Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Salve a tutti, Sto cercando di risolvere questo esercizio e il mio problema è quello di dire quando e se due prodotti semidiretti non sono isomorfi. Ma Vi faccio vedere in breve il mio ragionamento così facciamo prima. Sia $G$ il mio gruppo: 1)$340=2^2*5*17$. Il 17-Sylow che chiamerò $P_{17}$ è normale (unico); 2)$\bar{G}:=G//P_{17}$ ha ordine $2^2*5$ per cui è il 5-Sylow in $\bar{G}$ è normale (unico); Per il teorema di corrispondenza per ...

Devo dimostrare che dato un linguaggio del primo ordine, se \( \varphi = \varphi[x] \) è una formula di \(L\) e \( \psi \) una formula chiusa di \(L\). Allora vale \[ ( \exists x \varphi \rightarrow \psi ) \equiv \forall x (\varphi \rightarrow \psi ) \] per farlo devo usare gli alberi di gioco. Dunque poiché \[ ( \exists x \varphi \rightarrow \psi ) \equiv ( \neg \exists x \varphi \vee \psi ) \equiv ( \forall x \neg \varphi \vee \psi ) \] e \[ \forall x ( \varphi \rightarrow \psi ) \equiv ...

Buonasera, non riesco a trovare da nessuna parte come dimostrare che: Dato un campo \(\displaystyle K \), sia \(\displaystyle K[X, Y] \) l'anello dei polinomi e si consideri \(\displaystyle g(X)\in K[X] \) allora si ha: \(\displaystyle K[X, Y]/(Y-g(X))\cong K[X] \) Io ho iniziato a dimostrare che \(\displaystyle \varphi :K[X, Y]→K[X] : \varphi (f(X,Y))=f(X,g(X)) \) sia un omomorfismo suriettivo con \(\displaystyle Ker\varphi =(Y-g(X)) \) e poi per il teorema dell'omomorfismo avrei la ...

Perché nella definizione di linguaggio del primo ordine si richiede che vi sia un insieme di funzioni \( \{ f_i^{n_i} \} \) dove \(n_i \) è la sua arietà che può essere qualunque ma finita, e si richiede anche un insieme di relazioni (o predicati) \( \{ R_i^{m_i} \} \) dove \(m_i \) è la sua arietà. Se non sbaglio ad ogni relazione \(R\) di arietà \(m\) gli corrisponde una funzione di arietà \(m-1\) e viceversa.

Buongiorno, avrei bisogno di un chiarimento circa la soluzione per questo esercizio. Calcolare il numero di applicazioni suriettive $f$ dall’insieme $A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }$ nell’insieme $B = { 1, 2, 3 }$ tali che per ogni $b \in B$ sia $ |f^{-1} (b)| ≤ 2$. Ho già svolto alcuni esercizi che richiedevano di contare il numero di funzioni suriettive fra due insiemi. Ma in questo caso non so come sbrigliare la situazione. In genere calcolavo prima il numero totale di funzioni e ...

Salve, sto avendo alcune difficoltà a comprendere come applicare l'Ipotesi induttiva forte per risolvere i problemi. Vi propongo il seguente problema che mi da problemi in quanto non capisco in base a cosa trarre la conclusione che l'Ipotesi sussiste anche nel caso $ n+1$. Dimostrare per Induzione forte che per ogni $ n \geq 0 $ vale $$F_0 + F_1 + ... + F_n = F_{n+2} -1$$ dove con $F_n$ intendiamo l'n-esimo numero della sequenza di ...

Considerate tre proposizioni $P,R,Q$ scrivere la tabella di verità $(P->R) AND (bar P -> Q)$ Stabilire se proposizione $AA s in NN EE b in ZZ : AA c in RR : 2s + 3c -b != 0$ Qualcuno mi dà una mano su come impostare l'esercizio? Grazie

Sia \( P(x) \in \mathbb{Z}[x] \) un polinomio. Diciamo che \(P \) è intersettivo se per ogni \(m \in \mathbb{N} \) esiste \(n \in \mathbb{N} \) tale che \( P(n) \equiv 0 \mod m \). Dimostrare che se \( \deg P < 5 \) allora \(P \) è intersettivo se e solo se possiede almeno una radice razionale. Dimostrare che \( P(x) = x^5 + x^4+x^3 -19x^2-19x-19 \) è intersettivo ma non possiede radici razionali. Hint: Sia \(P(x) \in \mathbb{Z}[x] \) e sia \(P(x) = \prod_{ 1 \leq i \leq r} P_i(x) \) la sua ...

Salve a tutti, Sia assegnata sull’insieme $A = Q\rightarrowQ$ la seguente operazione $* : AxA \rightarrow A$ tale che $AA (x,y),(z,w) in A$: $(x, y) * (z,w) = (z + 4+x, 5wy).$ Stabilire se l'operazione è associativa. la proprietà associativa è questa : $a,b,c in A : (a*b)*c=a*(b*c)$ ma non so proprio come impostare l'esercizio. Qualcuno mi da un input per cominciare?

Ciao a tutti, sto cercando di svolgere il seguente esercizio di teoria algebrica dei numeri. Dimostrare che {$1$, $ ³\sqrt2 $ , $ ³\sqrt4 $ } è una base intergrale di $ \mathbb{Q}[³\sqrt2] $. Il che è equivalente a dimostrare che la chiusura integrale di $ \mathbb{Z} $ in $ \mathbb{Q}[³\sqrt2] $ è uguale a $ \mathbb{Z}[³\sqrt2] $. La mia idea è stata quella di usare il discriminante della $\mathbb[Q]$-base di $K$ {$1$, $ ³\sqrt2 $ , ...

Ciao vorrei chiedere una delucidazione in merito alle note del professore: Definizione: Sia A un anello commutativo, e siano $a,b in A$ Allora a e b si dicono associati se a divide b e b divide a. Oss: In un anello commutativo unitario A, per ogni $a in A$ , e per ogni elemento invertibile $u in A$ , $a$ ed $au$ sono associati. Infatti è evidente che a divide au, e, d'altra parte, $a=a1=a(u u^-1)=(au)u^-1$ per cui au divide a. In un ...

Salve a tutti, ho un sistema di questo tipo: $ \{(17x -=5 mod 8),(4x -= 16 mod 44),(5x -=10 mod 7):} $ riducendo i vari termini della x ottengo : $ \{(x -=5 mod 8),(x -=4 mod 11),(x -=2 mod 7):} $ tuttavia andando avanti non ottengo una soluzione valida del sistema, sono sicuro che l'errore è nella riduzionein forma cinese, tuttavia vorrei una mano per capire su quale o quali equazioni commetto degli errori. Ho ridotto la prima sapendo che 17 è 1 mod 8, la seconda dividendo tutto per 4 e dividendo il modulo per il MCD fra 44 e 4 , e la terza moltiplicando il ...

Gli autovalori di una matrice $A in C^(3x3)$ sono $\lambda_1 =2i$, $\lambda_2 =1$, $\lambda_3 =1+i$ Determinare i valori $\alpha in RR$ per i quali la matrice $B = \alpha A$ risulta convergente. La soluzione dice che deve risultare $abs(\alpha \lambda_i) < 1$, $i = 1, 2, 3$ ma perchè un autovalore della matrice $B$ è uguale a quello di $A$ moltiplicato per il fattore $\alpha$ ? E' una proprietà delle matrici ?

Salve, è il mio primo messaggio e vorrei aprire la mia presenza sul forum con una domanda piuttosto semplice ma su cui mi sono incastrato sul "come dimostrare" un asserto. Sto leggendo le prime pagine del mio libro di analisi in cui si introduce la logica e ho un dubbio amletico. Vorrei ad esempio capire una cosa in generale, se io devo dimostrare un $P=>Q or R$ se riesco a dimostrare con vari passi logici che: partendo da P ipotesi giungo a dimostrare che Q è sempre vera, allora il ...

Ho un dubbio sul seguente esercizio su cui le note del Prof. fanno dei ragionamenti che non ho capito : si chiede dato un gruppo ciclico di ordine 25 se esistono - morfismi suriettivi $G->ZZ_7$ - morfismi suriettivi $G->ZZ_5$ - morfismi suriettivi $G->ZZ_5xxZZ_5$ Riporto i ragionamenti che vorrei chiedere e chiarire: - per il primo dice che non esiste un tal morfismo poiché sfruttando lagrange ho che $f^-1(ZZ_7)$ è sottogruppo di G, essendo tale sottogruppo di ...

Ciao non riesco a capire alcuni passaggi di un esercizio che non riuscivo a risolvere interamente e ho provato a guardare la soluzione dopo un po' di prove. Tuttavia anche qui non riesco a capire del tutto due punti della guidata che è molto stringata: Sia $A:=(QQ[x])/( (x^2-1) )$, descrivere gli zero divisori di A $f=(x^2+1)$ è quindi l'ideale per cui quoziento. ora la mia idea che poi vedo è quella che segue la soluzione è cercare un k polinomio tale che ...

Non riesco a risolvere un esercizio seppure piuttosto semplice, il testo chiede Su Z si consideri la seguente relazione: aRb se ∃n,m numeri interi dispari tali che an=bm A) R è una relazione di equivalenza e un insieme completo di rappresentanti per le classi d'equivalenza è {0}∪{2n⋅(2n+1) | n∈N}? B) R è una relazione di equivalenza e un insieme completo di rappresentanti per le classi d'equivalenza è {0}∪{2n⋅3 | n∈N}? R: si entrambe (ma non riesco a ...

\( \newcommand{\cat}[1]{\mathsf{#1}} \)Un esercizio (il 2.4.vii che c'è in Category Theory in Context di E. Riehl) chiede di provare che, se \( \cat C \) è una categoria localmente piccola, c'è un funtore \[ \int({-})\colon \cat{Set}^{\cat C}\to \cat{CAT}/{\cat C} \] dalla categoria \( \cat{Set}^{\cat C} \) dei funtori \( \cat C\to \cat{Set} \) verso una categoria slice \( \cat{CAT}/{\cat C} \) della categoria \( \cat{CAT} \) delle categorie localmente piccole. Ora, io so dare un funtore (cambio le ...

Leggendo una recente discussione mi si è palesato un dubbio: è evidente che un polinomio che non abbia radici di grado maggiore di 3 non ci può portare a concludere che il polinomio sia irriducibile. Controesempio: prendiamo: $g(x)=x^4+3x^2+2$ in Q[x], non ha radici ma è riducibile: $g(x)=(x^2+1)(x^2+2)$ a cui giungo ponendo $t=x^2$ nella prima e risolvendo col delta e risostituendo t. Qui è facile perché è un esempio che mi sono inventato e sapevo dove volevo andare a parare, ma se in ...

Mi piacerebbe chiarire un dubbio riguardo le dimostrazioni del titolo del thread. In particolare è stato mostrato che la cardinalità di # iniezioni $|I(A,B)|=(b!)/((b-a)!)$ # e delle biiezioni è $|B(A,B)|=b! =a!$ entrambe per induzione. Tuttavia si dice subito che nei due casi, rispettivamente se: a# $|A|=a>b=|B|$ allora $|I(A,B)|=0$ b# $|B|!=|A|$ allora $|B(A,B)|=0$ e qui nasce il mio dubbio, lo dà per assodato e certo (evidente) ma dovrei in realtà dimostrarlo e solo così poi ...