Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

\( \newcommand{\val}[1]{[\![{#1}]\!]} \)Uso le notazioni di H. B. Enderton, A Mathematical Introduction to Logic. Sia \( U \) un insieme. Sia \( B\subset U \) un sottoinsieme di "elementi di base". Siano \( f\colon U\times U\to U \) e \( g\colon U\to U \) due funzioni. Sia \( C \) il più piccolo insieme \( B \)-induttivo rispetto alle funzioni \( f \) e \( g \); in altre parole, \( C \) è l'intersezione di tutti i sottoinsiemi \( S\subset U \) tali che \( B\subset S \) e tali che per ogni \( ...

Per definizione ogni insieme contiene anche l'insieme vuoto . Vale anche per ogni sottoinsieme dell'insieme delle parti ? Sto studiando i FILTRI , che sono sottoinsiemi dell'insieme delle parti P(X) di un insieme X. E un filtro è detto PROPRIO se appunto non contiene l'insieme vuoto Grazie .

Salve a tutti, Sono alle prese con la dimostrazione del teorema suddetto ed essendomi arenato in un punto ho bisogno di aiuto. Riscrivo l'enunciato per comodità intanto: Teo: Sia $\mathbb{K}\subseteq \mathbb{E}$ un'estensione finita di campi, e sia $\mathbb{E}=\mathbb{K}(\alpha,\beta_1,...,\beta_n)$ con $\alpha$ algebrico ed i $\beta_i$ separabili su $\mathbb{K}$. Allora esiste $\delta\in\mathbb{E}$ tale che $\mathbb{E}=\mathbb{K}(\delta)$. La parte della dimostrazione su cui ho difficoltà è quella che riguarda il caso ...

Un'algebra di Boole è un reticolo distributivo con minimo ($0$) e massimo ($1$) tale che ogni elemento ammetta un complemento ($b$ è complemento di $a$ se $a \wedge b = 0$ e $a \vee b = 1$). Voglio dimostrare la legge di De Morgan $C(x \wedge y) = C(x) \vee C(y)$, dove $C(*)$ indica il complementare. Siccome in un reticolo distributivo il complementare (se esiste) è unico è sufficiente mostrare che $(x \wedge y) \wedge (C(x) \vee C(y)) = 0$ e che ...

Un semigruppo numerico $S$ è un semigruppo in $\mathbb{N}$ tale che $\mathbb{N}\backslash S$ è finito. È noto che esiste sempre un insieme $M$ tale che un elemento in $S$ può essere espresso come somma finita di elementi in $M$ con coefficienti in $\mathbb{N}$. Ad esempio $S=\mathbb{N}\backslash\{1\}$ è il semigruppo numerico generato da $2$ e $3$, e in tal caso scriviamo $S=<2,3>$. Definiamo quanto segue: - ...

Salve a tutti, Sto incontrando difficoltà nel dimostrare che l'intersezione di due sottogruppi di Galois è banale. Mi spiego meglio. Ho $\mathbb{F}$, $\mathbb{K}_1$ e $\mathbb{K}_2$ campi tali che $\mathbb{K}_1\supseteq \mathbb{F}$ estensione di Galois, $\mathbb{K}_2\supseteq \mathbb{F}$ estensione di grado finito, $\mathbb{K}_1\cap \mathbb{K}_2 = \mathbb{F}$ e $\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2\supseteq \mathbb{F}$ di Galois. Vorrei dimostrare che $Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2} / \mathbb{F}) \cong Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_1) \rtimes Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_2)$ Sono bloccato all'ultimo punto in cui voglio far vedere che $Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_1) \cap Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_2) = {id}$ La mia idea: Voglio far vedere che ...

Sia $(P,\le)$ un insieme parzialmente ordinato e sia $X \subseteq P$. Si supponga che esista l'estremo inferiore di X. Si può dimostrare che allora questo è unico? La via più naturale che mi era venuta in mente era di supporre che sia $a$ che $b$ siano estremi inferiori di $b$ e di provare a dimostrare che allora $a<=b$ e $b<=a$ (da cui seguirebbe $a=b$) ma non riesco a capire poter fare.

Un reticolo è un insieme $R$ dotato di due operazioni binarie $\wedge$ e $\vee$ che godono delle seguenti proprietà: (commutativa) $a \wedge b = b \wedge a$ e $a \vee b = b \vee a$ (associativa) $a \wedge (b \wedge c) = (a \wedge b) \wedge c$ e $a \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee c$ (assorbimento) $a \vee (a \wedge b) = a$ e $a \wedge (a \vee b) = a$ Da queste segue una quarta proprietà: (idempotenza) $a \wedge a = a$ e $a \vee a = a$ Un reticolo si dice distributivo se è un reticolo in cui vale la proprietà: (distributiva) ...

Sia \( (M_i)_{i\in I} \) una famiglia \( I \)-indicizzata di \( R \)-moduli (sinistri) su qualche anello \( R \), con \( I \) insieme non necessariamente finito. Denoto con \( {\left(\iota^j\colon M_j\to \bigoplus_{i\in I}M_i\right)}_{j\in I} \) un coprodotto nella categoria degli \( R \)-moduli della famiglia \( (M_i)_{i\in I} \), e con \( {\left(\pi_j\colon \prod_{i\in I}M_i\to M_j\right)}_{j\in I} \) un prodotto della famiglia \( (M_i)_{i\in I} \). Voglio provare che, dato un \( R \)-modulo ...

Salve , sono uno studente di matematic e ho avuto dei problemi nello svolgere un esercizio all'esame che ho lasciato in binanco , siccome all'orale domani mi chiederà di provarlo , è possibile ricevre delle idee ? Era questo: Sia X uno spazio topologico connesso per archi . Sia p X a X rivestimenro . Supponiamo che il gruppo fondamentale di X sia finito e sia un punto x di X punto1 : dimostrare che l omomorfismo indotto da rivstimento ( che va dal gruppo fondamentale di X di base x a gruppo ...

Buonasera, sto studiando il dominio di integrità $ZZ[sqrtd]$, in particolare i suoi elementi invertibili. Per fare ciò la prof. ha introdotto la norma di $alpha in ZZ[sqrtd]$ ossia, $alpha=a+bsqrtd, \ \ a, b in ZZ$ e si è focalizzata su $d<0$, inoltre definisco $N(alpha)=a^2-db^2$ La prof. per dimostrare che un elemento è invertibile ha dimostrato la seguente proposizione: $alphane 0$ invertibile in $ZZ[sqrtd]$ se e solo se lo è $N(alpha)$ in $ZZ$. In tal ...

Salve a tutti, Vado subito al sodo: Sia $A$ un gruppo abeliano finitamente generato e sia $T(A)={a\inA | o(a)<\infty}$ il suo sottogruppo di torsione. Mi sto chiedendo se si possa riuscire a trovare un esempio in cui $|T(A)|=\infty$. Se $A$ non fosse stato abeliano avrei già detto che c'è $D_{\infty}$ che ha questa proprietà, anche se in quel caso $T(A)$ è solo un sottoinsieme. Ho anche pensato al gruppo ${z\in \mathbb{C}|\exists n\in\mathbb{Z}\ \ z^n=1}$ che è infinito ed i suoi elementi ...

Salve a tutti Ho un dubbio sui prodotti semidiretti e vi espongo le mie idee. Spero che qualcuno possa correggermi e darmi delucidazioni a riguardo. Se qualcuno mi dà un gruppo $G:=H\rtimes_{\tau} K$, dove $H,K$ gruppi, per me questo a priori è un prodotto semidiretto costruito esternamente a partire da gruppi a sè stanti noti $H$ e $K$ appunto. Già qua mi piacerebbe avere una conferma. Ora se qualcuno mi chiede se $H$ sia un sottogruppo di ...

Buongiorno, ho un dubbio sulla logica del primo ordine, in particolare vorrei capire perché $Th(\mathbb{N},0,S,+,\cdot )$ non è completa. Con la notazione $Th(...)$ intendo "tutte le formule CHIUSE vere sulla struttura in argomento" In particolare $Th(\mathbb{N},0,S,+,\cdot )$ è l'insieme di tutti i teoremi veri su $\mathbb{N}$ dotato della somma, prodotto e successore (la funzione $S(n)=n+1$). Ricordo inoltre che una teoria completa è un insieme di formule $T$ tale che per ogni ...

1) Dimostrare che $(ZZ//2ZZ)^4$ è l'unico gruppo di ordine $16$ (a meno di isomorfismo) che ammette un automorfismo di ordine $5$. 2) Trovare, o dimostrare che non esiste, un gruppo non abeliano di ordine $32$ che ammette un automorfismo di ordine $5$.

Ciao a tutti, tra qualche settimana ho l'esame di matematica discreta e ho problemi con alcuni esercizi..mi sono rivisto le lezioni del prof e mi sono riletto il libro tante volte, ma ci ho sempre capito ben poco, quindi vi chiedevo se potete darmi una mano. 1)Quanti sono i possibili polinomi di grado 5 in z7(insieme delle classi resto modulo 7, non so come fare il simbolo), quale formula dobbiamo usare per calcolare? 2)Quante e quali soluzioni ammette 24x = 21 (mod 9)? Mostrare il ...

Ciao a tutti, vi chiedi aiuto per risolvere un esercizio del corso di Teoria dei numeri che non riesco proprio a risolvere. L'esercizio in questione è: Sia $\zeta$ una radice primitiva p-esima dell'unità con p numero primo. Mostrare che $$\mathbb{Z}[\zeta]ˣ=(\zeta)\mathbb{Z}[\zeta+\zeta^{-1}]ˣ$$ La mia idea era di usare il teorema delle unità di Dirichlet. Dato che l'unica immersione reale di $\mathbb{Q}[\zeta]$ è l'identità risulta $\mathbb{Z}[\zeta]ˣ \cong \mu (\mathbb{Q}[\zeta]) \times \mathbb{Z}^{\frac{p-1}{2}]$ dove ...

Sappiamo benissimo che alle scuole superiori operando con i radicali si condividono le solite regole relative alla razionalizzazione. Non mi voglio imbattere in cose complicate e la domanda potrebbe anche essere più generale, voglio restare basso nella richiesta. Ho un'espressione del seguente tipo: $$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}}$$ si riesce a razionalizzare? Con 2, 3, 4 si fa e come sopra?

Salve a tutti. Mi sono fatta la mia brava classificazione di tutti i gruppi di ordine 24. Sono 15 e mi tornano tutti. Solo che ne ho trovato uno in più. E' chiaro che sia equivalente a qualcun altro di quelli che ho già trovato e corrispondono a quelli che si trovano facilmente in rete. Il gruppo incriminato è: $$G:=Q_8 \rtimes_{\tau}\mathbb{Z} / 3\mathbb{Z}$$ dove $\tau: \mathbb{Z} // 3\mathbb{Z} \rightarrow Aut(Q_8)\cong S_4$, che associa $\tau: 1 \mapsto \sigma$, dove $\sigma$ è un 3-ciclo. Così la ...

Come posso provare che nel campo finito $\mathbb{F}_{q^n}$ l'equazione $$ ay_1^{q^m}y_2-by_2^{q^m}y_1=0 $$ ha come soluzioni in $(y_1,y_2)$ la sottoretta proiettiva $PG(1,q)$ se $(\frac{a}{b})^{(q^n-1)/(q-1)}=1$ oppure $(1,0)$ e $(0,1)$ se $(\frac{a}{b})^{(q^n-1)/(q-1)} \ne 1$, con $m$ tale che $MCD(m,n)=1$ e $ab \ne 0$?