Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Salve a tutt , mi trovo davanti questo esrcizio \(\displaystyle 8^{10001} = 8 (mod11) \) ?? Si Io ho ragionato in due modi, volevo sapere se nel secondo sbaglio dato che mi viene un risultato diverso. Metodo 1) Scompongo l'elevamento a potenza come somma di elevamento a potenza di 2. Quindi procedo e dico \(\displaystyle 8^1 = 8 8^2= 64 = 5 mod 11\) ecc ecc \(\displaystyle 8^{8192} = 9 \) Dopodichè faccio le somme delle potenze : \(\displaystyle 8^{10001} = 8^{8192} + 8^{1024} + ...

Siano $ A:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} $ $ B:={n in A|n^2 e' pari} $ $ C:={n in A|n<=7} $ Si calcoli la cardinalita dei seguenti insiemi X, Y e Z: $ X:= A\\(B\\C) $ $ Y:={D in 2^A|B sub D} $ $ Z:={f in A^A|f(B) sub B} $ Per X : $ X:= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} // ({0,2,4,6,8}//{0,1,2,3,4,5,6,7}) $ $ X:= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} // {8} $ $ X:= {0,1,2,3,4,5,6,7,9} $ Quindi $ |X| = 9 $ Per Y : $ 2^A $ è l'insieme delle parti di A, D contiene i sottoinsiemi composti da elementi di B, quindi $ 2^(Ann B) $ = $ 2^(5) $ . Corretto ? Per Z : $ |A^A| = |A|^|A| = 10^10 $ , però da qui non ...

Salve a tutti, a breve dovrò dare lo scritto di matematica discreta ,e sto studiando un po dai compiti vecchi del prof che ha lasciato negli anni precedenti. Mi trovo in alcuni compiti davanti questi esercizi che non saprei da dove partire `E sempre vero che dati due insiemi finiti A e B si ha |A × B| = |A| · |B| oppure E sempre vero che dati due insiemi finiti A e B si ha |A [ B| = |A| + |B| oppure `E sempre vero che dati ...

Salve a tutti, ho delle difficoltà nella risoluzione di questo esercizio: Si consideri il seguente sottoinsieme \(\displaystyle G = \{m + n \sqrt 2 \in R | m, n \in Z \} \) di \(\displaystyle R \). a) Dimostrare che \(\displaystyle Z \subset G \); b) Dimostrare che \(\displaystyle \sqrt 3 \notin G \), \(\displaystyle \sqrt 5 \notin G \), \(\displaystyle \sqrt 7 \notin G \); c) Dimostrare che \(\displaystyle G \) è un sottogruppo di \(\displaystyle (R, +) \); d) Dimostrare che \(\displaystyle ...

Ciao a tutti. Non riesco a risolvere il seguente problema. Considero $z$ una radice n-esima di 1. Bisogna provare che: a.Provare che per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus{0}$ $\exists$ una radice n-esima primitiva di 1. b.Provare che ${z^i$ tale che $ i=0,\ldots, n-1}$ è l'insieme di tutte le radici n-esime di 1. Come posso fare? Ho cercato un po' in rete senza troppe risposte e mi sembra di capire avere a che fare con le radici primitive non sia mai un problema semplice.

Salve ragazzi, avrei qualche dubbio per quanto riguarda il numero di elementi con un determinato ordine in un gruppo. Mi spiego meglio:stavo risolvendo questo esercizio siffatto. Sia G gruppo ciclico di ordine n = rs 1) Dimostrare che G ha un so sottogruppo di ordine r. Beh questo è banale, essendo ciclico il teorema di lagrange è invertibile e quindi come immediata conseguenza è unico. 2) Quanti sono gli elementi di G di ordine r? Ecco il problema. Dunque sono sicuramente più di uno, ma di ...

Salve, vorrei sapere se il mio ragionamento in questo esercizio è giusto: Devo stabilire se, dato un $C$ intero, $(C*10)^6026-(C*6)^6026$ è divisibile per 3. Ho supposto per assurdo che $3|((C*10)^6026-(C*6)^6026)$ ovvero che $(C*10)^6026-=(C*6)^6026 (mod 3) <=> C*10-=C*6 (mod 3) <=> 3|C*10-C*6 <=> 3|C*4$ è quindi solo se C è un multiplo di 3. Ho fatto qualche errore?

Dimostra che $ n^2>=3n+2 $ per ogni $n>=4$ caso base $n=4$ -> $4^2>=3*2+2=16>=14$ Verificato. Passo induttivo $(n+1)^2>=3(n+1)+2$ $n^2+2n+1>=3n+2+2n+1$ $3n+2+2n+1=5n+3$ $n^2+2n+1>=5n+3>3n+2$ Può andare bene?

Ciao a tutti! Sto studiando per fare l'esame di Teoria dei Numeri, e ho un problema con questo esercizio: consideriamo l'estensione $ \mathbb(Q) [\alpha] $ su $\mathbb(Q) $ dove $\alpha$ è un numero complesso tale che $\alpha^5 = 5 ( \alpha + 1) $, e sia $ R = \mathbb(A) \cap \mathbb(Q) [\alpha] $, cioè l'anello degli interi algebrici in $\mathbb(Q) [\alpha] $ [che significa quegli elementi in $\mathbb(Q) [\alpha] $ che sono radici di un polinomio monico a coefficenti in $\mathbb(Z)$ ]. Il mio problema è quello di trovare ...

Buongiorno a tutti, facendo esercizio mi sono imbattuto nel secondo esonero proposto l'8 gennaio 2016 agli studenti di Algebra 2 a Roma 3. Ho cercato di risolverlo in previsione del mio appello ma devo dire che alcuni dubbi mi sono rimasti. Esercizio 1 sul primo punto non ho dubbi. Il punto numero 2) Si dica se $M$ è ideale massimale di $A$ io ho pensato di svolgerlo così $M$ è massimale di $A$ $hArr$ $A/M$ è ...

Sempre facendo esercizio in vista dell'esame ho trovato questo. Parlo solo dell'esercizio 1. Il punto 1 mi è abbastanza chiaro. Se qualcuno mi può gentilmente dare una risposta per gli altri perchè io più ci penso più mi perdo nell'identificare innanzitutto chi sono gli elementi non invertibili di questo insieme e poi come dimostrare che formano un anello. Vi ringrazio molto tutti.

Ciao a tutti (: Sono in difficoltà nel dimostrare che una certa mappa fra anelli è suriettiva. La mappa in questione è la seguente: consideriamo due campi numerici (in inglese "number fields") $K \subset L$ e i rispettivi anelli numerici ("number rings") $R$ e $S$, sia inoltre $\alpha \in S$ tale che $L = K[\alpha]$. Consideriamo la mappa da $R[x] \to S/Q_i$ mandando prima $x \to \alpha$ e facendo poi il quoziente con $Q_i$, dove ...

Salve, sono una ragazza iscritta al primo anno di università in Matematica e, studiando dal libro richiesto dal professore, non sono riuscita a capire bene il concetto di massimale e minimale, potreste spiegarmelo?? Grazie in anticipo

Salve. Sto risolvendo il seguente esercizio: "Determinare il campo di spezzamento del polinomio $f=x^3+x^2+2\in ZZ_3[x]$" Noto che $f$ è irriducibile in $ZZ_3[x]$ dunque il quoziente $E={ZZ_3[x]}/{(x^3+x^2+2)]$ è un campo. So che in esso si trova una radice di $f$, ovvero $x+(x^3+x^2+2)$. Sospetto quindi che nel quoziente vi siano anche le altre. Senza testare tutti gli elementi del quoziente posso dire che esso è il campo di spezzamento di $f$ dato che il ...

Salve a tutti, ho per le mani questo esercizio: Diciamo che un'estensione $L:K$ di campi è "quadrata" se $\exists x \in L\setminus K$ tale che $L=K[x]$, e tale che $a=x^2 \in K$. Dimostrare: a) Se $char(K)\ne 2$ e $[L]=2$, allora $L:K$ è "quadrata". b) Dimostrare che l'anello $L={\mathbb{Z}_2[X]}/((X^2+X+1))$ è un campo, che $L:\mathbb{Z}_2$ non è "quadrata" ma che $[L:\mathbb{Z}_2]=2$. Il mio dubbio è arrivato nel secondo punto, quando per dimostrare che l'estensione ...

Salve. Ho il seguente problema: "Siano $H$ e $K$ due sottogruppi di un gruppo $G$. Dimostrare che $|HK|={|H|*|K|}/|H\cap K|$". Avevo provato considerando un omomorfismo fra $\phi : H\times K \rightarrow HK$ e ho provato con la restrizione della funzione che definisce l'operazione su $G$ al sottoinsieme $H\times K$ so che è suriettiva ma non riesco a capire come posso dimostrare che è un omomorfismo. Grazie

Salve a tutti, sarei grato se qualcuno riuscisse a risolvere questo esercizio dandomi una breve spiegazione passo per passo. Grazie mille per la disponibilità. Si consideri l’insieme A = {1, 2, 3}. Nell’insieme B = A × A si consideri la relazione R definita ponendo (a,b)R(c,d) ⇐⇒ {a,b} = {c,d}. • Si dimostri che R `e una relazione di equivalenza in B. • Si determinino le seguenti classi di equivalenza: [(1,2)]R = [(1,1)]R = • Si determini la partizione di B individuata da R.

Ho l'equazione $\bar33$ $\barx$ $=$ $\bar22$ in $Z_110$ Le soluzioni di $x$ che ho trovato sono $4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94, 104, 114$ Ora se l'esercizio mi chiede quali sono gli elementi invertibili, gli elementi a cui si riferisce sono le soluzioni? E se è così, è giusto dire che non ci sono elementi invertibili perché qualsiasi soluzione $x$ prenda $MCD(x,110)=2≠1$? Poi mi chiede "Dire se esistono $\barx$ e ...

Salve a tutti, volevo avere, se possibile, un aiuto per risolvere in modo giusto questo esercizio riguardante le relazioni di equivalenza: Nell’insieme A = {1,2,3,4,5} si determinino tutte le relazioni di equivalenza R che verificano le seguenti condizioni: • 1R2 • 3R2 • 4 ∈/ [5]R. Ringrazio tutti in anticipo per la cortese disponibilità.

Buongiorno a tutti, avrei un problema con un esercizio di logica, cioè: ((notP ->Q) -> notR or S) -> (R and notS -> notP) da questa devo dedurre se è una tautologia, una contraddizione o è soddisfacibile, e come si arriva a questa conclusione?