Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Sia $(P,\le)$ un insieme parzialmente ordinato e sia $X \subseteq P$.
Si supponga che esista l'estremo inferiore di X. Si può dimostrare che allora questo è unico?
La via più naturale che mi era venuta in mente era di supporre che sia $a$ che $b$ siano estremi inferiori di $b$ e di provare a dimostrare che allora $a<=b$ e $b<=a$ (da cui seguirebbe $a=b$) ma non riesco a capire poter fare.
Un reticolo è un insieme $R$ dotato di due operazioni binarie $\wedge$ e $\vee$ che godono delle seguenti proprietà:
(commutativa) $a \wedge b = b \wedge a$ e $a \vee b = b \vee a$
(associativa) $a \wedge (b \wedge c) = (a \wedge b) \wedge c$ e $a \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee c$
(assorbimento) $a \vee (a \wedge b) = a$ e $a \wedge (a \vee b) = a$
Da queste segue una quarta proprietà:
(idempotenza) $a \wedge a = a$ e $a \vee a = a$
Un reticolo si dice distributivo se è un reticolo in cui vale la proprietà:
(distributiva) ...
Sia \( (M_i)_{i\in I} \) una famiglia \( I \)-indicizzata di \( R \)-moduli (sinistri) su qualche anello \( R \), con \( I \) insieme non necessariamente finito. Denoto con \( {\left(\iota^j\colon M_j\to \bigoplus_{i\in I}M_i\right)}_{j\in I} \) un coprodotto nella categoria degli \( R \)-moduli della famiglia \( (M_i)_{i\in I} \), e con \( {\left(\pi_j\colon \prod_{i\in I}M_i\to M_j\right)}_{j\in I} \) un prodotto della famiglia \( (M_i)_{i\in I} \).
Voglio provare che, dato un \( R \)-modulo ...
Salve , sono uno studente di matematic e ho avuto dei problemi nello svolgere un esercizio all'esame che ho lasciato in binanco , siccome all'orale domani mi chiederà di provarlo , è possibile ricevre delle idee ?
Era questo:
Sia X uno spazio topologico connesso per archi . Sia p X a X rivestimenro . Supponiamo che il gruppo fondamentale di X sia finito e sia un punto x di X
punto1 : dimostrare che l omomorfismo indotto da rivstimento ( che va dal gruppo fondamentale di X di base x a
gruppo ...
Buonasera, sto studiando il dominio di integrità $ZZ[sqrtd]$, in particolare i suoi elementi invertibili.
Per fare ciò la prof. ha introdotto la norma di $alpha in ZZ[sqrtd]$ ossia,
$alpha=a+bsqrtd, \ \ a, b in ZZ$ e si è focalizzata su $d<0$, inoltre definisco $N(alpha)=a^2-db^2$
La prof. per dimostrare che un elemento è invertibile ha dimostrato la seguente proposizione:
$alphane 0$ invertibile in $ZZ[sqrtd]$ se e solo se lo è $N(alpha)$ in $ZZ$.
In tal ...
Salve a tutti,
Vado subito al sodo: Sia $A$ un gruppo abeliano finitamente generato e sia $T(A)={a\inA | o(a)<\infty}$ il suo sottogruppo di torsione. Mi sto chiedendo se si possa riuscire a trovare un esempio in cui $|T(A)|=\infty$. Se $A$ non fosse stato abeliano avrei già detto che c'è $D_{\infty}$ che ha questa proprietà, anche se in quel caso $T(A)$ è solo un sottoinsieme.
Ho anche pensato al gruppo ${z\in \mathbb{C}|\exists n\in\mathbb{Z}\ \ z^n=1}$ che è infinito ed i suoi elementi ...
Salve a tutti
Ho un dubbio sui prodotti semidiretti e vi espongo le mie idee. Spero che qualcuno possa correggermi e darmi delucidazioni a riguardo.
Se qualcuno mi dà un gruppo $G:=H\rtimes_{\tau} K$, dove $H,K$ gruppi, per me questo a priori è un prodotto semidiretto costruito esternamente a partire da gruppi a sè stanti noti $H$ e $K$ appunto. Già qua mi piacerebbe avere una conferma.
Ora se qualcuno mi chiede se $H$ sia un sottogruppo di ...
Buongiorno, ho un dubbio sulla logica del primo ordine, in particolare vorrei capire perché $Th(\mathbb{N},0,S,+,\cdot )$ non è completa. Con la notazione $Th(...)$ intendo "tutte le formule CHIUSE vere sulla struttura in argomento"
In particolare $Th(\mathbb{N},0,S,+,\cdot )$ è l'insieme di tutti i teoremi veri su $\mathbb{N}$ dotato della somma, prodotto e successore (la funzione $S(n)=n+1$).
Ricordo inoltre che una teoria completa è un insieme di formule $T$ tale che per ogni ...
1) Dimostrare che $(ZZ//2ZZ)^4$ è l'unico gruppo di ordine $16$ (a meno di isomorfismo) che ammette un automorfismo di ordine $5$.
2) Trovare, o dimostrare che non esiste, un gruppo non abeliano di ordine $32$ che ammette un automorfismo di ordine $5$.
Ciao a tutti, tra qualche settimana ho l'esame di matematica discreta e ho problemi con alcuni esercizi..mi sono rivisto le lezioni del prof e mi sono riletto il libro tante volte, ma ci ho sempre capito ben poco, quindi vi chiedevo se potete darmi una mano.
1)Quanti sono i possibili polinomi di grado 5 in z7(insieme delle classi resto modulo 7, non so come fare il simbolo), quale formula dobbiamo usare per calcolare?
2)Quante e quali soluzioni ammette 24x = 21 (mod 9)? Mostrare il ...
Ciao a tutti, vi chiedi aiuto per risolvere un esercizio del corso di Teoria dei numeri che non riesco proprio a risolvere.
L'esercizio in questione è:
Sia $\zeta$ una radice primitiva p-esima dell'unità con p numero primo. Mostrare che
$$\mathbb{Z}[\zeta]ˣ=(\zeta)\mathbb{Z}[\zeta+\zeta^{-1}]ˣ$$
La mia idea era di usare il teorema delle unità di Dirichlet. Dato che l'unica immersione reale di $\mathbb{Q}[\zeta]$ è l'identità risulta $\mathbb{Z}[\zeta]ˣ \cong \mu (\mathbb{Q}[\zeta]) \times \mathbb{Z}^{\frac{p-1}{2}]$
dove ...
Sappiamo benissimo che alle scuole superiori operando con i radicali si condividono le solite regole relative alla razionalizzazione. Non mi voglio imbattere in cose complicate e la domanda potrebbe anche essere più generale, voglio restare basso nella richiesta. Ho un'espressione del seguente tipo:
$$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}}$$
si riesce a razionalizzare?
Con 2, 3, 4 si fa e come sopra?
Salve a tutti.
Mi sono fatta la mia brava classificazione di tutti i gruppi di ordine 24. Sono 15 e mi tornano tutti. Solo che ne ho trovato uno in più. E' chiaro che sia equivalente a qualcun altro di quelli che ho già trovato e corrispondono a quelli che si trovano facilmente in rete.
Il gruppo incriminato è:
$$G:=Q_8 \rtimes_{\tau}\mathbb{Z} / 3\mathbb{Z}$$
dove $\tau: \mathbb{Z} // 3\mathbb{Z} \rightarrow Aut(Q_8)\cong S_4$, che associa $\tau: 1 \mapsto \sigma$, dove $\sigma$ è un 3-ciclo. Così la ...
Come posso provare che nel campo finito $\mathbb{F}_{q^n}$ l'equazione
$$
ay_1^{q^m}y_2-by_2^{q^m}y_1=0
$$
ha come soluzioni in $(y_1,y_2)$ la sottoretta proiettiva $PG(1,q)$ se $(\frac{a}{b})^{(q^n-1)/(q-1)}=1$ oppure $(1,0)$ e $(0,1)$ se $(\frac{a}{b})^{(q^n-1)/(q-1)} \ne 1$,
con $m$ tale che $MCD(m,n)=1$ e $ab \ne 0$?
Sia $P$ un insieme e sia $\le$ una relazione d'ordine parziale su definita su $P$.
Si supponga inoltre che per ogni $a,b \in P$ siano definiti $"inf"{a,b}$ e $"sup"{a,b}$.
Ho dimostrato che valgono le leggi di assorbimento:
$"inf"{a,"sup"{a,b}}=a$ in quanto $a \le "sup"{a,b}$;
$"sup"{a,"inf"{a,b}}=a$ in quanto $"inf"{a,b} \le a$.
Dovrebbero valere anche le proprietà commutative:
$"inf"{a,b}=inf{b,a}$;
$"sup"{a,b}="sup"{b,a}$.
Mi chiedevo se è possibile ...
Sia $(G,+)$ un $p$-gruppo abeliano finito (dove $p$ è un numero primo) e sia $\varphi$ un automorfismo di $G$ il cui ordine è una potenza di $p$. Si dimostri che $\varphi-\text{id}_G$ è un endomorfismo nilpotente di $G$.
Siano $A = {f | f : N \rightarrow N}$ e sia $\omega$ la relazione di equivalenza definita su $A$ nel seguente modo:
$f \omega g$ se ${n \in N | f(n) \ne g(n)}$ è finito.
Devo dimostrare che l'insieme quoziente $A / \omega$ è infinito.
Pensavo alle funzioni costanti (come la guida dell'esercizio dice)...
Quindi definendo $f_{i}$ la mappa costante tale per cui $\forall n \in N, f(n) = i$ si ha che $f_{j} \not\in [f_{i}]$ se $j \ne i$ perché l'insieme dei naturali su cui esse ...
Salve a tutti,
Sto cercando di risolvere questo esercizio e il mio problema è quello di dire quando e se due prodotti semidiretti non sono isomorfi. Ma Vi faccio vedere in breve il mio ragionamento così facciamo prima.
Sia $G$ il mio gruppo:
1)$340=2^2*5*17$.
Il 17-Sylow che chiamerò $P_{17}$ è normale (unico);
2)$\bar{G}:=G//P_{17}$ ha ordine $2^2*5$ per cui è il 5-Sylow in $\bar{G}$ è normale (unico); Per il teorema di corrispondenza per ...
Devo dimostrare che dato un linguaggio del primo ordine, se \( \varphi = \varphi[x] \) è una formula di \(L\) e \( \psi \) una formula chiusa di \(L\). Allora vale
\[ ( \exists x \varphi \rightarrow \psi ) \equiv \forall x (\varphi \rightarrow \psi ) \]
per farlo devo usare gli alberi di gioco. Dunque poiché
\[ ( \exists x \varphi \rightarrow \psi ) \equiv ( \neg \exists x \varphi \vee \psi ) \equiv ( \forall x \neg \varphi \vee \psi ) \]
e
\[ \forall x ( \varphi \rightarrow \psi ) \equiv ...
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Studente Anonimo
23 gen 2022, 21:20
Buonasera, non riesco a trovare da nessuna parte come dimostrare che:
Dato un campo \(\displaystyle K \), sia \(\displaystyle K[X, Y] \) l'anello dei polinomi e si consideri \(\displaystyle g(X)\in K[X] \) allora si ha:
\(\displaystyle K[X, Y]/(Y-g(X))\cong K[X] \)
Io ho iniziato a dimostrare che \(\displaystyle \varphi :K[X, Y]→K[X] : \varphi (f(X,Y))=f(X,g(X)) \) sia un omomorfismo suriettivo con \(\displaystyle Ker\varphi =(Y-g(X)) \) e poi per il teorema dell'omomorfismo avrei la ...
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