Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Buonasera.
Se ho un anello $(A,+, times)$ unitario, e, $H$ un suo ideale bilatero di $A$.
Devo provare che da $H subset A$ segue $A/H ne {0}$. Questa cosa non riesco a vederla ad occhio.
Ho provato a procedere per assurdo ma mi blocco su un punto, cioè
$A/H={x+H:x in A}={0} to forall x+H in A/H to x+H in {0}$
Come posso continuare ?
Salve ragazzi sto cercando di risolvere il seguente esercizio
Dato il gruppo $GL(2, \mathbb{Q})$ delle matrici invertibili su $\mathbb{Q}$, si consideri il sottoinsieme $A$ delle matrici del tipo:
\begin{pmatrix} 1-c & -c \\ c & 1+c \end{pmatrix} con $ c \in \mathbb{Z}$
Si provi che $A$ è un sottogruppo e si determini la sua cardinalità.
La verifica che si tratta di un sottogruppo son riuscito a farla agilmente, il dubbio è sulla cardinalità. Qualche imbeccata su ...
Salve,
Volevo dimostrare che se in $S_6$ prendo in cicli $\tau = (1 4) $ e $ \sigma = (1 2 3 4 5 6)$ allora questi non sono un sistema di generatori per $S_6$. Di solito per dimostrare che un certo insieme di generatori genera $S_6$ si procede verificando che un certo sistema noto di generatori di $S_6$ si ottiene in vari modi dai due generatori $\sigma$ e $\tau$. Tuttavia se invece devo dimostrare che questi non generano ...
Buongiorno, sto provando a verificare che il gruppo quoziente $(QQ/ZZ,+)$ è un gruppo periodico infinito.
Osservo
i) Il $(G,+)$ gruppo si dice periodico se esiste $n>0$ tale che $forall x in G$ risulta $nx=1_G$
ii) L'unità di $QQ/ZZ$ è $ZZ$
iii) Gli elementi di $QQ/ZZ$ sono dalla forma $x+ZZ$ con $x in QQ$.
Dunque, devo verificare per quale $n in NN$ si ha $n(x+ZZ)=ZZ.$
Preso ...
Buongiorno, vi chiedo gentilmente aiuto per il seguente esercizio:
Sia $E$ la curva ellittica di equazione $y^2=x^3+3$ sul campo $K=GF(29)$.
a) Si determini l'ordine di $E$;
b) Si definisca $E[n]$;
c) Si determini $E\cap E[9]$;
I miei problemi riguardano principalmente la domanda c).
Vi riporto lo svolgimento degli altri punti per conferma:
a) Conosco il seguente Teorema:
Sia $E(GF(q))$ la curva sul campo ...
Senza nessuna pretesa di rigore, pensavo al seguente argomento per rendere visivamente plausibile l'aggettivo "interni" per gli automorfismi per coniugazione. Ve lo propongo per vedere se, al di là della possibile arbitrarietà di alcune interpretazioni, non vi siano almeno degli errori.
La moltiplicazione a sinistra e a destra per un fissato $a\in G$, ovvero \(\theta\colon G\to\operatorname{Sym}(G)\) e \(\gamma\colon G\to\operatorname{Sym}(G)\) definite da $\theta_a(g):=ag$ e ...
Buongiorno, vi chiedo gentilmente di aiutarmi con il seguente esercizio
Si dica per quali primi $p$ $x^3+x-3\equiv 0 \mod p$ ha soluzione.
Non chiedo la soluzione ma un piccolo suggerimento per partire.
Grazie a chi risponderà!
Buongiorno.
Cerco una soluzione a un problema, inizialmente dovevo svolgere il seguente esercizio. Ho trovato la dimostrazione corretta, però ne ho anche un'altra che mi porta ad errore e dimostrare una cosa in teoria non vera. Non riesco a scovare l'errore e credo mi aiuterebbe a non ripeterlo capire a fondo.
Il tutto è nato con il seguente esercizio ormai risolto:
Siano
A,B⊆I. Dimostrare che: se (I\B)⊆(I\A) allora A⊆B
Ora un ragionamento che mi sembra corretto ma mi porta ad errore:
io ho ...
Ciao ragazzi, avrei bisogno di un vostro parere che mi sta mandando in confusione.
Sia $A={2,3,4,5,6,60}$ un insieme parzialmente ordinato dalla relazione d'ordine:
$xRy hArr x|y$, cioè x divide y.
Si mostra facilmente che è un insieme parzialmente ordinato (vale riflessiva, transitiva e antisimmetrica).
Adesso mi chiedo se questo insieme è completo.
Un poset $a$ è completo se $AA b sube a EE vvb$, dove $vvb=$sup(b)=minimo dei maggioranti di b
Un elemento m è ...
Salve a tutti,
Sto cercando di risolvere questo esercizio col principio di induzione:
$7 sum_{i=0}^(n+1) 8^i = 8^(n+2) -1$
la base dell'induzione è dimostrata e mi viene con $n=0$ :
$63 = 63$
per il passo induttivo invece faccio con $n=1$:
$8^(n+2) -1 + 7 * 8^(n+2) = 8^(n+3)-1$
Tuttavia da qui non riesco ad ottenere a sinistra dell'uguale la forma che è a destra.
Grazie a chi mi aiuterà
Siano $(G,**)$ e $H,K le G.$ Devo verificare
Se $H$ normale in $<HcupK>$ comporta $HK=KH.$
Per il seguito, mi occorrono
1)$H$ \(\displaystyle \unlhd\) $<HcupK> <=> Hx=xH, forall x in <HcupK>,$
2)$<HcupK>\={hk|h in H, k in K}.$
3)L'unione insiemistica è commutativa, dunque $<HcupK>\=<KcupH>.$
Preso $x in <HcupK> $ esistono $h_1 in H, k_1 in K$ tali che $x=h_1k_1,$
inoltre, dalla 2) e 3) esistono $k_2 in K, h_2 in H$ tali che $h_1k_1=k_2h_2. $
Allora dalla 1) si ha ...
Salve, potrei affermare che se $G$ è un gruppo allora i suoi sottogruppi CICLICI sono in corrispondenza biunivoca con $Hom(\mathbb{Z},G)$? L'idea è che $\forall f\in Hom(\mathbb{Z},G)$ si ha che $Im(f)<G$ ma per il primo teorema di omomorfismo $\mathbb{Z}\\Ker(f)< G$ e poichè i sottogruppi di $\mathbb{Z}$ sono tutti e soli gli $m\mathbb{Z}$ allora $f$ è un omomorfismo se e solo se $G$ contiene una copia di $\mathbb{Z}\\m\mathbb{Z}$ per $m \in \mathbb{Z}$, visto che ...
Avendo una legge $g: ZZ -> RR : AA x in ZZ g(x) = 2abs(x) -7$
Devo dimostrare che è una funzione e se lo è, se è iniettiva e suriettiva.
Come si dimostra che questa è una funziona? Ad occhio direi che ogni elemento di $ZZ$ ha un corrispettivo nel codominio, ma basta dire questo?
Per la iniettività imposto $g(x1) = g(x2)$ ed ottengo una identità
Per la suriettività trovo la x dalla y cioè : $x=sqrt((3) (5/2y-4))$ che è sempre definita quindi è anche suriettiva.
E' giusto il mio ragionamento?
Grazie
Ciao a tutti.
Vorrei porre una domanda sul terzo assioma (in particolare parlo dei tre assiomi seguenti:)
esiste 0 in N
la funzione detta successore è iniettiva ma non suriettiva non coprendo lo 0
dato X sottoinsieme di N è tale che se 0 sta in X, e per ogni n di X abbiamo che anche s(n) sta in X, allora X=N
stavo cercando di capire il senso sel terzo, esso leggo online che dovrebbe garantire che N sia il più piccolo insieme contenente lo 0 e il successore di ogni elemento senza che si ...
Salve a tutti
Ho la seguente proposizione: Sia $G$ un gruppo e sia $K:=\bigcap_{H<G, H\ne{e}}H\ne{e}$. Dimostrare che $\forall x \in G$ $o(x)<+\infty$.
Per dimostrare che se $x\in G\\{e}$ allora $o(x)<+\infty$ non mi viene nessuna idea interessante. So che $<x>\ne{e}$ e questo mi dice che sicuramente $K< <x>$. Dunque $K$ è ciclico. Ma non mi riesce di concludere niente altro. Per di più nessuno ha mai detto che $o(G)<+\infty$ e nel caso ...
Buonasera a tutti! Avrei bisogno di aiuto con un'equazione diofantea sulla quale sbatto la testa da un po':
\(x^2+5^4=5^y, \hspace{30pt} (x,y)=\mathbb{Z}_{\geq 0}^2.\)
Per $y=2k, k\in\mathbb{Z}_{\geq 2}$ basta notare che la quantità $5^{y-4}-1=5^{2(k-2)}-1$ dev'essere un quadrato perfetto, il che accade soltanto per $k=2$. Quindi una soluzione, l'unica per $y$ pari, è $(x,y)=(0,4)$.
Primo modo. Perché l'equazione abbia soluzioni, deve esistere $a\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ tale che ...
Salve,
sto facendo questo esercizio da dimostrare col principio di induzione:
$\sum_{i=-1}^(n+1)(3i+1)=3/2(n+1)(n+2)+n$
ho fatto il passo 0:
$3=3$
quindi P(0) è dimostrato,
P(1):
$\sum_{i=-1}^(n+2)(3i+1)=3/2(n+1+1)(n+1+2)+n+1$
da qui:
$3/2(n+1)(n+2)+n+3(n+1)+1 = 3/2(n+2)(n+3)+n+1$
dopo qualche passaggio:
$3/2(n+1)(n+2)+4n+7 = 3/2(n+2)(n+3)+n+1$
Da qui, anche sviluppando i calcoli, non riesco ad arrivare alla forma a sinistra dell'uguale.
Qualcuno può dirmi se sto sbagliando qualcosa?
Grazie
Mi piacerebbe discutere con qualcuno su come rendere rigorosa la richiesta del seguente
Esercizio:
Sia Sun insieme completo di rappresentanti delle classi d’equivalenza di una relazione d’equivalenza R. Dimostrare che π|S:S→A/R,s→ e una biiezione (con π|S proiezione canonica ristretta ad S)
Le cose che so dalla teoria sono che: $[a]:={b|bRa}$ poi A/R=${[a]|a in A}$
Quello che non riesco a rendere bene è l'insieme completo di rappresentati, ossia ...
Buongiorno!
Vi chiedo un aiuto per dimostrare l'uguaglianza tra due insiemi (in particolare siamo dell'ambibto MCD) ${d∈ NN:d|a ∧ d|b}={d∈ NN:d|b ∧ d|r}$.
in particolare indico con r il resto della divisione euclidea $a=q*b+r$ con b diverso da 0 ecc. ecc.
L'idea è mostrare la doppia inclusione e il professore dice:
⊆) vera poiché se $d|a$ ∧ $d|b$ allora $d|(a-bq)=r$ e va benissimo questa scrittura.
Però non mi torna per nulla l'equivalenza delle due proposizioni definenti ...
Vorrei chiedere un gentile aiuto nell'interpretare questa proposizione:
il prof scrive che se ho una relazione binaria $R$ su $A$ (insieme) se R è sia simmetrica che antisimmetrica dati a e b in A vale sempre a=b.
Dimostrazione: aRb (ma essendo simmetrica) => aRb e bRa (ed essendo transitiva) => a=b, in definitiva: aRb =>a=b cvd
Quello che non capisco però è che per simmetria ho che per ogni a e b: aRb =>bRa (definizione), ma come giungo da questa implicazione a ...
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