Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Buonasera, sto svolgendo un esercizio riguardante i gruppi.
Riporto solo una parte dell'esercizio una volta discussa procedo con la rimanente, giusto per non creare molta confusione.
Sia $G=GL(2,ZZ_8)$, sia $H subseteq G$ definito ponendo \(\displaystyle H=({\begin{vmatrix} y & x \\ 0 & y \end{vmatrix}} \:\ x \in \mathbb{Z_8}, y \in \mathbb{Z_8^*} ) \)
a) $H le G$
Risulta $H ne \emptyset$, infatti \(\displaystyle I={\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}} \), in tal ...
Come fattorizzo \(\displaystyle x^6 + x^3 +1\) su \(\displaystyle \mathbb{R} \)?
Sia $x^3 - x-1$ il polinomio in oggetto:
essendo irriducibile in $Q$, ed avendosi $delta=sqrt(Delta)$ non appartenente a $Q$ posso affermare che il gruppo di Galois è $S_3$.
Posso costruire il campo $Q(alpha)={a_0+a_1(alpha)+a_2(alpha)^2$ $ | $ $a_i$ $in$ $Q, $ $alpha^3 =alpha+1}$ , come posso calcolare esplicitamente i campi intermedi?
buon pomeriggio ho dubbi nel calcolare la parte chiusa in questo esercizio:
$\AA a, b \in ZZ_23$
$ a ⊕ b = a + b + 1$
$ a ◦ b = ab + a + b$
(iv) Sia $ V = {−2, 0} ⊆ ZZ_23$. V è una parte chiusa in $(ZZ_23, ◦)$? V è un sotto-anello di $ (ZZ_23, ⊕, ◦)$?
Io mi sono calcolato:
1) $0◦0 \in {0,-2}\subseteq ZZ_23$
2) $0◦-2\in {0,-2}\subseteq ZZ_23$
3) $-2◦-2\in {0,-2}\subseteq ZZ_23$
Quindi V è una parte chiusa giusto??
Ciao. Sia \( R \) un anello (con unità, come tutti gli altri nel seguito). Se \( M \) è un monoide, si dovrebbe poter costruire un anello \( R[M] \) di funzioni \( M\to R \) a supporto finito ponendo per ogni \( m\mapsto a_m \) e \( m\mapsto b_m \) la somma \( a + b \) pari alla somma di funzioni classica, e il prodotto \( ab \) pari alla funzione \( m\mapsto (ab)_m = \sum_{\substack{x,y\in M\\xy = m}}a_xb_y \).
1. Buona definizione delle operazioni. È evidente che è possibile sommare in quel ...
Quello che ancora non mi è chiaro, è che se ho un estensione $E//F$ di campi, sia $G=Gal(E//F)$, dato un sottogruppo $H$ di $G$ si pone:
$E^H$ $={a$ $in$ $E$ $| sigma(a) =a$ per ogni $sigma$ $in$ $H} $, nel testo dice si vede "facilmente" che questo è un campo intermedio, per l'estensione $E//F$.
Potreste fornirmi qualche dettaglio in più su questo ...
Buonasera, sto provando a svolgere il seguente esercizio:
Sia $G$ gruppo e $N$ un sottogruppo normale di $G$. Provare che se $H,K$ sono sottogruppi di $G$ tali che \(\displaystyle H \triangleleft K \) allora il sottogruppo \(\displaystyle HN \triangleleft KN \).
Mi sono bloccato, cioè ho fatto le seguenti osservazioni
\(\displaystyle N \triangleleft G \leftrightarrow \forall a \in G\,\ \forall n \in N \ a^{-1}na \in N \), ...
Buonasera sto provando a fare questo esercizio:
Per ogni primo (positivo) p si consideri il polinomio
$ f_p =x +x −35x −36x+34 \inZ_p[x]. $
(i) lo si usi per determinare l’insieme T dei primi p tali che fp sia divisibile (in Zp[x]) per $x_2 − 1$.
(ii) Per ogni $p\in T$ si scriva $f_p$ come prodotto di polinomi monici irriducibili in Zp[x].
Allora per
(i) ho fatto ruffini tra $f_p$ e $x_2+1$ ed ho ottenuto $-15$ da ciò ...
Spero sia la sezione corretta, il nostro docente a lezione disse che \(\{\in\}\) è il linguaggio della teoria degli insiemi \(\rm ZFC\), ed \(\in\) è l'unica relazione primitiva che non definiamo, e tutti gli altri simboli sono abbreviazioni di formule ben formate che involgono il simbolo di appartenenza come ad esempio \(X\subseteq Y:=\forall z:(z\in X \to z \in Y)\). Il problema mio nasce dall'assioma di estensionalitá, ovvero $$\forall X,Y:(X=Y \leftrightarrow \forall z:(z\in ...
Buongiorno,
sto provando a svolgere il seguente esercizio:Determinare i sottogruppi normali di $GL(2,ZZ_2)$.
Procedo cosi:
Per semplicità pongo $G(cdot):=GL(2,ZZ_2)$.
Determino l'ordine di $G$, inoltre $ZZ_2={0,1}$ sono classi di congruenza (non so fare la barra sopra)
Sia $A in G$ dove \(\displaystyle A=\begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix} \), dove $x,y,z,v \ in ZZ_2 $ deve risultare $xv=1$ cioè solo se $x=v=1$, inoltre ...
Buonasera potete aiutarmi, devo indicare se sono vere o false sapendo che a !=∅,
(i) {a,a} = {a}; (ii) a ∈ {a}; (iii) {a} ∈ {a}; (iv) {a} ⊆ {a};
(v) ∀b({a} ∈ {a, b}); (vi) ∀b({a} ⊆ {a, b});
(vii) {∅} ⊆ {a, {∅}}; (viii) {∅} ∈ {a, {∅}}; (ix) ∅ ∈ {a, {∅}}; (x) ∅ ⊆ {a, {∅}}.
I miei risultati sono:
(i) falso
(ii) vero
(iii) falsa
(iv) falsa
(v) falso
(vi)falso
(vii) falso
(viii) falso
(ix)vero
(x)vero
giusto?
Buonasera potete aiutarmi con l'ultimo punto dell'esercizio intendo la parte chiusa:
Sia $∗$ l’operazione binaria definita in $Z_16 × Z_16$ ponendo, $AA a, b, c, d \in Z_16$ ,
$(a, b) ∗ (c, d) = (ac, b).$
(i) Si verifichi se $∗$ è associativa e se è commutativa; se, rispetto a $∗$,$ Z_16 × Z_16$ ha elementi neutri a destra, a sinistra, neutri.
(iii) Si verifichi che, per ogni $b \in Z_16$, $T := Z_16 × {b}$ è ...
Buon pomeriggio. Sto studiando teoria delle categorie per un progetto. Mi sono ritrovato davanti a questa difficoltà, banale, ma da cui non riesco ad uscire.
Io so che il funtore $Hom(Y, -)$ è esatto a sinistra. Inoltre, per definizione, diremo che l'oggetto $Y$ è proiettivo se e solo se il funtore $Hom(Y, -)$ è esatto, quindi se manda epimorfismi in epimorfismi. Di conseguenza, se Y è proiettivo ho che la sequenza esatta $0 -> A -> B -> C -> 0$ viene mandata in ...
Ciao. Come si può dimostrare "con le mani" che l'insieme \( I \) dei polinomi di \( \mathbb R[X_1,X_2] \) a coefficiente costante nullo è un ideale massimale ma non principale? (Con "con le mani" intendo dire "ignorando che \( I \) è massimale se e solo se \( R/I \) campo", ecc.).
Mi sapete aiutare a capire perché:
$ -17 mod 10 = 3 $
Grazie in anticipo
Buongiorno,
Sto tentando di svolgere il seguente eserczio:
Siano $X,Y,S$ insiemi, per cui se \(\displaystyle X \sim Y \), risuta $X^S$ \(\displaystyle \sim \) $Y^S$.
Ho provato a svolgerlo nella seguente maniera:
Per ricordarci $X^S={f:S to X| "f applicazione"}$, $Y^S={g:S to Y| "g applicazione"}$, inoltre,
\(\displaystyle X \sim Y \) $: leftrightarrow exists\ \ alpha\|\ alpha \:\ X to Y$, con $alpha$ applicazione biettiva.
La tesi consiste nel costruire una funzione $L$ che va da ...
$ \x\in\Z \iff\EE b= a\Longrightarrow\a=a $Buonasera ho questo esercizio, sia:
Consideriamo la relazione di binaria R definita in Q da: $∀a, b ∈ Q aRb ⇐⇒ (∃z∈Z)(a=b+z)$
(i) Provare che R è una relazione di equivalenza;
(ii) descrivere $\[0]_R$,$\[3]_R$ e $\[1/2]_R$.
Io ho risolto cosí:
1)Riflessiva:
$\x\in\Z \iff\EE b= a\rightarrow\a=a$
quindi è riflessiva.
2) Simmetrica:
$\AA a, b\in\A$
$\(aRb \rightarrow\bRa)$
Cioè:
$\a = b+z \rightarrow\ -b-z=-a \rightarrow\ b+z=a$
quindi è simmetrica
3)Transitiva:
$\AA a, b, c \in A$
...
Buonasera volevo chiedervi un aiuto su questo esercizio:
$S=QxQ$
$∀ (a,b), (c,d) in S,\quad \{ ((a,b) ⊕ (c,d) = (a+c,b+d)), ((a,b) ** (c,d) = (ac, \frac {\bd}{\2})):}$
Ho già verificato che è un anello commutativo unitario ma ho problemi nel determinare :
(i) Gli elementi invertibili di $(S, ⊕,*)$;
(ii) In $(Q × Q, ⊕, ∗)$, $(0,1/3)$ è cancellabile? $(3, −1/2)$ è un divisore dello zero?
(iii) Z×Z è un sottoanello di $(Q×Q,⊕,∗)$?
Io ho fatto:
(i) $AA (a, b)\ in S$
$ (a, b) è simmetrico in (S,*)\iff\(\EE (c,d)\in\S: (a ,b)*(c,d)=(1,2))\iff\(\EE(c,d)\in S (ac, \frac {\bd}{\2})(1,2))\iff\ c=\frac {\1}{\a} \wedge\d= \frac {\4}{\b}$
P.S l'elemento neutro rispetto ...
Buonasera a tutti.
Ho questa struttura con sostegno $S = ZZ xx ZZ$ ed operazioni definite come segue:
$∀ (a,b), (c,d) in S,\quad \{ ((a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)), ((a,b) ** (c,d) = (ac,ad)):}$
e devo verificare se $(S,+,**)$ sia un anello commutativo unitario.
Ho già verificato che:
[list=1][*:ocn62dgz] $(S,+)$ è gruppo abeliano
[/*:m:ocn62dgz]
[*:ocn62dgz] $(S,**)$ è un semigruppo
[/*:m:ocn62dgz]
[*:ocn62dgz] $**$ è doppiamente distributiva (cioè, a sinistra ed a destra) rispetto a ...
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