Gruppo di Galois
Qual'è il gruppo di Galois del seguente polinomio $x^5-3x^3 -x^2 +2x+2$, se non sbaglio risulta irriducibile in $Q$, dovrei provare ad ricercare qualche soluzione e scomporlo?
Risposte
No, non è irriducibile.
Scusa, è riducibile, quindi ha soluzioni in $Q$?
Da wolfram non risulta. Due soluzioni risulterebbero $sqrt(2)$ ed $-sqrt(2)$, è dividendo per $x^2-2$ si dovrebbe ottenere il polinomio $x^3 - x-1$, mi sbaglio?
Da wolfram non risulta. Due soluzioni risulterebbero $sqrt(2)$ ed $-sqrt(2)$, è dividendo per $x^2-2$ si dovrebbe ottenere il polinomio $x^3 - x-1$, mi sbaglio?
"francicko":
Scusa, è riducibile, quindi ha soluzioni in $Q$?
https://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_polynomial
D'accordo, ma qui si tratta di un polinomio a coefficienti in $Q$, campo dei razionali, ed in tale campo è irriducibile, se invece considero il campo ampliato $Q(sqrt(2)$ allora diventa si riducibile, in quanto due soluzioni $sqrt(2)$ ed $-sqrt(2)$ stanno nel campo. Giusto?
$x^5−3x^3−x^2+2x+2 = (x^2-2)(x^3-x-1)$: dove sta un numero non razionale, in questa fattorizzazione?
Si avete ragione! I coefficienti dei due polinomi in cui si scompone sono numeri razionali! Però il polinomio non ha soluzioni in $Q$? Qual'è il suo gruppo di Galois?
Beh, uff. Gli automorfismi nel gruppo di Galois permutano le radici dei fattori irriducibili. Quel polinomio si rompe come un prodotto di una cosa di grado due e una di grado tre; quella di grado due è facile capire cosa induce. Quella di grado 3, dipende: hai fatto dei conti?
Mi risulta un gruppo non abeliano, di ordine ovviamente $12$,mi sbaglio?
Ho verificato che il polinomio di terzo grado ha gruppo di galois $S_3$ mentre quello di secondo grado ha gruppo di galois $S_2$, se il polinomio di terzo grado avesse avuto gruppo di galois $A_3~~C_3$ avrei avuto come gruppo di galois $C_3××C_2~~C_6$ gruppo ciclico di ordine $6$ giusto?
Ho verificato che il polinomio di terzo grado ha gruppo di galois $S_3$ mentre quello di secondo grado ha gruppo di galois $S_2$, se il polinomio di terzo grado avesse avuto gruppo di galois $A_3~~C_3$ avrei avuto come gruppo di galois $C_3××C_2~~C_6$ gruppo ciclico di ordine $6$ giusto?
"francicko":
Ho verificato che il polinomio di terzo grado ha gruppo di galois $S_3$ mentre quello di secondo grado ha gruppo di galois $S_2$,
Questo non basta a concludere che il gruppo di Galois ha ordine 12, potrebbe benissimo avere ordine 6.
Puoi riportare un esempio?
$(x^3+100x+2021)(x^2 + 2332243)$
Anche
$(x^3+2021x+2021)(x^2+8111)$.
$(x^3+2021x+2021)(x^2+8111)$.
Quindi indicando con $x_1,x_2,,x_3$ le radici del polinomio di terzo grado, e con $x_4,x_5$ le radici del polinomio di secondo grado, quali sono le permutazioni ammissibili che costituiscono il gruppo di Galois?
Sicuramente il gruppo di Galois dovrà risultare $~~S_3$ dovendo avere ordine $6 $, mi sbaglio?
Sicuramente il gruppo di Galois dovrà risultare $~~S_3$ dovendo avere ordine $6 $, mi sbaglio?
In questo polinomi che avete riportato come esempio, se il loro gruppo di galois non è di ordine $12$ vuol dire che vi sono delle permutazioni che non sono ammissibili, giusto?
Se prendiamo come altro esempio il polinomio $(x^3 - 2)(x^2 - 2)$ prodotto di polinomi con rispettivi gruppi di galois $S_3$ ed $S_2$ quale sarà il gruppo di Galois in questo caso?
Se prendiamo come altro esempio il polinomio $(x^3 - 2)(x^2 - 2)$ prodotto di polinomi con rispettivi gruppi di galois $S_3$ ed $S_2$ quale sarà il gruppo di Galois in questo caso?
$S_3\times S_2$. Io te lo dico, poi fai come vuoi: se continui a pensare agli elementi del gruppo di Galois come a "permutazioni ammissibili" non riuscirai mai a fare un calcolo sensato.
Ma per fare un calcolo sensato del gruppo di Galois ci sarà pure un metodo?
Se prendo il polinomio $x^3 - 2$ irriducibile, osservo che le sue radici sono totalmente interscambiabili,quindi avrò la completa simmetria, e da qui che ho dedotto che il suo gruppo di Galois è $S_3$, ovviamente per $x^2-2$ anch'esso irriducibile avremo come gruppo di Galois $S_2$, quindi il gruppo di Galois nello specifico è $S_3xxS_2$,e sarà composto da $12$ elementi, giusto?
Qual'è il metodo da usare per ricercare o stabilire se il gruppo di Galois di un polinomio è quello giusto? Puoi esplicitarlo? Sto cercando di capire, Perdona la mia insistenza.
Se prendo il polinomio $x^3 - 2$ irriducibile, osservo che le sue radici sono totalmente interscambiabili,quindi avrò la completa simmetria, e da qui che ho dedotto che il suo gruppo di Galois è $S_3$, ovviamente per $x^2-2$ anch'esso irriducibile avremo come gruppo di Galois $S_2$, quindi il gruppo di Galois nello specifico è $S_3xxS_2$,e sarà composto da $12$ elementi, giusto?
Qual'è il metodo da usare per ricercare o stabilire se il gruppo di Galois di un polinomio è quello giusto? Puoi esplicitarlo? Sto cercando di capire, Perdona la mia insistenza.
"francicko":
Ma per fare un calcolo sensato del gruppo di Galois ci sarà pure un metodo?
Quando il campo di base è ragionevole sì, ce ne sono diversi. Ad esempio, scrivi un risolvente per ogni sottogruppo di $S_n$ e controlli quali risolventi hanno una radice. Su $\mathbb Q$ ce ne sono anche di più intelligenti.
"francicko":
Se prendo il polinomio $x^3 - 2$ irriducibile, osservo che le sue radici sono totalmente interscambiabili,quindi avrò la completa simmetria, e da qui che ho dedotto che il suo gruppo di Galois è $S_3$,
La conclusione è giusta, ma il modo di pensare è sbagliato. Devi capire che "le sue radici sono totalmente interscambiabili" non vuol dire nulla in matematica. Se non cambi questo modo di pensare non riuscirai mai a capire la materia.
"francicko":
ovviamente per $x^2-2$ anch'esso irriducibile avremo come gruppo di Galois $S_2$, quindi il gruppo di Galois nello specifico è $S_3xxS_2$,e sarà composto da $12$ elementi, giusto?
Di nuovo, la conclusione (in questo caso specifico) è giusta ma la prova è sbagliata, come gli esempi miei e di Martino dimostrano.
"francicko":
Qual'è il metodo da usare per ricercare o stabilire se il gruppo di Galois di un polinomio è quello giusto? Puoi esplicitarlo? Sto cercando di capire, Perdona la mia insistenza.
Puoi insistere anche per tutto il resto della tua vita, ma se non ascolti quello che ti diciamo è completamente inutile. Devi studiare bene l'algebra lineare e l'algebra astratta dei primi 2 anni di un corso di laurea in matematica e poi affrontare la teoria di Galois. Non a caso, i corsi di teoria di Galois difficilmente vengono tenuti prima del secondo semestre del secondo anno, e spesso sono addirittura opzionali.
Vorrei aggiungere una cosa per non essere troppo criptico: considera il polinomio
$P(x)=(x^3-2)(x^2+3)$.
Il suo gruppo di Galois è $S_3$ perché il suo campo di spezzamento è $E = QQ(r,ar,a^2r) = QQ(r,a)$ dove [tex]r=\sqrt[3]{2}[/tex] e [tex]a = e^{i 2 \pi/3} = -1/2+i \sqrt{3}/2[/tex] (osserva che $r$, $ar$ e $a^2r$ sono esattamente le tre radici di $x^3-2$).
Il motivo è che l'elemento $i sqrt(3)$ (che serve per fattorizzare $x^2+3$) appartiene ad $E$, infatti
$Delta = (r-ar)(r-a^2r)(ar-a^2r)$,
che ovviamente appartiene ad $E$, è uguale a
$r^3 (1-a)(1-a^2)(a-a^2) = 2 (6a+3) = 6i sqrt(3)$.
(Per fare i conti ho usato il fatto che $a^2=-a-1$). Questo elemento che qui ho chiamato $Delta$ ha un significato importante perché il suo quadrato $D = Delta^2$ è il cosiddetto discriminante del polinomio $x^3-2$, che vale $-108$.
Come vedi $Delta = 6i sqrt(3)$ è espresso in funzione delle tre radici $r$, $ar$, $a^2r$ di $x^3-2$, quindi appartiene ad $E$. Quindi non è necessario aggiungere niente ad $E$ per ottenere le radici di $x^2+3$, dato che $i sqrt(3) in E$ (infatti $i sqrt(3) = 6i sqrt(3)//6$ e $6 in E$).
Ricorda che il gruppo di Galois su $QQ$ di un polinomio $P(X) in QQ[X]$ è precisamente il gruppo degli automorfismi del suo campo di spezzamento su $QQ$, quindi se due polinomi hanno lo stesso campo di spezzamento su $QQ$ allora hanno lo stesso gruppo di Galois.
I polinomi $x^3-2$ e $(x^3-2)(x^2+3)$ hanno lo stesso campo di spezzamento su $QQ$ (quello che ho chiamato $E$ qui sopra) e quindi hanno lo stesso gruppo di Galois su $QQ$.
$P(x)=(x^3-2)(x^2+3)$.
Il suo gruppo di Galois è $S_3$ perché il suo campo di spezzamento è $E = QQ(r,ar,a^2r) = QQ(r,a)$ dove [tex]r=\sqrt[3]{2}[/tex] e [tex]a = e^{i 2 \pi/3} = -1/2+i \sqrt{3}/2[/tex] (osserva che $r$, $ar$ e $a^2r$ sono esattamente le tre radici di $x^3-2$).
Il motivo è che l'elemento $i sqrt(3)$ (che serve per fattorizzare $x^2+3$) appartiene ad $E$, infatti
$Delta = (r-ar)(r-a^2r)(ar-a^2r)$,
che ovviamente appartiene ad $E$, è uguale a
$r^3 (1-a)(1-a^2)(a-a^2) = 2 (6a+3) = 6i sqrt(3)$.
(Per fare i conti ho usato il fatto che $a^2=-a-1$). Questo elemento che qui ho chiamato $Delta$ ha un significato importante perché il suo quadrato $D = Delta^2$ è il cosiddetto discriminante del polinomio $x^3-2$, che vale $-108$.
Come vedi $Delta = 6i sqrt(3)$ è espresso in funzione delle tre radici $r$, $ar$, $a^2r$ di $x^3-2$, quindi appartiene ad $E$. Quindi non è necessario aggiungere niente ad $E$ per ottenere le radici di $x^2+3$, dato che $i sqrt(3) in E$ (infatti $i sqrt(3) = 6i sqrt(3)//6$ e $6 in E$).
Ricorda che il gruppo di Galois su $QQ$ di un polinomio $P(X) in QQ[X]$ è precisamente il gruppo degli automorfismi del suo campo di spezzamento su $QQ$, quindi se due polinomi hanno lo stesso campo di spezzamento su $QQ$ allora hanno lo stesso gruppo di Galois.
I polinomi $x^3-2$ e $(x^3-2)(x^2+3)$ hanno lo stesso campo di spezzamento su $QQ$ (quello che ho chiamato $E$ qui sopra) e quindi hanno lo stesso gruppo di Galois su $QQ$.
Questo è il caso in cui le radici del polinomio $x^2+3$ cioè $(+sqrt(3),-sqrt(3))$ appartengono al campo di spezzamento $E$ del polinomio $x^3 - 2$ quindi I due polinomi hanno lo stesso campo di spezzamento e quindi lo stesso gruppo di galois,ho capito bene?
Per quanto riguarda gli esempi che avete riportato, ad esempio $(x^3+100x+2021)(x^2+2332243)$ che ragionamento avete fatto per stabilire che il gruppo di galois è di ordine $6$?
Per quanto riguarda gli esempi che avete riportato, ad esempio $(x^3+100x+2021)(x^2+2332243)$ che ragionamento avete fatto per stabilire che il gruppo di galois è di ordine $6$?
"francicko":Le radici sono $i sqrt(3)$ e $-i sqrt(3)$.
cioè $(+sqrt(3),-sqrt(3))$
Per quanto riguarda gli esempi che avete riportato, ad esempio $(x^3+100x+2021)(x^2+2332243)$ che ragionamento avete fatto per stabilire che il gruppo di galois è di ordine $6$?
Lo stesso ragionamento che ho fatto sopra per $(x^3-2)(x^2+3)$. Comincia calcolando il discriminante del fattore di grado $3$ (c'è una ben nota formula per calcolare il discriminante, fai una ricerca in rete).
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