Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Sia $G$ un gruppo di ordine $p^2$, con $p$ primo. 1) Mostrare che il centro $Z(G)$ contiene almeno un elemento diverso dall'unità. 2) Mostrare che esistono solo 2 gruppi di ordine $p^2$, a meno di isomorfismi, e questi gruppi sono abeliani. Soluzione del primo punto: Consideriamo la coniugazione come azione di $G$ su se stesso. Per il teorema delle Orbite e Stabilizzatori, la lunghezza di ciascuna orbita deve dividere ...

Ciao a tutti! Quest'anno mi laureo alla triennale di matematica, e sto cercando un'idea per l'argomento di tesi (di algebra o teoria dei numeri). Premetto che ho seguito un corso di algebra "generale" e sto seguendo corsi di teoria dei gruppi e teoria di Galois. L'ultimo in particolare mi appassiona. Vorrei chiedere un consiglio e magari qualche spunto. Avevo iniziato a guardare qualcosa sulla teoria analitica dei numeri (leggendo un po' l'Apostol), ma preferirei qualcosa che usi strumenti 'più ...

Salve. Ho problemi con questo esercizio: Individuare un sottogruppo H di $(ZZ_36, +)$ di ordine 3. Provare che il quoziente $ZZ_36/H$ è ciclico ed elencare i generatori. Il sottogruppo di ordine 3 l'ho individuato. Ovvero $H={[0]_36,[12]_36,[24]_36}$. E il quoziente $ZZ_36/H = {x+H|x in ZZ_36}$. Ora come posso dimostrare che il quoziente è ciclico? Come posso trovare i generatori? Più che altro vorrei sapere solo come impostare. Grazie!

Ciao volevo farvi una domanda sul modulo: { 192 - { { 2*[(X-1)/6]}^2+{ 2*[(X-1)/6]} }/2}moduloX = 0 { 55 + { { 2*[(X-1)/6]}^2+{ 2*[(X-1)/6]} }/2}moduloX = 0 Come si trova la X? Grazie Scusatemi ma non lo so usare lo strumento per le formule

Salve a tutti, Sto studiando per l'esame di matematica discreta. Su suggerimento dei miei colleghi, studio facendo gli esercizi che il prof. ha lasciato negli esami precedenti. L'esercizio nel quale ho riscontrato dei problemi è il seguente: Dire se la classe [1111^2222] è invertibilein Z61 .In casodirispostaaffermativa,calcolare l’inversae l’opposta. Quello che ho fatto fin'ora è stato fare la divisione tra 1111 e 61 ottenendo che: 1111=61*18+13 ---> ...

Siano $H$, $G_1$ e $G_2$ gruppi finiti, con $H$ e $G_1$ ciclici e $|G_1|= |G_2|$ Se $H$ si immerge in $G_1 times G_2$ [nota]cioè esiste un omomorfismo iniettivo da $H$ in $G_1 times G_2$[/nota] , è vero che $|H|<=|G_1|$?

Definizione: sia R un anello. Un R-modulo destro $P_R$ si dice proiettivo se per ogni omomorfismo suriettivo $f:M_R->N_R$ e per ogni omomorfismo $g:P_R->N_R$ esiste un morfismo $h:P_R->M_R$ tale che $f*h=g$. Voglio dimostrare che la somma diretta di moduli proiettivi è un modulo proiettivo. Siano $P_1,P_2$ moduli proiettivi e sia $P=P_1\oplusP_2$. Sia $f:M->N$ un omomorfismo suriettivo e sia $g:P->N$ un omomorfismo. Siccome ...

Se l’(unicorno è mitico)$UM$, allora l’(unicorno è immortale)$UI$, ma se non (è mitico) $¬UM$ allora(è mortale)$¬UI$. Se l’(unicorno è mortale)$¬UI$ o l’(unicorno è immortale)$UI$, allora (unicorno è cornuto)$UC$. L’(unicorno è magico)$UMag$ se l’(unicorno è cornuto)$UC$. Buongiorno, questo esercizio chiede di dimostrare tre "query". Dimostrare che l'unicorno è mitico, magico e ...

Buongorno! Mi trovo ad affrontare un esercizio che recita: Determinare tutti i sottogruppi del gruppo $ (Z_13^*, *) $ Bene, procedo con lo svolgimento. So che gli elementi di $ (Z_13^*, *) $ sono tutte le classi $ [a] $ modulo 13 tali che MCD(a,n) = 1, ovvero tutti gli elementi $ {[1],[2],..., [12]} $. Ciò significa che l'ordine di $ (Z_13^*, *) $ è 12. So inoltre che l'ordine di ogni sottogruppo divide l'ordine del gruppo (Teorema di Lagrange): perciò i sottogruppi avranno ordine ...

Salve a tutti. Volevo sapere se qualcuno mi potesse indicare varie dimostrazioni del PNT magari con delle referenze, e ancora meglio con una breve descrizione dei metodi usati in tale dimostrazione e del "livello di difficoltà" della dimostrazione (nel senso undergraduated, graduated ecc ecc). Grazie a tutti

Buongiorno . Chiedo scusa, se si suppone di avere un elemento massimale x rispetto alla relazione d'ordine > = (maggiore o uguale) ma quest'elemento appartiene ad esempio all'insieme di alcuni elementi y tali che y < = w (y minore o uguale di w), dire che x è elemento massimale vuol dire che non esistono elementi maggiori di x tali che siano < = w? E' corretto? Inoltre è possibile che esistano DUE elementi massimali in questo insieme? Non dovrebbe esserci solo un elemento massimale? Sugli ...

Salve, ho alcuni problemi con questo esercizio: Sia G= un gruppo ciclico. Provare che G è finito se e solo se esiste un intero positivo n, tale che $x^n=1$. Dimostro la "

Salve a tutti ragazzi, avrei alcuni dubbi sullo svolgimento del seguente esercizio: Assegnata sugli interi la relazione: \(\displaystyle R = { (a,b)\in Z \times Z \ |\ \exists k\in Z, t.c.\ 11k = 4c + 7b } \). dimostrare che la relazione R definisce una relazione di equivalenza su Z e scrivere la classe di equivalenza di 0. Ora, dalla teoria sappiamo che R è una relazione di equivalenza se verifica le seguenti proprietà: 1) Riflessiva, per ogni a appartenente ad A, a è in relazione con se ...

Salve! Ho un problema: esistono omomorfismi iniettivi da $Z_3 *Z_3 *\Z_3 \rightarrow \Z_6 * \Z_9$ ? non so da dove iniziare e mi servirebbe sapere come procedere in generale su questo tipo di esercizio. Grazie

Come faccio a determinare l insieme quoziente di NxN se la relazione è: (a,b)R(c,d) se e solo se a+d=b+c?

se $(a,b)=1$ $(a,c)=1$ allora $(a,bc)=1$ se $a|bc$ $(a,b)=1$ allora $a|c$ Come le dimostro ?

Mi sono imbattuto in $2$ definizioni diverse di radici primitive dell'unità (nei numeri complessi) 1) è una radice primitiva dell'unità $n-$esima, quella per cui possiamo ottenere, dalle sue potenze tutte le radici $n-$esime delle unità. esempio: se $r$ è radice primitiva dell'unità, allora $r^1,r^2,r^3,\cdots,r^{n-1},r^n$ formano tutte le radici $n-$esime dell'unità (e $r^n=1$). In particolare, se $\omega$ è la radice ...

Salve a tutti! Mi sto preparando nell'esame di Matematica Discreta per Informatica e mi è capitato sotto mano questo esercizio: Dimostrare attraverso il principio di induzione che $ AA n >= 7 : 2^n > n^2 + 4n+ 5 $ Benissimo. Inizio l'esercizio dimostrando che P(7), ovvero il passo base, è vera Si ottiene, infatti che : 128> 82 -> vera. Passo al passo induttivo: P(k) vera => P(k+1) vera $ 2^(k+1) = 2 * 2^k > 2(n^2 + 4n + 5) > 2n^2 + 8n+ 10 $ $ > n^2 + n^2 + 4n + 4n + 5+ 5 $ $ > n^2 + n^2 + 2n + 2n + 4n + 4 + 1 + 5 $ $ > n^2 + n^2 + 2n +2n +1 + 4(n+1) + 5 $ Arrivati a questo punto, non riesco ad ottenere ...

Ciao a tutti , ho il seguente esercizio: "Quanti sono i coniugati di $σ = (12)(345)$ in $S_5$? E in $A_5$?" la mia idea è questa: si potrebbe calcolare tutti gli elementi di $S_5$ e calcolare le varie classi di coniugio solo che la cosa diventerebbe lunghissima, allora avevo pensato questo: poiché in Sn gli elementi che stanno nella stessa classe di coniugio hanno la stessa struttura ciclica allora stavo per pensare di calcolare il numero di permutazioni ...

Ciao, come faccio a calcolare l'insieme quoziente delle classi di equivalenza?? per esempio: ho una relazione R definita come 4|b + 3a con aRb (ci troviamo nell'insieme Z) mi è stato suggerito che le classi di equivalenza si ricavano partendo da 0 (nel caso di insiemi non privi dello 0) e sostituendo il numero all'elemento. quindi nel caso di una classe [0] la relazione diventerà 4|b+ 3(0) --> 4|b poi passo ad 1 quindi [1] la relazione sarà 4|b+3(1) poi [2] con la relazione ...