Teoria di galois
Non riesco a capire il seguente teorema, potreste darmi un piccolo aiuto?
Siano $F$ ed $F'$ due campi isomorfi con rispettivamente $E$ ed $E'$ campi di spezzamento dei polinomi $f$ $in$ $F[x]$, ed $f'$ $in$ $F'[x]$ Supponiamo che ogni fattore irriducibile di $f$ abbia radici distinte in $E$.Allora il numero di isomorfismi $sigma$ di $E->E'$ tali che $sigma(a)=a'$ per ogni $a$ $in$ $F$ coincide con $|E:F|$
Siano $F$ ed $F'$ due campi isomorfi con rispettivamente $E$ ed $E'$ campi di spezzamento dei polinomi $f$ $in$ $F[x]$, ed $f'$ $in$ $F'[x]$ Supponiamo che ogni fattore irriducibile di $f$ abbia radici distinte in $E$.Allora il numero di isomorfismi $sigma$ di $E->E'$ tali che $sigma(a)=a'$ per ogni $a$ $in$ $F$ coincide con $|E:F|$
Risposte
Una buona idea per "capire" un teorema è dimostrarlo.
Se $|E:F|=1$ banalmente si ha $E=F$ pertanto avremo un unico isomorfismo cioè un solo $sigma$ tale che $sigma(a) =a'$ giusto?
Se invece $|E:F|>1$ come posso procedere? Grazie!
Se invece $|E:F|>1$ come posso procedere? Grazie!
x@megas_archon.
Hai perfettamente ragione, e ci sto provando, la volontà non mi manca, solo che ho difficoltà a capire, per questo chiedo un piccolo aiuto!
Ad esempio se prendo il polinomio $x^2-2$ con radici $sqrt(2),-sqrt(2)$, il suo campo di spezzamento risulta facilmente $E=Q(sqrt(2))$ il gruppo degli automorfismi è banalmente $S_2$, l'identico, ed il $sigma$ tale che $sigma(sqrt(2))=-sqrt(2)$ ed $sigma(-sqrt(2)) =sqrt(2)$ una base di $E$ come spazio vettoriale su $Q$ risulta essere $(1,sqrt(2)) $, quindi $E$ ha dimensione $2$ come afferma il teorema, ed in generale per i polinomi dii secondo grado risulta sempre vero, mi sbaglio?
Se passo ad i polinomi di terzo grado come posso dimostrarlo sfruttando il risultato precedente?
Hai perfettamente ragione, e ci sto provando, la volontà non mi manca, solo che ho difficoltà a capire, per questo chiedo un piccolo aiuto!
Ad esempio se prendo il polinomio $x^2-2$ con radici $sqrt(2),-sqrt(2)$, il suo campo di spezzamento risulta facilmente $E=Q(sqrt(2))$ il gruppo degli automorfismi è banalmente $S_2$, l'identico, ed il $sigma$ tale che $sigma(sqrt(2))=-sqrt(2)$ ed $sigma(-sqrt(2)) =sqrt(2)$ una base di $E$ come spazio vettoriale su $Q$ risulta essere $(1,sqrt(2)) $, quindi $E$ ha dimensione $2$ come afferma il teorema, ed in generale per i polinomi dii secondo grado risulta sempre vero, mi sbaglio?
Se passo ad i polinomi di terzo grado come posso dimostrarlo sfruttando il risultato precedente?
È un teorema classico, hai provato a studiare su un libro? Per esempio Jacobson, Basic Algebra I (ottimo libro, che ti consiglio di comprare).
É scritto anche in italiano?
No è in inglese. Comunque limitarti all'italiano è molto riduttivo. In ogni caso sono cose che è meglio studiare sui libri, c'è una teoria dietro che va digerita, non puoi capire velocemente queste cose da uno scambio di messaggi su un forum.
Capisco, ma sto tentando di addentrarmi nell'argomento, momentaneamente ho disponibile come testi solo l'Herstein che sarà anche uno dei migliori testi, almeno così dicono, ma personalmente mi confonde, invece ho un altro testo più semplice ed articolato nell' esposizione, "Teoria di Galois" di Willem A. De Graaf, magari lo conosci, la dimostrazione sembra più abbordabile, solo che non riesco a capire qual'è il passo induttivo, penso che anche negli altri testi usino anche l'induzione, puoi darmi almeno un piccolo aiuto? Cercherò comunque di seguire il tuo consiglio, e di procurarmi qualche altro testo. Grazie!
In questo caso la cosa migliore è postare qui la dimostrazione che non capisci (per esempio allegando una scannerizzazione) e indicare esattamente quali passaggi non ti sono chiari.
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