Zp anello locale

Fantorn
Sempre facendo esercizio in vista dell'esame ho trovato questo.



Parlo solo dell'esercizio 1.
Il punto 1 mi è abbastanza chiaro.

Se qualcuno mi può gentilmente dare una risposta per gli altri perchè io più ci penso più mi perdo nell'identificare innanzitutto chi sono gli elementi non invertibili di questo insieme e poi come dimostrare che formano un anello.

Vi ringrazio molto tutti.

Risposte
Studente Anonimo
Studente Anonimo
Per quanto riguarda il punto 2 si tratta di determinare gli elementi invertibili (facile) e dimostrare che gli elementi non invertibili formano un ideale (facile anche questo). Prova.

Fantorn
Per quanto riguarda gli elementi invertibili, teoricamente dovrebbero essere tutti tranne quelli con $x,y=0$ se l'insieme è su $QQ$

Quindi l'insieme degli elementi invertibili è formato da tutti gli $x=(x/y) : x,y!=0$. L'insieme dei non invertibili allora è quello degli $xy=0$ che è quindi il generatore dell'ideale dei non invertibili?

Gli ideali primi a quel punto sarebbero quelli creati dai divisori primi di $x,y$.

Ciò detto, continuo a pensare che se $x = x/y$ allora $y$ deve per forza essere uguale a $1$, se $ZZ(p)$ è simile a $ZZ$ con $x$ in $QQ$ e $x,y$ separatamente definiti in $ZZ$. A quel punto i non invertibili sarebbero i soli elementi $0$ in $QQ$, quindi tutti gli elementi sarebbero invertibili tranne $x=0$ sempre a patto che però $x$ sia un numero intero, a questo punto.

Non riesco in pratica proprio a figurarmi come è fatto questo insieme e quindi non so nemmeno da dove prendere questo esercizio. Alla fine gli unici due esercizi su cui mi sono schiantato rovinosamente sono stati questo e quello con $T^2016$ ma l'esame è domani :shock:.. aiuto...

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Un elemento di $A=Z_{(p)}$ è del tipo $x/y$ con $y$ non divisibile per $p$. L'elemento neutro è $1$, quindi l'inverso di $x/y$ è $y/x$. Quindi $x/y$ è invertibile in $A$ esattamente quando $y/x in A$. Sotto quali condizioni $y/x$ appartiene ad $A$?

Fantorn
Alora, vediamo se ci arrivo:

$y/x$ $in$ $A$ se $y=y/x$ con x non divisibile per $p$? Ma quindi gli elementi invertibili sono tutti $x,y$ $in$ $A$ che non sono divisibili per $p$. Allora gli elementi non invertibili sono tutti gli elementi che hanno $x$ divisibile per $p$ e quindi l'ideale che cercavo altro non era che l'ideale generato da $p$.

Per il punto tre gli unici due ideali primi in $A$ sono l'ideale generato da $p$ e l'ideale nullo perchè qualsiasi altro elemento può essere moltiplicato per il suo inverso creando l'unità che quindi "esplode" creando tutto l'insieme. Giusto?

Per punto 4 avremo quindi $A/p$ $~=$ $Fp$

Studente Anonimo
Studente Anonimo
I punti 3 e 4 non li hai giustificati bene. Ti dò dei suggerimenti.

3. Prendi un ideale primo $I$ di $Z_{(p)}$. Allora $I$ deve contenere solo elementi non invertibili, sia $x/y$ uno di essi. Allora $I$ contiene $(x/y)y=x$ e $p$ divide $x$. Scriviamo $x=p^km$ con p che non divide m. Prova a dimostrare che $p in I$.

4. Prova a considerare $A \to F_p$ che manda $x/y$ in $xy^{-1}$ mod $p$.

In generale devi essere molto più specifico e dettagliato se vuoi passare l'esame. Buttare lì idee non basta.

Fantorn
"Martino":
I punti 3 e 4 non li hai giustificati bene. Ti dò dei suggerimenti.

3. Prendi un ideale primo $I$ di $Z_{(p)}$. Allora $I$ deve contenere solo elementi non invertibili, sia $x/y$ uno di essi. Allora $I$ contiene $(x/y)y=x$ e $p$ divide $x$. Scriviamo $x=p^km$ con p che non divide m. Prova a dimostrare che $p in I$.

4. Prova a considerare $A \to F_p$ che manda $x/y$ in $xy^{-1}$ mod $p$.

In generale devi essere molto più specifico e dettagliato se vuoi passare l'esame. Buttare lì idee non basta.


Sì la ringrazio, in effetti i punti 3 e 4 li avevo specificati similarmente ai suoi ma non avevo riportato l'intero mio scritto qui perchè l'esame è davvero a breve e stando nel mentre al lavoro non avevo il tempo di battere tutto al pc, mi interessava sapere se la strada intrapresa era quella corretta per quanto riguardava le conclusioni tratte.

La ringrazio davvero per le risposte e per le delucidazioni così precise, è stato davvero gentilissimo.

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