Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Salve, sto avendo alcune difficoltà a comprendere come applicare l'Ipotesi induttiva forte per risolvere i problemi.
Vi propongo il seguente problema che mi da problemi in quanto non capisco in base a cosa trarre la conclusione che l'Ipotesi sussiste anche nel caso $ n+1$.
Dimostrare per Induzione forte che per ogni $ n \geq 0 $ vale
$$F_0 + F_1 + ... + F_n = F_{n+2} -1$$
dove con $F_n$ intendiamo l'n-esimo numero della sequenza di ...
Considerate tre proposizioni $P,R,Q$ scrivere la tabella di verità $(P->R) AND (bar P -> Q)$
Stabilire se proposizione $AA s in NN EE b in ZZ : AA c in RR : 2s + 3c -b != 0$
Qualcuno mi dà una mano su come impostare l'esercizio?
Grazie
Sia \( P(x) \in \mathbb{Z}[x] \) un polinomio. Diciamo che \(P \) è intersettivo se per ogni \(m \in \mathbb{N} \) esiste \(n \in \mathbb{N} \) tale che \( P(n) \equiv 0 \mod m \).
Dimostrare che se \( \deg P < 5 \) allora \(P \) è intersettivo se e solo se possiede almeno una radice razionale. Dimostrare che \( P(x) = x^5 + x^4+x^3 -19x^2-19x-19 \) è intersettivo ma non possiede radici razionali.
Hint:
Sia \(P(x) \in \mathbb{Z}[x] \) e sia \(P(x) = \prod_{ 1 \leq i \leq r} P_i(x) \) la sua ...
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Studente Anonimo
20 gen 2022, 21:08
Salve a tutti,
Sia assegnata sull’insieme $A = Q\rightarrowQ$ la seguente operazione $* : AxA \rightarrow A$ tale
che $AA (x,y),(z,w) in A$:
$(x, y) * (z,w) = (z + 4+x, 5wy).$
Stabilire se l'operazione è associativa.
la proprietà associativa è questa : $a,b,c in A : (a*b)*c=a*(b*c)$
ma non so proprio come impostare l'esercizio.
Qualcuno mi da un input per cominciare?
Ciao a tutti,
sto cercando di svolgere il seguente esercizio di teoria algebrica dei numeri.
Dimostrare che {$1$, $ ³\sqrt2 $ , $ ³\sqrt4 $ } è una base intergrale di $ \mathbb{Q}[³\sqrt2] $.
Il che è equivalente a dimostrare che la chiusura integrale di $ \mathbb{Z} $ in $ \mathbb{Q}[³\sqrt2] $ è uguale a $ \mathbb{Z}[³\sqrt2] $. La mia idea è stata quella di usare il discriminante della $\mathbb[Q]$-base di $K$ {$1$, $ ³\sqrt2 $ , ...
Ciao
vorrei chiedere una delucidazione in merito alle note del professore:
Definizione: Sia A un anello commutativo, e siano $a,b in A$ Allora a e b si dicono associati se a
divide b e b divide a.
Oss: In un anello commutativo unitario A, per ogni $a in A$ , e per ogni elemento invertibile
$u in A$ , $a$ ed $au$ sono associati. Infatti è evidente che a divide au, e, d'altra parte, $a=a1=a(u u^-1)=(au)u^-1$ per cui au divide a. In un ...
Salve a tutti,
ho un sistema di questo tipo:
$ \{(17x -=5 mod 8),(4x -= 16 mod 44),(5x -=10 mod 7):} $
riducendo i vari termini della x ottengo :
$ \{(x -=5 mod 8),(x -=4 mod 11),(x -=2 mod 7):} $
tuttavia andando avanti non ottengo una soluzione valida del sistema, sono sicuro che l'errore è nella riduzionein forma cinese, tuttavia vorrei una mano per capire su quale o quali equazioni commetto degli errori.
Ho ridotto la prima sapendo che 17 è 1 mod 8, la seconda dividendo tutto per 4 e dividendo il modulo per il MCD fra 44 e 4 , e la terza moltiplicando il ...
Gli autovalori di una matrice $A in C^(3x3)$ sono
$\lambda_1 =2i$, $\lambda_2 =1$, $\lambda_3 =1+i$
Determinare i valori $\alpha in RR$ per i quali la matrice $B = \alpha A$ risulta convergente.
La soluzione dice che deve risultare $abs(\alpha \lambda_i) < 1$, $i = 1, 2, 3$
ma perchè un autovalore della matrice $B$ è uguale a quello di $A$ moltiplicato per il fattore $\alpha$ ?
E' una proprietà delle matrici ?
Salve, è il mio primo messaggio e vorrei aprire la mia presenza sul forum con una domanda piuttosto semplice ma su cui mi sono incastrato sul "come dimostrare" un asserto. Sto leggendo le prime pagine del mio libro di analisi in cui si introduce la logica e ho un dubbio amletico.
Vorrei ad esempio capire una cosa in generale, se io devo dimostrare un $P=>Q or R$ se riesco a dimostrare con vari passi logici che: partendo da P ipotesi giungo a dimostrare che Q è sempre vera, allora il ...
Ho un dubbio sul seguente esercizio su cui le note del Prof. fanno dei ragionamenti che non ho capito :
si chiede dato un gruppo ciclico di ordine 25 se esistono
- morfismi suriettivi $G->ZZ_7$
- morfismi suriettivi $G->ZZ_5$
- morfismi suriettivi $G->ZZ_5xxZZ_5$
Riporto i ragionamenti che vorrei chiedere e chiarire:
- per il primo dice che non esiste un tal morfismo poiché sfruttando lagrange ho che $f^-1(ZZ_7)$ è sottogruppo di G, essendo tale sottogruppo di ...
Ciao
non riesco a capire alcuni passaggi di un esercizio che non riuscivo a risolvere interamente e ho provato a guardare la soluzione dopo un po' di prove. Tuttavia anche qui non riesco a capire del tutto due punti della guidata che è molto stringata:
Sia $A:=(QQ[x])/( (x^2-1) )$, descrivere gli zero divisori di A
$f=(x^2+1)$ è quindi l'ideale per cui quoziento.
ora la mia idea che poi vedo è quella che segue la soluzione è cercare un k polinomio tale che ...
Non riesco a risolvere un esercizio seppure piuttosto semplice, il testo chiede
Su Z si consideri la seguente relazione:
aRb se ∃n,m numeri interi dispari tali che an=bm
A) R è una relazione di equivalenza e un insieme completo di rappresentanti per le classi d'equivalenza è {0}∪{2n⋅(2n+1) | n∈N}?
B) R è una relazione di equivalenza e un insieme completo di rappresentanti per le classi d'equivalenza è
{0}∪{2n⋅3 | n∈N}?
R: si entrambe (ma non riesco a ...
\( \newcommand{\cat}[1]{\mathsf{#1}} \)Un esercizio (il 2.4.vii che c'è in Category Theory in Context di E. Riehl) chiede di provare che, se \( \cat C \) è una categoria localmente piccola, c'è un funtore
\[
\int({-})\colon \cat{Set}^{\cat C}\to \cat{CAT}/{\cat C}
\] dalla categoria \( \cat{Set}^{\cat C} \) dei funtori \( \cat C\to \cat{Set} \) verso una categoria slice \( \cat{CAT}/{\cat C} \) della categoria \( \cat{CAT} \) delle categorie localmente piccole.
Ora, io so dare un funtore (cambio le ...
Leggendo una recente discussione mi si è palesato un dubbio: è evidente che un polinomio che non abbia radici di grado maggiore di 3 non ci può portare a concludere che il polinomio sia irriducibile.
Controesempio:
prendiamo: $g(x)=x^4+3x^2+2$ in Q[x], non ha radici ma è riducibile: $g(x)=(x^2+1)(x^2+2)$ a cui giungo ponendo $t=x^2$ nella prima e risolvendo col delta e risostituendo t.
Qui è facile perché è un esempio che mi sono inventato e sapevo dove volevo andare a parare, ma se in ...
Mi piacerebbe chiarire un dubbio riguardo le dimostrazioni del titolo del thread.
In particolare è stato mostrato che la cardinalità di
# iniezioni $|I(A,B)|=(b!)/((b-a)!)$
# e delle biiezioni è $|B(A,B)|=b! =a!$
entrambe per induzione.
Tuttavia si dice subito che nei due casi, rispettivamente se:
a# $|A|=a>b=|B|$ allora $|I(A,B)|=0$
b# $|B|!=|A|$ allora $|B(A,B)|=0$
e qui nasce il mio dubbio, lo dà per assodato e certo (evidente) ma dovrei in realtà dimostrarlo e solo così poi ...
Ciao, leggendo la teoria di questa parte sui polinomi mi sono bloccato su un dubbio
Se mi trovassi in $ZZ[x]$ con $f=4x+4$ polinomio che non mi sembra per nulla irriducibile infatti se prendo $4(x+1)$ sua riscrittura noto che non tutti suoi divisori sono impropri: il 4 in $ZZ[x]$ è assolutamente non improprio e (x+1) è associato ad f. Ora, mi verrebbe da dire che $4(x+1)$ sia scomposto in irriducibili, tuttavia ponendoci maggior attenzione 4 non è ...
Supponiamo \( 2 \mid c, d \) e \( 2 \not\mid b \) ho i seguenti passaggi che non capisco
\[D= b^2c^2 - 4b^3 d \equiv 4 \left( \left( \frac{1}{2} c \right)^2 -bd \right) \mod 16 \]
pertanto \( d \equiv 0 \mod 4 \) se e solo se \( D \equiv 0,4 \mod 16 \).
Ora in primo luogo cosa vuol dire esattamente \( \frac{1}{2} \) in \( \mod 16 \) ? \(2 \) non possiede un inverso.
Suppongo che \( \frac{1}{2} \) voglia dire semplicemente dividere per \(2\) il numero \(c\) prima di ridurlo \( \mod 16 \) ...
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Studente Anonimo
24 dic 2021, 01:09
Nella dimostrazione di un certo teorema c'è un passaggio che non capisco che è il seguente. Sia \(K\) un campo cubico. Il passaggio che non capisco è il seguente:
Chiaramente abbiamo che \(3\) non può essere un divisore del discriminante inessenziale (non sono sicuro si traduca cosa: "cannot be an inessential discriminant divisor")... bla bla
io non capisco perché non può esserlo...
Un numero primo \(p\) è detto un divisore del discriminante inessenziale se per ogni \( \alpha \in K \) ...
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Studente Anonimo
22 dic 2021, 21:00
Ciao a tutti, c'è un discorso letto dagli appunti del professore che non comprendo molto bene ed è il seguente.
Dice che $ZZ$ è un PID e fa un esempio di ideale generato da due elementi
$(a,b)=aZZ+bZZ=nZZ$ per ogni a,b n in Z. Vuole trovare tale n
Dice quindi: (numero i dubbi 1 e 2)
(1) $aZZ⊆nZZ => n|a, bZZ⊆nZZ => n|b$
Ma questo non mi torna perché quel che devo mostrare è in pratica che:
$(x in aZZ => x in nZZ)=>n|a$ ossia
$(x=az => x=nz')=>nq=a$ con z,z',q che esistano, dunque dalle hp $az=nz'$ ...
Salve. Preparando l'esame di Algebra 2, sono arrivato a ripetere il teorema di Lasker Noether che abbiamo enunciato e dimostrato (per essere precisi solo la parte dell'esistenza della decomposizione in un anello noetheriano unitario, quindi non nel caso più generale), tuttavia senza soffermarci troppo. Facendo qualche ricerca, trovo sulla pagina inglese di Wikipedia che in qualche modo questo risultato generalizza il teorema fondamentale dei gruppi abeliani finitamente generati, ma onestamente ...
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