Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Buonasera. Ho questo esercizio: si determini quale elemento di $ZZ_5$ è rappresentato da $x^(2021)$ per
$x = 1, 2, 3, 4, 5$.
Ciò che non mi è chiaro è questo: è necessario calcolare $x^(2021)-=x(mod5)$ per $x = 1, 2, 3, 4, 5$ oppure c'è un modo più rapido di svolgere l'esercizio. Lo chiedo perchè non mi è chiaro cosa voglia esattamente l'esercizio.
Ciao
Conoscete per caso qualche posto (sito web, pdf, eserciziari, testi, tutto quello che vi viene in mente...) in cui trovare un buon numero di esercizi, anche difficili? Oltre alle esercitazioni, al testo consigliato e vecchie prove d'esame, ho trovato questo sito, che mi sembra buono. Sono riuscito a svolgerne molti di mio senza veder lo svolgimento. Tuttavia, ho già tentato due volte lo scritto di Algebra 1 fallendo. Penso che mi serva più esercizio, e sento che devo imparare a ...
Ciao
Vorrei porvi una domanda riguardo un esercizio che ho sugli appunti di cui non è data soluzione (ex per casa) diciamo.
Voglio dimostrare che
Date le funzioni f,f:Y->Z e g:X->Y
Supposta esistere la suriettività di g allora vale lacosì detta cancellazione a dx: f∘g=f'∘g => f=f'
DIM:
assumo $f(y)=f'(y)$ con arbitrarietà di y a garantirne l'uguaglianza delle funzioni.
Ora, valendo per HP la suriettività di g ho che per ogni y in Y esiste x in X t.c. ...
Salve a tutti, da alcuni mesi sto cercando di verificare il contenuto di una mia ricerca sui numeri primi.
Ho inserito su youtube un video in cui spiego in modo esteso tutto il lavoro ma essendo abbastanza lungo scoraggia (se non vi spaventano 1h25 potete cercare "Piergiorgio D'Ercoli" e nel mio canale c'è un video chiamato "numeri primi"). Come nell'oggetto del post ho individuato ciò che ritengo essere la regolarità alla base dei primi e con essa un attacco alla congettura dei primi gemelli ...
Sia \( P(x) = x^5-x-1 \in \mathbb{Q}[x] \) e sia \(L\) il campo di spezzamento su \( \mathbb{Q} \).
a) Dimostra che \( \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q}) \) contiene una trasposizione
b) Dimostra che \( \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q}) \) contiene un 5-ciclo
c) Deduci che \( \operatorname{Gal}(L/ \mathbb{Q}) \cong S_5 \).
Non capisco le soluzioni.
-Non capisco in particolare il motivo per cui se un polinomio \(P_2\) è separabile allora è equivalente a dire che il primo \(2\) non divide il ...
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Studente Anonimo
15 giu 2021, 12:35
EDIT: scusate ho sbagliato sezione andrebbe in algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta, chiedo venia e a qualche moderatore di spostarlo. Grazie
Avrei bisogno di una mano per questo esercizio, solo un piccolo dubbio nel punto c), non sono sicurissimo nel punto d) e avrei una domanda per l'ordine nel punto e)
Considera \(K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{7}) \)
a) Dimostra che l'anello degli inter \( \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt[3]{7}] \)
b) Dimostra che l'ideal class group, \( ...
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Studente Anonimo
14 giu 2021, 12:24
Ho trovato questo esercizio
una relazione di equivalenza ha le seguenti proprietà:
1)RIFLESSIVA
2)SIMMETRICA
3)TRANSITIVA
DOMANDA 1 Dimostrare che 2) + 3) non sono sufficienti a determinare 1)
in altre parole trovare l'errore in: se A-B e B-A allora A-A.
Io ho costruito un esempio in questo modo: Considero P insieme dei numeri primi, dato x,y in P dico che x-y se x/y (dove / rappresenta la divisione) non è in N. Allora si ha che vale la proprietà 2) e 3) ma non la 1) (Anche se non sono ...
Ciao a tutti, devo determinare il numero di polinomi irriducibili di grado 6 su F2.
Avevo pensato di procedere così: contare tutti gli elementi di F64 non contenuti in F8 F4 o F3 ovvero 64-8=56;
questi saranno le radici dei vari polinomi minimi di grado 6, che perciò saranno 56/6=..
La soluzione procede in maniera simile ma gli elementi contenuti in F64 e non nei sottocampi li conta cosi 64-8-4+2=54
Grazie!!
Non capisco dove sbaglio. Il polinomio minimo di \( \sqrt[3]{2} -2 \) dovrebbe essere \((x+2)^3 - 2 \) ma a calcolarlo "in modo non intuitivo" a me viene \( (x+2)^3 -1 \). E in questo caso riesco a vederlo ad occhi, ma se dovesse capitarmi un caso più complicato vorrei capire dove sta l'errore nel mio ragionamento.
Abbiamo che \( K= \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) è un estensione di grado \(3 \) di \( \mathbb{Q} \), infatti il suo polinomio minimo è \( x^3 - 2 \). Ora siccome mi è richiesto ...
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Studente Anonimo
12 giu 2021, 20:06
Buonasera, ho un dubbio sulla dimostrazione del seguente teorema
Teorema:
Siano $(G, times)$ gruppo ciclico finito di ordine $m$ e $d in NN$.
Se $d$ divide $n$ allora esiste un unico sottogruppo $H$ di $G$ tale che l'ordine di $H$ è $d$.
Dimostrazione:
Esistenza
$G=<x>$. Poiché per ipotesi $d$ divide $m$ si ha $\frac{m}{d}$ è un ...
Buonasera, sulle mie slide viene provata la seguente osservazione che precede il teorema di Cayley, dove ho un dubbio sul punto 5).
Comunque
Osservazione:
Sia $G(cdot)$ gruppo, si ha
$G ~ H le G_1$ se e solo le esiste $f:G to G_1$ monomorfismo.
Dimostrazione:
Da $G ~ H$ segue l'esistenza di $g : G to H$ isomorfismo, inoltre, $i : x in H to x in G_1$, componendo $i circ g : G to G_1$ si ha una composta di applicazioni iniettive, dunque iniettiva.
Viceversa, si ha ...
Buongiorno, ho la seguente definizione di corpo :
Definizione:
$(A, +, times)$ anello non nullo.
$A$ corpo se e solo per definizione risulta: $A\\{0}$ stabile per $times$, e $(A\\{0},times)$ gruppo.
Vi chiedo, la definzione di essere $(A\\{0},times)$ gruppo, non implica la stabilità della stessa?
Saluti
Vorrei dimostrare la seguente proposizione nel contesto degli anelli
Sia A dominio di integrità, allora caratteristica di A è zero (char(A)=0) oppure char(A) è primo.
La mia idea era iniziare con char(A)=1 e notare che:
nomino $k:=char(A)$
] dato che k=1 allora per ogni $a in A$ $ka=0=1a <=> a=0$ dunque $A={0}$ il che contrasta con la definizione di dominio di integrità che richiede l'anello non dato dal solo elemento nullo. dunque k>1
] ...
Ciao a tutti, vi chiedo aiuto su un problema relativo a curve ellttiche, argomento che sto faticando molto a capire.
Mi viene chiesto di considerare il camo $mathbb{F}_32=mathbb{F}_2(xi)_{xi^5 + xi^2 +1}$ (quoziente). Su questo campo definiamo la c.e. data da $Y^2+XY+X^3+(xi^4+xi+1)X^2+xi$. La richiesta è: trovare l'ordine di $Q=(1, xi^3+xi^2+xi+1)$ utilizzando l'algoritmo di Shanks (Baby step-Giant step). Per questo algoritmo mi interessa la cardinalità del gruppo della c.e. giusto? Come lo trovo? E soprattutto ci sono software calcolare ...
Ciao a tutti, ho avuto difficoltà cn due esercizi di algebra 2 spero possiate aiutarmi.
1. Determinare i gradi dei fattori irriducibili di $x^19-1$ in $F_7[x]$.
Ho trovato il fattore $x-1$ ma non so come procedere oltre.
2. Considerato il morfismo $\phi: Z_60^\ast\toZ_(60)^\ast$ dato da $x\tox^2$. Mostrare che $ker\phi \subset Im(\phi)$ e trovare le cardinalità di $ker(\phi)$ e $Im(\phi)$.
Dovrei fare vedere che tutti gli elementi di $Z_60^\ast$ hanno ...
Come posso dimostrare che il polinomio
$$
(x-y)(x^k-y^k)^p,
$$
con $p>2$ e dispari, $k>1$, $p$ non divide $k$, è un non quadrato in $\overline{K}[x,y]$, dove $K$ è un campo di caratteristica $p$?
Come posso dimostrare che il polinomio
$$x^n-y^n,$$
con $n$ dispari, non è un quadrato in $\overline{K}\left[x,y\right]$, dove $K$ è un campo?
Buonasera, ho un dubbio su un passaggio riguardante la dimostrazione del teorema di esistenza delle basi.
Teorema:
Siano $C(+,times)$ corpo, $S(+, times)$ un spazio vettoriale sinistro su $C$.
Sia $X subseteq S$ parte libera, allora esiste $B$ parte libera massimale di $S$.
Dimostrazione:
La dimostrazione fa uso del lemma di Zorn.
Sia $Delta={W|W \ mbox{parte libera di S}, Xsubseteq W}$, dunque, basta provare che $Delta(subseteq)$ è induttivo.
Si ha ...
Ciao , ho questo teorema la cui dimostrazione viene omessa (c'è il rimando ad un altro testo che non ho). L'ho lasciato stare per del tempo, solo che dopo un po' viene richiamato.
(Teorema) Le categorie che hanno i prodotti e gli equalizzatori sono complete.
(Dimostrazione) Sia \(\mathcal C\) una categoria con prodotti ed equalizzatori, \(\mathcal I\) una categoria e \(F : \mathcal I \to \mathcal C\) un funtore: voglio costruire un limite di \(F\). Per convenzione, indico con \(I\) e \(C\) ...
Un campo di numeri \(K\) è detto monogenico se esiste \( \alpha \in \mathcal{O}_K \) tale che \( \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\alpha] \). Lo scopo di questo esercizio è di mostrare un ostruzione all'essere monogenico e di mostrare un esempio di campo non monogenico costruito da Dedekind.
Assumiamo che \(n \) è il grado di \(K \) e \(p < n \) sia un numero primo totalmente spezzato (totally splits?) in \(K\). Sia \( \alpha \in \mathcal{O}_K \) di grado \(n\).
a) Dimostra che
\[ \left| ...
1
Studente Anonimo
2 giu 2021, 20:28
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo