Ordine di permutazione, osservazione dubbia
Ciao 
In questa domenica vorrei chiacchierare con qualcuno riguardo un dubbio che mi attanaglia su una dimostrazione/osservazione che ho letto negli appunti.
L'osservazione dovrebbe mostrare che ogni permutazione $pi$ ha un ordine e ho ciclicità.
Divido le considerazioni in due parti utili per i dubbi che scriverò
1) Poiché il gruppo simmetrico $S_n$ cui $pi$ appartiene è finito allora ho (ripetizione): $pi^r=pi^s$ con $r in [0,s)$.
Data la biiettività ho $pi^(-r)$ e posso scrivere $i d_(I_n)=pi^(s-r)=:pi^m$ quindi l'ordine è sempre finito per gli elementi di Sn.
2) Poi dice che usando la divisione euclidea dato un m qualunque $pi^m=pi^(qp)+pi^r$ con r compreso tra 0 e p essendo resto e quindi questo esprime la ciclicità.
Ora i dubbi:
1) il fatto di dire che $pi^r=pi^s$ non è già di per sé una "ammissione" di ciclicità? Infatti se io ad esempio prendessi: ${pi^0(1)=1, pi(1)=2, pi^2(1)=3, pi^3(1)=4, pi^4(1)=3, pi^5(1)=2...}$ (insomma prendo il caso in cui ho ripetizioni ramdom (e non cicliche) sopra $pi^3$) mi accorgo che non vale più che $pi^(s-r)=i d$
Prendiamo infatti $pi^2(1)=3= pi^4(1)$ specializzando nel nostro caso $pi^(s-r)=i d$ diventa $pi^0(1)=1=i d(1)=pi^(4-2)(1)=pi^(2)(1)$
insomma dovrebbe essere $pi^(2)(1)=i d(1)$ palesemente non vero poichè $3!=1$
Se invece assumessi ${pi^0(1)=1, pi(1)=2, pi^2(1)=3, pi^3(1)=4, pi^4(1)=1, pi^5(1)=2...}$ ripetendo il discorso su questo caso ciclico funzionerebbe benissimo.
Quindi mi sembra del tutto inutile il discorso fatto, perché ho già ammesso implicitamente nell'ipotesi iniziale l'esistenza della ciclicità, solo così ho $pi^(s-r)=i d$, il mio controesempio generico sembra infatti tradire questa cosa.
2) ipotizziamo di aver capito il punto 1 e continuiamo il ragionamento, non capisco perchè il professore dica "questo esprime la ciclicità", infatti io ho dimostrato che qualunque m prenda superiore a p (periodo) allora esiste un r (con valore tra 0 e p) che mi garantisce $pi^m=pi^r$, benissimo.
Ma questo non vuol dire che sia ciclico: io ho detto per ogni m esiste un r tra zero e p-1 in valori assunti, ma non mi dice che di volta in volta r assume tutti i valori tra zero e p-1, per quanto ne so potrebbe benissimo esistere un valore di m, chiamiamolo m' tale per cui per ogni valore $x> m'$ si ha che $pi^x=pi^(r')$ con r' fisso, insomma che non abbia ciclicità perché da quel punto in poi r' è fissato, oppure un r' randomico casuale tra 0 e p-1.
La dimostrazione svolta con la divisione euclidea mi dice solo che per ogni m io garantisco di avere un valore tra zero e p-1, ma non che si ripetano ciclicamente che invece è ciò che starei cercando.
Cosa mi sfugge secondo voi?
Grazie

In questa domenica vorrei chiacchierare con qualcuno riguardo un dubbio che mi attanaglia su una dimostrazione/osservazione che ho letto negli appunti.
L'osservazione dovrebbe mostrare che ogni permutazione $pi$ ha un ordine e ho ciclicità.
Divido le considerazioni in due parti utili per i dubbi che scriverò
1) Poiché il gruppo simmetrico $S_n$ cui $pi$ appartiene è finito allora ho (ripetizione): $pi^r=pi^s$ con $r in [0,s)$.
Data la biiettività ho $pi^(-r)$ e posso scrivere $i d_(I_n)=pi^(s-r)=:pi^m$ quindi l'ordine è sempre finito per gli elementi di Sn.
2) Poi dice che usando la divisione euclidea dato un m qualunque $pi^m=pi^(qp)+pi^r$ con r compreso tra 0 e p essendo resto e quindi questo esprime la ciclicità.
Ora i dubbi:
1) il fatto di dire che $pi^r=pi^s$ non è già di per sé una "ammissione" di ciclicità? Infatti se io ad esempio prendessi: ${pi^0(1)=1, pi(1)=2, pi^2(1)=3, pi^3(1)=4, pi^4(1)=3, pi^5(1)=2...}$ (insomma prendo il caso in cui ho ripetizioni ramdom (e non cicliche) sopra $pi^3$) mi accorgo che non vale più che $pi^(s-r)=i d$
Prendiamo infatti $pi^2(1)=3= pi^4(1)$ specializzando nel nostro caso $pi^(s-r)=i d$ diventa $pi^0(1)=1=i d(1)=pi^(4-2)(1)=pi^(2)(1)$
insomma dovrebbe essere $pi^(2)(1)=i d(1)$ palesemente non vero poichè $3!=1$
Se invece assumessi ${pi^0(1)=1, pi(1)=2, pi^2(1)=3, pi^3(1)=4, pi^4(1)=1, pi^5(1)=2...}$ ripetendo il discorso su questo caso ciclico funzionerebbe benissimo.
Quindi mi sembra del tutto inutile il discorso fatto, perché ho già ammesso implicitamente nell'ipotesi iniziale l'esistenza della ciclicità, solo così ho $pi^(s-r)=i d$, il mio controesempio generico sembra infatti tradire questa cosa.
2) ipotizziamo di aver capito il punto 1 e continuiamo il ragionamento, non capisco perchè il professore dica "questo esprime la ciclicità", infatti io ho dimostrato che qualunque m prenda superiore a p (periodo) allora esiste un r (con valore tra 0 e p) che mi garantisce $pi^m=pi^r$, benissimo.
Ma questo non vuol dire che sia ciclico: io ho detto per ogni m esiste un r tra zero e p-1 in valori assunti, ma non mi dice che di volta in volta r assume tutti i valori tra zero e p-1, per quanto ne so potrebbe benissimo esistere un valore di m, chiamiamolo m' tale per cui per ogni valore $x> m'$ si ha che $pi^x=pi^(r')$ con r' fisso, insomma che non abbia ciclicità perché da quel punto in poi r' è fissato, oppure un r' randomico casuale tra 0 e p-1.
La dimostrazione svolta con la divisione euclidea mi dice solo che per ogni m io garantisco di avere un valore tra zero e p-1, ma non che si ripetano ciclicamente che invece è ciò che starei cercando.
Cosa mi sfugge secondo voi?
Grazie
Risposte
Non vorrei esser stato poco chiaro o aver detto cavolate. Nel caso ditemi pure...
Ciao, purtroppo non ho capito quasi niente di quello che hai scritto.
L'idea è semplice: se ci fossero infinite potenze di $pi$ allora il gruppo $S_n$ conterrebbe infiniti elementi, assurdo perché $S_n$ è finito. Quindi esistono due interi distinti $r$ e $s$, con $r$ maggiore di $s$ diciamo, tali che $pi^r = pi^s$. Questo può essere riscritto come $pi^(r-s)=1$, e siccome $r-s > 0$ questo implica che $pi$ elevato a una certa potenza positiva è uguale a $1$.
L'idea è semplice: se ci fossero infinite potenze di $pi$ allora il gruppo $S_n$ conterrebbe infiniti elementi, assurdo perché $S_n$ è finito. Quindi esistono due interi distinti $r$ e $s$, con $r$ maggiore di $s$ diciamo, tali che $pi^r = pi^s$. Questo può essere riscritto come $pi^(r-s)=1$, e siccome $r-s > 0$ questo implica che $pi$ elevato a una certa potenza positiva è uguale a $1$.