Polinomio irriducibile
ciao a tutti, ho incontrato delle difficoltà in algebra spero qualcuno possa aiutarmi.
dovrei provare se $x^p-px-1=0$ è irriducibile in Z. Eseinstein fallisce, non ho trovato raccoglimenti utili, nè sono riuscito a provarlo irriducibile su un qualche $Z_q$ con q primo (che mi permetterebbe di concludere), infine considerazioni sul grado del polinomio non sembrano efficaci perchè p è un generico primo. Come si potrebbe fare?
Poi si chiedeva se è vero che un polinomio $f(x)$ è irriducibile su $Q[x]$ se e solo se lo è $f(x+1)$. Credo che i due anelli $Q[x]$ e $Q[x+1]$ siano isomorfi come estensioni di Q (anche se non l'ho dimostrato accuratamente) quindi opterei per una risposta positiva in entrambe le implicazioni ma non sono riuscito a capire bene.
Grazie
dovrei provare se $x^p-px-1=0$ è irriducibile in Z. Eseinstein fallisce, non ho trovato raccoglimenti utili, nè sono riuscito a provarlo irriducibile su un qualche $Z_q$ con q primo (che mi permetterebbe di concludere), infine considerazioni sul grado del polinomio non sembrano efficaci perchè p è un generico primo. Come si potrebbe fare?
Poi si chiedeva se è vero che un polinomio $f(x)$ è irriducibile su $Q[x]$ se e solo se lo è $f(x+1)$. Credo che i due anelli $Q[x]$ e $Q[x+1]$ siano isomorfi come estensioni di Q (anche se non l'ho dimostrato accuratamente) quindi opterei per una risposta positiva in entrambe le implicazioni ma non sono riuscito a capire bene.
Grazie
Risposte
Ciao, se $P(x)$ è un prodotto $f(x) * g(x)$ allora ovviamente $P(x+1)=f(x+1) * g(x+1)$.
Inoltre se $f(x)$ ha grado $n$ allora anche $f(x+1)$ ha grado $n$ (come polinomio nella variabile $x$). Te lo lascio dimostrare per esercizio. Questo è importante per garantire che il grado non si abbassi.
Questi fatti implicano che se $P(x)$ è riducibile allora $P(x+1)$ è riducibile, detto in altri termini se $P(x+1)$ è irriducibile allora $P(x)$ è irriducibile.
Quindi per mostrare che $P(x)$ è irriducibile ti basta mostrare che $P(x+1)$ è irriducibile.
Per motivi analoghi vale il viceversa, cioè in generale $P(x)$ è irriducibile se e solo se $P(x+1)$ è irriducibile.
Ma attento perché questo viceversa non vale per polinomi di grado maggiore di $1$, per esempio $P(x)=x^2+1$ è irriducibile in $RR[x]$ ma $P(x^2)=x^4+1$ è riducibile.
Inoltre se $f(x)$ ha grado $n$ allora anche $f(x+1)$ ha grado $n$ (come polinomio nella variabile $x$). Te lo lascio dimostrare per esercizio. Questo è importante per garantire che il grado non si abbassi.
Questi fatti implicano che se $P(x)$ è riducibile allora $P(x+1)$ è riducibile, detto in altri termini se $P(x+1)$ è irriducibile allora $P(x)$ è irriducibile.
Quindi per mostrare che $P(x)$ è irriducibile ti basta mostrare che $P(x+1)$ è irriducibile.
Per motivi analoghi vale il viceversa, cioè in generale $P(x)$ è irriducibile se e solo se $P(x+1)$ è irriducibile.
Ma attento perché questo viceversa non vale per polinomi di grado maggiore di $1$, per esempio $P(x)=x^2+1$ è irriducibile in $RR[x]$ ma $P(x^2)=x^4+1$ è riducibile.
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