Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Dimostra che \[ \pi(x) \geq \log \log(x) \] Se riesco a dimostrare che \( x \geq \log(x)^{\log(x)} \) sugli interi allora riesco a dimostrare il claim. Siccome poi farei così \[ \prod_{p \leq x} p \geq x \] Siccome se \(x \geq 2\) è pari allora abbiamo che tra \( x \) e \( x/2 \) esiste almeno un primo \(p\) inoltre \(x \geq 2\) è primo dunque \[ \prod_{p \leq x} p \geq 2p \geq x \geq \log(x)^{\log(x)} \] Se \( x \geq 2 \) è dispari allora abbiamo che tra \( x+1 \) e \( (x+1)/2 \) esiste ...

\( \newcommand{\Ker}[1]{\operatorname{Ker}{#1}} \)\( \newcommand{\Im}[1]{\operatorname{Im}{#1}} \)Ciao. Siano \( \phi\colon A\to B \) e \( \psi\colon B\to C \) omomorfismi di moduli. È ovvio che le affermazioni 1) \( \psi\circ\phi = 0 \); 2) \( \phi \) si fattorizza attraverso l'inclusione \( \iota \) di \( \Ker\psi \) in \( B \); 3) \( \psi \) si fattorizza attraverso la proiezione canonica \( \pi\colon B\to B/{\Im\phi} \); sono equivalenti. Per dimostrare che 1) sse 3), è sufficiente il ...

Risolvendo questo esercizio mi sono venuti due dubbi i) Dimostra che ogni \(R\)-modulo semplice \(M\) è ciclico, ovvero che è isomorfo all' \(R\)-modulo \(Rm\) definito in corso, per qualche \(m \in M \). ii) Sia \(M\) un \(R\)-modulo sinistro e \(m \in M \) un elemento di \(M\), definiamo \( \mathcal{A}nn(m) \subset R\) come l'insieme degli elementi \(r \in R \) tale che \(rm=0 \). Dimostra che \( \mathcal{A}nn(m) \) è un ideale sinistro di \(R\) e che l' \(R\)-modulo sinistro \(Rm\) è ...

Per definizione ogni elemento inverso porta ad 'estrarre' sempre l'elemento neutro o identity element dalla presenza dell'inverso. Il contrario, invece, non è vero, cioè, dato un elemento neutro non è vero che allora esiste un elemento inverso. A me sta cosa puzza di bruciato, nel senso che, non è chiaro il motivo di questa asimmetria nelle definizioni. Cercavo di capire se fosse possibile costruire un elemento inverso senza l'elemento identità. Quindi mi sorge questa domanda Proponendo un ...

Ciao a tutti, non riesco a trovare una fonte adatta a capire questo argomento. A volte è necessario trovare il MCD tra due interi di gauss e si può procedere con l'algoritmo euclideo. Il problema è, come si effettua la fattorizzazione? Ho difficoltà a svolgere la divisione nel modo 'classico' (in colonna come per i polinomi), allora provo a fattorizzare ad occhio ma non è una strategia né efficiente né spesso efficace. Ad esempio come si effettua la divisione tra $15-5i$ e ...

sono nuova e ho una connessione che fa un po' schifo, perciò non so se il precedente messaggio che ho scritto è stato inviato oppure no. Lo riscrivo qui, sperando in una risposta. Ho chiesto ad un professore di inviarmi i test di valutazione degli anni precedenti per la facoltà di matematica presso la quale mi sono iscritta e ci sono queste due domande di cui conosco la risposta ma non il motivo di quest'ultima. "quanti sono i polinomi di terzo grado che si annullano in -1,0 e 1 valgono ...

Salve, dopodomani dovrò sostenere un esame di algebra e sto incontrando alcune difficoltà con il seguente esercizio, in particolare nel provare che G è un sottogruppo. Qualcuno potrebbe aiutarmi? Nel gruppo \(\displaystyle GL(2, \mathbb{Q}) \) delle matrici \(\displaystyle 2\times 2 \) invertibili su \(\displaystyle \mathbb{Q} \), si consideri il sottoinsieme \(\displaystyle G = \left\{\left(\begin{matrix}1+c&c\\-c&1-c\\\end{matrix}\right)\ t.c.\ \ c\in\mathbb{Q}\right\} \) Si provi che ...

Buonasera ho problemi ad dimostrare l'iniettività e la surriettività potete aiutarmi posto di seguito l'esercizio: $f : X \in P ( Z ) \Rightarrow X \cap { 3 } \in P ( N )$ $ g : X \in P ( Z ) \Rightarrow X \cap { 3 } \in P ( Z )$ si dica se è o non è ben definita come applicazione e, nel caso lo sia, se è iniettiva, suriettiva, biettiva, calcolando in quest’ultimo caso l’applicazione inversa. $---------------------------$ per quando riguarda f non è ben definita. Ma g invece è ben definita ora calcolo la suriettivià: ...

Salve a tutti, volevo più una conferma, ovvero se la definizione di funzione inclusione è giusta; siano $A$ e $B$ due insiemi, ove $A \subseteq B$ e \( A \neq \emptyset \) e \( B \neq \emptyset \), dicesi funzione inclusione di $A$ in $B$, ed indicasi con la scrittura $i:A \rightarrow B$, una funzione binaria di $A$ in $B$ e $i(x)=x, \forall x \in A$ Ringrazio anticipatamente! Cordiali saluti

Buon pomeriggio. Ho il seguente problema. Dati due complessi di catene $X = (X_n, d_n^X)$ e $Y = (Y_n, d_n^Y)$, definisco il coprodotto $X \oplus Y$ elemento per elemento, ossia $X \oplus Y = (X_n \oplus Y_n, d_n)$, dove i differenziali sono ottenuti applicando la proprietà universale al diagramma: dove le $i_{X_n}$ e $i_{Y_n}$ sono le inclusioni. Fin qui tutto chiaro. Però si deve dimostrare che, effettivamente, $d_{n-1} \circ d_n = 0$, essendo con complessi di catene. Qui il ...

Buonasera, sto svolgendo un esercizio riguardante i gruppi. Riporto solo una parte dell'esercizio una volta discussa procedo con la rimanente, giusto per non creare molta confusione. Sia $G=GL(2,ZZ_8)$, sia $H subseteq G$ definito ponendo \(\displaystyle H=({\begin{vmatrix} y & x \\ 0 & y \end{vmatrix}} \:\ x \in \mathbb{Z_8}, y \in \mathbb{Z_8^*} ) \) a) $H le G$ Risulta $H ne \emptyset$, infatti \(\displaystyle I={\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}} \), in tal ...

Come fattorizzo \(\displaystyle x^6 + x^3 +1\) su \(\displaystyle \mathbb{R} \)?

Sia $x^3 - x-1$ il polinomio in oggetto: essendo irriducibile in $Q$, ed avendosi $delta=sqrt(Delta)$ non appartenente a $Q$ posso affermare che il gruppo di Galois è $S_3$. Posso costruire il campo $Q(alpha)={a_0+a_1(alpha)+a_2(alpha)^2$ $ | $ $a_i$ $in$ $Q, $ $alpha^3 =alpha+1}$ , come posso calcolare esplicitamente i campi intermedi?

buon pomeriggio ho dubbi nel calcolare la parte chiusa in questo esercizio: $\AA a, b \in ZZ_23$ $ a ⊕ b = a + b + 1$ $ a ◦ b = ab + a + b$ (iv) Sia $ V = {−2, 0} ⊆ ZZ_23$. V è una parte chiusa in $(ZZ_23, ◦)$? V è un sotto-anello di $ (ZZ_23, ⊕, ◦)$? Io mi sono calcolato: 1) $0◦0 \in {0,-2}\subseteq ZZ_23$ 2) $0◦-2\in {0,-2}\subseteq ZZ_23$ 3) $-2◦-2\in {0,-2}\subseteq ZZ_23$ Quindi V è una parte chiusa giusto??

Ciao. Sia \( R \) un anello (con unità, come tutti gli altri nel seguito). Se \( M \) è un monoide, si dovrebbe poter costruire un anello \( R[M] \) di funzioni \( M\to R \) a supporto finito ponendo per ogni \( m\mapsto a_m \) e \( m\mapsto b_m \) la somma \( a + b \) pari alla somma di funzioni classica, e il prodotto \( ab \) pari alla funzione \( m\mapsto (ab)_m = \sum_{\substack{x,y\in M\\xy = m}}a_xb_y \). 1. Buona definizione delle operazioni. È evidente che è possibile sommare in quel ...

Quello che ancora non mi è chiaro, è che se ho un estensione $E//F$ di campi, sia $G=Gal(E//F)$, dato un sottogruppo $H$ di $G$ si pone: $E^H$ $={a$ $in$ $E$ $| sigma(a) =a$ per ogni $sigma$ $in$ $H} $, nel testo dice si vede "facilmente" che questo è un campo intermedio, per l'estensione $E//F$. Potreste fornirmi qualche dettaglio in più su questo ...

Buonasera, sto provando a svolgere il seguente esercizio: Sia $G$ gruppo e $N$ un sottogruppo normale di $G$. Provare che se $H,K$ sono sottogruppi di $G$ tali che \(\displaystyle H \triangleleft K \) allora il sottogruppo \(\displaystyle HN \triangleleft KN \). Mi sono bloccato, cioè ho fatto le seguenti osservazioni \(\displaystyle N \triangleleft G \leftrightarrow \forall a \in G\,\ \forall n \in N \ a^{-1}na \in N \), ...

Buonasera sto provando a fare questo esercizio: Per ogni primo (positivo) p si consideri il polinomio $ f_p =x +x −35x −36x+34 \inZ_p[x]. $ (i) lo si usi per determinare l’insieme T dei primi p tali che fp sia divisibile (in Zp[x]) per $x_2 − 1$. (ii) Per ogni $p\in T$ si scriva $f_p$ come prodotto di polinomi monici irriducibili in Zp[x]. Allora per (i) ho fatto ruffini tra $f_p$ e $x_2+1$ ed ho ottenuto $-15$ da ciò ...

Spero sia la sezione corretta, il nostro docente a lezione disse che \(\{\in\}\) è il linguaggio della teoria degli insiemi \(\rm ZFC\), ed \(\in\) è l'unica relazione primitiva che non definiamo, e tutti gli altri simboli sono abbreviazioni di formule ben formate che involgono il simbolo di appartenenza come ad esempio \(X\subseteq Y:=\forall z:(z\in X \to z \in Y)\). Il problema mio nasce dall'assioma di estensionalitá, ovvero $$\forall X,Y:(X=Y \leftrightarrow \forall z:(z\in ...