Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Sia \( (M_i)_{i\in I} \) una famiglia \( I \)-indicizzata di \( R \)-moduli (sinistri) su qualche anello \( R \), con \( I \) insieme non necessariamente finito. Denoto con \( {\left(\iota^j\colon M_j\to \bigoplus_{i\in I}M_i\right)}_{j\in I} \) un coprodotto nella categoria degli \( R \)-moduli della famiglia \( (M_i)_{i\in I} \), e con \( {\left(\pi_j\colon \prod_{i\in I}M_i\to M_j\right)}_{j\in I} \) un prodotto della famiglia \( (M_i)_{i\in I} \).
Voglio provare che, dato un \( R \)-modulo ...
Salve , sono uno studente di matematic e ho avuto dei problemi nello svolgere un esercizio all'esame che ho lasciato in binanco , siccome all'orale domani mi chiederà di provarlo , è possibile ricevre delle idee ?
Era questo:
Sia X uno spazio topologico connesso per archi . Sia p X a X rivestimenro . Supponiamo che il gruppo fondamentale di X sia finito e sia un punto x di X
punto1 : dimostrare che l omomorfismo indotto da rivstimento ( che va dal gruppo fondamentale di X di base x a
gruppo ...
Buonasera, sto studiando il dominio di integrità $ZZ[sqrtd]$, in particolare i suoi elementi invertibili.
Per fare ciò la prof. ha introdotto la norma di $alpha in ZZ[sqrtd]$ ossia,
$alpha=a+bsqrtd, \ \ a, b in ZZ$ e si è focalizzata su $d<0$, inoltre definisco $N(alpha)=a^2-db^2$
La prof. per dimostrare che un elemento è invertibile ha dimostrato la seguente proposizione:
$alphane 0$ invertibile in $ZZ[sqrtd]$ se e solo se lo è $N(alpha)$ in $ZZ$.
In tal ...
Salve a tutti,
Vado subito al sodo: Sia $A$ un gruppo abeliano finitamente generato e sia $T(A)={a\inA | o(a)<\infty}$ il suo sottogruppo di torsione. Mi sto chiedendo se si possa riuscire a trovare un esempio in cui $|T(A)|=\infty$. Se $A$ non fosse stato abeliano avrei già detto che c'è $D_{\infty}$ che ha questa proprietà, anche se in quel caso $T(A)$ è solo un sottoinsieme.
Ho anche pensato al gruppo ${z\in \mathbb{C}|\exists n\in\mathbb{Z}\ \ z^n=1}$ che è infinito ed i suoi elementi ...
Salve a tutti
Ho un dubbio sui prodotti semidiretti e vi espongo le mie idee. Spero che qualcuno possa correggermi e darmi delucidazioni a riguardo.
Se qualcuno mi dà un gruppo $G:=H\rtimes_{\tau} K$, dove $H,K$ gruppi, per me questo a priori è un prodotto semidiretto costruito esternamente a partire da gruppi a sè stanti noti $H$ e $K$ appunto. Già qua mi piacerebbe avere una conferma.
Ora se qualcuno mi chiede se $H$ sia un sottogruppo di ...
Buongiorno, ho un dubbio sulla logica del primo ordine, in particolare vorrei capire perché $Th(\mathbb{N},0,S,+,\cdot )$ non è completa. Con la notazione $Th(...)$ intendo "tutte le formule CHIUSE vere sulla struttura in argomento"
In particolare $Th(\mathbb{N},0,S,+,\cdot )$ è l'insieme di tutti i teoremi veri su $\mathbb{N}$ dotato della somma, prodotto e successore (la funzione $S(n)=n+1$).
Ricordo inoltre che una teoria completa è un insieme di formule $T$ tale che per ogni ...
1) Dimostrare che $(ZZ//2ZZ)^4$ è l'unico gruppo di ordine $16$ (a meno di isomorfismo) che ammette un automorfismo di ordine $5$.
2) Trovare, o dimostrare che non esiste, un gruppo non abeliano di ordine $32$ che ammette un automorfismo di ordine $5$.
Ciao a tutti, tra qualche settimana ho l'esame di matematica discreta e ho problemi con alcuni esercizi..mi sono rivisto le lezioni del prof e mi sono riletto il libro tante volte, ma ci ho sempre capito ben poco, quindi vi chiedevo se potete darmi una mano.
1)Quanti sono i possibili polinomi di grado 5 in z7(insieme delle classi resto modulo 7, non so come fare il simbolo), quale formula dobbiamo usare per calcolare?
2)Quante e quali soluzioni ammette 24x = 21 (mod 9)? Mostrare il ...
Ciao a tutti, vi chiedi aiuto per risolvere un esercizio del corso di Teoria dei numeri che non riesco proprio a risolvere.
L'esercizio in questione è:
Sia $\zeta$ una radice primitiva p-esima dell'unità con p numero primo. Mostrare che
$$\mathbb{Z}[\zeta]ˣ=(\zeta)\mathbb{Z}[\zeta+\zeta^{-1}]ˣ$$
La mia idea era di usare il teorema delle unità di Dirichlet. Dato che l'unica immersione reale di $\mathbb{Q}[\zeta]$ è l'identità risulta $\mathbb{Z}[\zeta]ˣ \cong \mu (\mathbb{Q}[\zeta]) \times \mathbb{Z}^{\frac{p-1}{2}]$
dove ...
Sappiamo benissimo che alle scuole superiori operando con i radicali si condividono le solite regole relative alla razionalizzazione. Non mi voglio imbattere in cose complicate e la domanda potrebbe anche essere più generale, voglio restare basso nella richiesta. Ho un'espressione del seguente tipo:
$$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}}$$
si riesce a razionalizzare?
Con 2, 3, 4 si fa e come sopra?
Salve a tutti.
Mi sono fatta la mia brava classificazione di tutti i gruppi di ordine 24. Sono 15 e mi tornano tutti. Solo che ne ho trovato uno in più. E' chiaro che sia equivalente a qualcun altro di quelli che ho già trovato e corrispondono a quelli che si trovano facilmente in rete.
Il gruppo incriminato è:
$$G:=Q_8 \rtimes_{\tau}\mathbb{Z} / 3\mathbb{Z}$$
dove $\tau: \mathbb{Z} // 3\mathbb{Z} \rightarrow Aut(Q_8)\cong S_4$, che associa $\tau: 1 \mapsto \sigma$, dove $\sigma$ è un 3-ciclo. Così la ...
Come posso provare che nel campo finito $\mathbb{F}_{q^n}$ l'equazione
$$
ay_1^{q^m}y_2-by_2^{q^m}y_1=0
$$
ha come soluzioni in $(y_1,y_2)$ la sottoretta proiettiva $PG(1,q)$ se $(\frac{a}{b})^{(q^n-1)/(q-1)}=1$ oppure $(1,0)$ e $(0,1)$ se $(\frac{a}{b})^{(q^n-1)/(q-1)} \ne 1$,
con $m$ tale che $MCD(m,n)=1$ e $ab \ne 0$?
Sia $P$ un insieme e sia $\le$ una relazione d'ordine parziale su definita su $P$.
Si supponga inoltre che per ogni $a,b \in P$ siano definiti $"inf"{a,b}$ e $"sup"{a,b}$.
Ho dimostrato che valgono le leggi di assorbimento:
$"inf"{a,"sup"{a,b}}=a$ in quanto $a \le "sup"{a,b}$;
$"sup"{a,"inf"{a,b}}=a$ in quanto $"inf"{a,b} \le a$.
Dovrebbero valere anche le proprietà commutative:
$"inf"{a,b}=inf{b,a}$;
$"sup"{a,b}="sup"{b,a}$.
Mi chiedevo se è possibile ...
Sia $(G,+)$ un $p$-gruppo abeliano finito (dove $p$ è un numero primo) e sia $\varphi$ un automorfismo di $G$ il cui ordine è una potenza di $p$. Si dimostri che $\varphi-\text{id}_G$ è un endomorfismo nilpotente di $G$.
Siano $A = {f | f : N \rightarrow N}$ e sia $\omega$ la relazione di equivalenza definita su $A$ nel seguente modo:
$f \omega g$ se ${n \in N | f(n) \ne g(n)}$ è finito.
Devo dimostrare che l'insieme quoziente $A / \omega$ è infinito.
Pensavo alle funzioni costanti (come la guida dell'esercizio dice)...
Quindi definendo $f_{i}$ la mappa costante tale per cui $\forall n \in N, f(n) = i$ si ha che $f_{j} \not\in [f_{i}]$ se $j \ne i$ perché l'insieme dei naturali su cui esse ...
Salve a tutti,
Sto cercando di risolvere questo esercizio e il mio problema è quello di dire quando e se due prodotti semidiretti non sono isomorfi. Ma Vi faccio vedere in breve il mio ragionamento così facciamo prima.
Sia $G$ il mio gruppo:
1)$340=2^2*5*17$.
Il 17-Sylow che chiamerò $P_{17}$ è normale (unico);
2)$\bar{G}:=G//P_{17}$ ha ordine $2^2*5$ per cui è il 5-Sylow in $\bar{G}$ è normale (unico); Per il teorema di corrispondenza per ...
Devo dimostrare che dato un linguaggio del primo ordine, se \( \varphi = \varphi[x] \) è una formula di \(L\) e \( \psi \) una formula chiusa di \(L\). Allora vale
\[ ( \exists x \varphi \rightarrow \psi ) \equiv \forall x (\varphi \rightarrow \psi ) \]
per farlo devo usare gli alberi di gioco. Dunque poiché
\[ ( \exists x \varphi \rightarrow \psi ) \equiv ( \neg \exists x \varphi \vee \psi ) \equiv ( \forall x \neg \varphi \vee \psi ) \]
e
\[ \forall x ( \varphi \rightarrow \psi ) \equiv ...
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Studente Anonimo
23 gen 2022, 21:20
Buonasera, non riesco a trovare da nessuna parte come dimostrare che:
Dato un campo \(\displaystyle K \), sia \(\displaystyle K[X, Y] \) l'anello dei polinomi e si consideri \(\displaystyle g(X)\in K[X] \) allora si ha:
\(\displaystyle K[X, Y]/(Y-g(X))\cong K[X] \)
Io ho iniziato a dimostrare che \(\displaystyle \varphi :K[X, Y]→K[X] : \varphi (f(X,Y))=f(X,g(X)) \) sia un omomorfismo suriettivo con \(\displaystyle Ker\varphi =(Y-g(X)) \) e poi per il teorema dell'omomorfismo avrei la ...
Perché nella definizione di linguaggio del primo ordine si richiede che vi sia un insieme di funzioni \( \{ f_i^{n_i} \} \) dove \(n_i \) è la sua arietà che può essere qualunque ma finita, e si richiede anche un insieme di relazioni (o predicati) \( \{ R_i^{m_i} \} \) dove \(m_i \) è la sua arietà. Se non sbaglio ad ogni relazione \(R\) di arietà \(m\) gli corrisponde una funzione di arietà \(m-1\) e viceversa.
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Studente Anonimo
22 gen 2022, 15:06
Buongiorno, avrei bisogno di un chiarimento circa la soluzione per questo esercizio.
Calcolare il numero di applicazioni suriettive $f$ dall’insieme $A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }$ nell’insieme $B = { 1, 2, 3 }$ tali che per ogni $b \in B$ sia $ |f^{-1} (b)| ≤ 2$.
Ho già svolto alcuni esercizi che richiedevano di contare il numero di funzioni suriettive fra due insiemi. Ma in questo caso non so come sbrigliare la situazione.
In genere calcolavo prima il numero totale di funzioni e ...
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