solo se $m$ è un numero primo.
Riporto l'implicazione da destra verso sinistra dove ho maggiori difficolta, dunque
sia $m=p$ con $p$ primo, allora $p>1$ sicché $pZZ subsetZZ.$
Considero $K$ ideale di $ZZ$ per cui $pZZ subseteq ZZ$, allora esiste $n ge 0 $ tale che $K=nZZ$.
Quindi $pZZ subseteq nZZ$ pertanto ...
Ciao
mi sono bloccato sull'ultima parte dell'esercizio dove posta una relazione $R$ su $RR$ ove $rRs<=>r-s inZZ$ richiede di trovare un sistema completo di rappresentanti.
La mia idea è che debba essere $[0,1)$ poiché ho riscritto una classe $<s>={r=z+s| ∃ z in ZZ}$ e noto che effettivamente posto un certo reale s cambiando la scelta di z=...,1,2,3... mi ritrovo ad avere un reale r in un intervallo successivo o precedente di $ [n,n+1)$
[Es] scelgo s=0,5 ...
Buongiorno, ho la seguente caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo quoziente
Caratterizzazione:
Sia $G(circ)$ gruppo, $H$ normale in $G$, se $K' le G/H$ allora $exists K le G$ tale che $H subseteq K$ e $K'=K/H.$
La dimostrazione mi è quasi chiara solo una parte no .... appartenenza.... capirete a breve.
Dimostrazione :
Poniamo $K={x in G\:\ xH in K'}$, quindi dobbiamo verificare $K le G$ per cui $H subseteq K$ e ...
Ciao
Cerco un aiuto riguardo una cosa che mi sta facendo ammattire riguardo l'intuizione logica e quello che sto apprendendo nel corso di analisi come basi per le dimostrazioni.
In particolare mi sono fatto un esempio che non mi torna nel senso comune e vorrei capire formalmente cosa stia facendo
In pratica mi sono detto: di solito se nel parlato comune dico (se A allora B) allora B mi aspetto che A implichi B ed è sempre vero che: se (A=>B) allora vale di nuovo B
Però facendo la ...
Q è numerabile se esiste una corrispondenza biunivoca tra N e Q
La dimostrazione è data dal metodo diagonale di Cantor, firse molto semplice ma faccio fatica a capirlo e poi quale può essere una funzione biettiva da $NN rarr QQ$ Grazie
Mi sono incastrato inizialmente su un dubbio stupidissimo, ossia mi sono detto.
Prese la definizione di inclusione/sottoinsieme $A⊆B$ se $∀x(x in A => x in B)$
E mi sono detto, ma se avessi l'insieme Ø∩A: $(Ø∩A)⊆B$ come lo scrivo? Dovrebbe a rigore essere:
$∀x(x in Ø∩A => x in B)$ il che mi crea dei dubbi. (primo dubbio)
****
(secondo dubbio)
Facciamo un passo indietro... dimostriamo che l'intersezione del vuoto con un arbitrario A è vuoto
Per definizione l'insieme intersezione è ...
Ciao
Avrei una domanda abbastanza terra-terra cui vorrei cercare di darmi risposta. Nelle lezioni di algebra ci sono alcune nozioni di logica e il professore ha detto di mostrare che
Dato un P(x) mostrare l'equivalenza logica
¬(∀xP(x)=∃x(¬P(x))
Il problema è che riesco a vederlo con esempi di P(x) concreti, ma non so come dimostrarlo per un P(x) qualunque.
So che l'equivalenza logica si ha di due proposizioni A=B si ha quando AB è sempre vera (cioè quando A e B hanno stesso valore di ...
Buongiorno, sto cercando di dimostrare che date 3 relazioni su un insieme $A$
$(RUS)∘F= (R∘F) uu (S ∘F )$
Provo a dimostrare prima che
$(R∘F ) uu (S ∘F ) rArr (RUS)∘F$
Siamo $r,s,f in A$ e supponiamo che $(f,r) in (R∘F) uu (S ∘F )$, allora, per definizione di unione,
$ (f,r) in (R∘F ) vv (f,r) in (S ∘F )$
Ora se $ (f,r) in (R∘F)$ allora $EE (f,s) in F ^^ (s,r) in R$, per cui abbiamo
$1)$ $(f,s) in F$
$2$ $ (s,r) in R rArr (s,r) in RuuS $
da questo segue che $(f,r) in (R∘F) rArr (f,r) in (RUS)∘F$ e dunque $(R∘F ) sube (RUS)∘F$
Allo stesso ...
Ciao
Vorrei chiedere una mano per capire un errore su un paio di dimostrazioni abbastanza basilari (seconda lezione seguita del corso).
Vorrei dimostrare per gli insiemi che con -$:=$ \ insiemistico.
1) $A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)$
2) $A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)$
Ho provato in questi due modi,ma non sono certo della correttezza
1) La prima mi sembra tornare:
Ricordando la differenza insiemistica: $G-H={x|x inG∧¬x inH}$ (**)
$F:=(B∩C)={x|x inB∧x inC}$ quindi $x inF$ se e solo se ...
Dati i due polinomi in due variabli $x$ e $y$
$A(y,x)=((a1)*y+(a2))*((a3)*x+(a4))$
$B(y,x)=((b4)-(b3)*x)*((b2)-(b1)*y)$
entrambi congrui a zero modulo un numero $N$ semiprimo
Esiste un metodo per ridurre i coefficienti ,in $x$ ed $y$ minori di $sqrt(N)$ ed il coefficiente in $xy$ minore di $64$ , di una loro combinazione lineare di stesso grado dei polinomi $A(y,x)$ e $B(y,x)$ sfruttando la congruenza ...
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