Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Vorrei dimostrare la seguente proposizione nel contesto degli anelli
Sia A dominio di integrità, allora caratteristica di A è zero (char(A)=0) oppure char(A) è primo.
La mia idea era iniziare con char(A)=1 e notare che:
nomino $k:=char(A)$
] dato che k=1 allora per ogni $a in A$ $ka=0=1a <=> a=0$ dunque $A={0}$ il che contrasta con la definizione di dominio di integrità che richiede l'anello non dato dal solo elemento nullo. dunque k>1
] ...
Ciao a tutti, vi chiedo aiuto su un problema relativo a curve ellttiche, argomento che sto faticando molto a capire.
Mi viene chiesto di considerare il camo $mathbb{F}_32=mathbb{F}_2(xi)_{xi^5 + xi^2 +1}$ (quoziente). Su questo campo definiamo la c.e. data da $Y^2+XY+X^3+(xi^4+xi+1)X^2+xi$. La richiesta è: trovare l'ordine di $Q=(1, xi^3+xi^2+xi+1)$ utilizzando l'algoritmo di Shanks (Baby step-Giant step). Per questo algoritmo mi interessa la cardinalità del gruppo della c.e. giusto? Come lo trovo? E soprattutto ci sono software calcolare ...
Ciao a tutti, ho avuto difficoltà cn due esercizi di algebra 2 spero possiate aiutarmi.
1. Determinare i gradi dei fattori irriducibili di $x^19-1$ in $F_7[x]$.
Ho trovato il fattore $x-1$ ma non so come procedere oltre.
2. Considerato il morfismo $\phi: Z_60^\ast\toZ_(60)^\ast$ dato da $x\tox^2$. Mostrare che $ker\phi \subset Im(\phi)$ e trovare le cardinalità di $ker(\phi)$ e $Im(\phi)$.
Dovrei fare vedere che tutti gli elementi di $Z_60^\ast$ hanno ...
Come posso dimostrare che il polinomio
$$
(x-y)(x^k-y^k)^p,
$$
con $p>2$ e dispari, $k>1$, $p$ non divide $k$, è un non quadrato in $\overline{K}[x,y]$, dove $K$ è un campo di caratteristica $p$?
Come posso dimostrare che il polinomio
$$x^n-y^n,$$
con $n$ dispari, non è un quadrato in $\overline{K}\left[x,y\right]$, dove $K$ è un campo?
Buonasera, ho un dubbio su un passaggio riguardante la dimostrazione del teorema di esistenza delle basi.
Teorema:
Siano $C(+,times)$ corpo, $S(+, times)$ un spazio vettoriale sinistro su $C$.
Sia $X subseteq S$ parte libera, allora esiste $B$ parte libera massimale di $S$.
Dimostrazione:
La dimostrazione fa uso del lemma di Zorn.
Sia $Delta={W|W \ mbox{parte libera di S}, Xsubseteq W}$, dunque, basta provare che $Delta(subseteq)$ è induttivo.
Si ha ...
Ciao , ho questo teorema la cui dimostrazione viene omessa (c'è il rimando ad un altro testo che non ho). L'ho lasciato stare per del tempo, solo che dopo un po' viene richiamato.
(Teorema) Le categorie che hanno i prodotti e gli equalizzatori sono complete.
(Dimostrazione) Sia \(\mathcal C\) una categoria con prodotti ed equalizzatori, \(\mathcal I\) una categoria e \(F : \mathcal I \to \mathcal C\) un funtore: voglio costruire un limite di \(F\). Per convenzione, indico con \(I\) e \(C\) ...
Un campo di numeri \(K\) è detto monogenico se esiste \( \alpha \in \mathcal{O}_K \) tale che \( \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\alpha] \). Lo scopo di questo esercizio è di mostrare un ostruzione all'essere monogenico e di mostrare un esempio di campo non monogenico costruito da Dedekind.
Assumiamo che \(n \) è il grado di \(K \) e \(p < n \) sia un numero primo totalmente spezzato (totally splits?) in \(K\). Sia \( \alpha \in \mathcal{O}_K \) di grado \(n\).
a) Dimostra che
\[ \left| ...
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Studente Anonimo
2 giu 2021, 20:28
AVrei una domanda davvero banale riguardo gli omomorfismi in tal caso di semigruppi $(Z,+)$ in $(Q,+)$
cioè dato f:Z->Q, a |-> a/2
Vorrei provare che 0 di Z va in 0 di Q (neutro in neutro)
e mi chiedo: avendo $a ->a/2$ ho $0 -> 0/2=0$
Ma corretttamente avrei: $0_Z->0_Q/2=0_Z$ oppure $0_Z->0_Z/2=0_Z$ cioè non capisco se "al numeratore" di a/2 la a sia intesa già in Q o ancora in Z.
E' una domanda stupida ma essendo all'inizio vorrei chiarire fin da subito ...
Vorrei chiedervi se ci sia un modo furbo per semplificarmi la vita nel calcolo si qualcosa tipo
$2^23≡_(52)20$
E' un esempio casuale che mi sono inventato, però ogni volta me lo calcolo a mano e mi chiedo se ci sia qualche furbata per il calcolo operativo che possa semplificare le cose.
Ringrazio.
"Martino":Ti suggerisco di includere sempre la fonte e un contesto (libro di testo o simili) perché la quantità di notazione non spiegata è veramente scoraggiante.
Hai ragione!! Fonte: le note del corso del professore
Spero di non aver dimenticato nulla:
Notazione:
- \( K \) è campo di numeri, i.e. \( K/\mathbb{Q} \) un estensione di grado finita
- \( \mathcal{O}_K \) è l'anello degli interi di \(K\), i.e l'integral closure (chisura intera?) di \( \mathbb{Z} \) in \( K ...
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Studente Anonimo
29 mag 2021, 16:01
Vorrei domandare alcune cose rispetto a questo esercizio
Sia \( K/ \mathbb{Q} \) un estensione quadratica. Sia \( \mathcal{O}_K \) l'anello degli interi di \(K\),i.e. la chiusura di \( \mathbb{Z} \) in \(K\).
a) Dimostra che \(K=\mathbb{Q} (\sqrt{d}) \) per qualche \(d\in \mathbb{Z} \) privo di quadrati
b) Per \(z=a+b\sqrt{d} \) calcola \( \operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(z) \) e \( \operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(z) \)
c) Dimostra che \( \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{d}] \) se \( d ...
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Studente Anonimo
26 mag 2021, 16:00
Qualcuno mi potrebbe spiegare l'intuizione dietro il regulator di un anello degli interi?
Sia \( (r-1)\)-upla \( ( \epsilon_1,\ldots,\epsilon_{r-1} ) \in (\mathcal{O}_K^{\times})^{r-1} \) tale che
\[ \operatorname{Log}_{\infty} ( \epsilon_1,\ldots,\epsilon_{r-1} ):= ( \operatorname{Log}_{\infty} \epsilon_1,\ldots, \operatorname{Log}_{\infty} \epsilon_{r-1} )) \]
è una \( \mathbb{Z}\)-base di \( \operatorname{Log}_{\infty}(\mathcal{O}_K^{\times}) \) è chiamata un sistema di unità ...
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Studente Anonimo
24 mag 2021, 17:55
Ciao a tutta la sezione.
Vorrei chiedere a voi un aiuto riguardo l'intuizione della dimostrazione per induzione. Studiandola con i postulati di Peano mi ci trovo mostrando come l'insieme l'insieme X=N tramite l'ultimo postulato renda vera una P(n) per ogni $n in X$. Cioè la proposizione vera per un certo n in X e per tutti i successivi (funzione successore) diventa vera per ogni naturale N essendo N=X dall'ultimo postulato.
Quello che non riesco però a vedere è intuitivamente come ...
Sia $Q(root(3)(2),j)$ con $Q$ campo dei razionali, estensione di campo, dove $j=e^((2i(pi))/3)$, visto come spazio vettoriale che dimensione ha? Qual'è una base di tale spazio?
Mi sono imbattuto in un quesito molto semplice di algebra però che mi crea alcuni dubbi ed essendo abbastanza di base vorrei capirlo bene.
Ho $A_n:=[-n,n]={r in RR:-n<=r<=n}$ si chiede di individuare l'intersezione su $n in NN$ di $∩A_n$ (non so scriverla bene, si intende come intersezione arbitraria su n insiemi)
Penso di dover mostrare con la doppia inclusione, intuitivamente mi verrebbe da dire nei confronti dell'insieme {0}
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come dimostrarlo in ...
Vorrei chiedervi, se non fosse di troppo disturbo, qualcosa riguardo una dimostrazione che mi sta facendo ammattire. Purtroppo (o meglio per fortuna) ne ho un mucchio da fare xcasa, tuttavia non ho le soluzioni, quindi non so davvero come apprendere se sbaglio o meno se non confrontandomi con qualcuno che ne sappia di più.
In particolare ho la seguente: $P(A)∪P(B)=P(AUB)<=>(A⊆B)∨(B⊆A)$ da dimostrare.
In particolare ho dimostrato "spezzettando" usando la doppia inclusione sull'uguale e la doppia implicazione ...
Sto leggendo il capitolo sui gruppi di permutazioni dell'Herstein, un aiuto su questi quattro esercizi?
a) Se $A_n$ contiene un sottogruppo normale $H$ che contiene anche un solo 3-ciclo, dimostra che $H=A_n$
b) Dimostra che $A_5$ non ha sottogruppi normali diversi da $(e)$ e $A_5$
c) Determinare i sottogruppi normali di $S_4$
d) Per $n>=5$ dimostrare che $A_n$ è l'unico sottogruppo ...
Salve, dovrei calcolare $N_{\text{GL}(2n,RR)}(\text{Sp}(n,RR))$ essendo [tex]\text{Sp}(n,\mathbb{R})=\{A\in \text{SL}(2n,\mathbb{R}): A^TJA=J\}[/tex] e $J$ la matrice simplettica standard.
Posto per semplicità $G=\text{GL}(2n,RR)$, $S=\text{Sp}(n,\RR)$ ho usato l'identità di Dedekind per dedurre:
\[
N_G(S)=N_G(S)\cap G=N_G(S)\cap (R^\ast I_{2n})\text{SL}(2n,R)=(R^\ast I_{2n})(N_G(S)\cap \text{SL}(2n,R))
\]
Ora sospetto che $N_G(S)\cap \text{SL}(2n,RR)=S$. Per provarlo vorrei sfruttare il fatto che le trasvezioni generano ...
Buongiorno, ho il seguente esempio dove si prova che
$mZZ$ è massimale se e solo se $m$ è un numero primo.
Riporto l'implicazione da destra verso sinistra dove ho maggiori difficolta, dunque
sia $m=p$ con $p$ primo, allora $p>1$ sicché $pZZ subsetZZ.$
Considero $K$ ideale di $ZZ$ per cui $pZZ subseteq ZZ$, allora esiste $n ge 0 $ tale che $K=nZZ$.
Quindi $pZZ subseteq nZZ$ pertanto ...
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