Sul più piccolo $l_c$ tale che \(\sum_{k=0}^{l_c-1}(-c)^k\equiv 0\pmod p\), per \(c=1,\dots,p-2\).

[luca691]

Buongiorno,

provando con alcuni primi $p$ piccoli, vedo che, per ogni \(c\in\{1,\dots,p-2\}\), il più piccolo $l_c$ tale che: \[\sum_{k=0}^{l_c-1}(-c)^k\equiv 0\pmod p\] è un divisore di $p-1$, e che, per alcuni \(c\in\{1,\dots,p-2\}\), esso è proprio $p-1$. Ad esempio, per $p=5$:
\[
\begin{alignat*}{2}
&c=1\colon\space\space 1-1\equiv 0\pmod 5 &&\Longrightarrow l_1=2\mid (5-1) \\
&c=2\colon\space\space 1-2+4-8\equiv 0\pmod 5 &&\Longrightarrow l_2=5-1 \\
&c=3\colon\space\space 1-3+9-27\equiv 0\pmod 5 &&\Longrightarrow l_3=5-1 \\
\end{alignat*}
\]
Oppure, per $p=7$:
\[
\begin{alignat*}{2}
&c=1\colon\space\space 1-1\equiv 0\pmod 7 &&\Longrightarrow l_1=2\mid (7-1) \\
&c=2\colon\space\space 1-2+4-8+16-32\equiv 0\pmod 7 &&\Longrightarrow l_2=7-1 \\
&c=3\colon\space\space 1-3+9\equiv 0\pmod 7 &&\Longrightarrow l_3=3\mid (7-1) \\
&c=4\colon\space\space 1-4+16-64+256-1024\equiv 0\pmod 7 &&\Longrightarrow l_4=7-1 \\
&c=5\colon\space\space 1-5+25\equiv 0\pmod 7 &&\Longrightarrow l_5=3\mid (7-1) \\
\end{alignat*}
\]
Questi due fatti sono veri per ogni $p\ge 3$? Se sì, perché?

[Martino]

Ciao, osserva che $1+c$ è diverso da zero modulo $p$ (quindi invertibile modulo $p$) e

\[\sum_{k=0}^{l_c-1}(-c)^k = \frac{1-(-c)^{l_c}}{1+c}\]

Ora ricorda che $ZZ//pZZ - {0}$ è un gruppo moltiplicativo di ordine $p-1$. Riesci a concludere?

[luca691]

Quindi $l_c$ è l'ordine di \(-c\in(\Bbb Z/p\Bbb Z)^\times\), per cui (Lagrange) \(l_c\mid p-1\). E questo è vero per ogni $c$. Ma si può anche dedurre che per qualche $c$ l'ordine moltiplicativo di $-c$ dev'essere $p-1$, ovvero che \((\Bbb Z/p\Bbb Z)^\times\) è ciclico? Mi spiego meglio. Da:
\[\sum_{k=0}^{l_c-1}(-c)^k\equiv 0\pmod p\]
per ogni $c=1,...,p-2$ discende anche che per qualche $c$ l'ordine moltiplicativo di $-c$ è proprio $p-1$?

[Martino]

Sì è vero che $(ZZ//pZZ)^(times)$ è ciclico e quindi esistono elementi di ordine $p-1$.