Def. chiusura algebrica
Leggo in un libro divulgativo:
"C è una chiusura algebrica di R. [...] Che cosa significa?
1) [...] che R è sottocampo di C e
2) [...] che ogni numero complesso è radice di qualche polinomio f(x) a coefficienti reali".
3) [...] significa che C è una chiusura algebrica di se stesso, cioè ogni polinomio a coefficienti complessi ha almeno una radice in C".
La 2) implica la 3)? Non mi è chiaro il legame tra il fatto che ogni complesso è radice di qualche polinomio a coefficienti reali e il fatto che ogni polinomio a coefficienti in C ha almeno una radice complessa.
N.B. Il libro è divulgativo: se la risposta è complicata (= va oltre le nozioni base di algebra) non perdete tempo a rispondere: capirò un giorno.
grazie!
"C è una chiusura algebrica di R. [...] Che cosa significa?
1) [...] che R è sottocampo di C e
2) [...] che ogni numero complesso è radice di qualche polinomio f(x) a coefficienti reali".
3) [...] significa che C è una chiusura algebrica di se stesso, cioè ogni polinomio a coefficienti complessi ha almeno una radice in C".
La 2) implica la 3)? Non mi è chiaro il legame tra il fatto che ogni complesso è radice di qualche polinomio a coefficienti reali e il fatto che ogni polinomio a coefficienti in C ha almeno una radice complessa.
N.B. Il libro è divulgativo: se la risposta è complicata (= va oltre le nozioni base di algebra) non perdete tempo a rispondere: capirò un giorno.
grazie!
Risposte
Ho letto la (2) come "ogni polinomio a coefficienti reali ammette zeri complessi" e ho risposto sotto con questo equivoco, mi accorgo adesso che è diversa, la (2) dice che ogni numero complesso è zero di qualche polinomio a coefficienti reali. Questo è banale da dimostrare e dice solo che $CC$ è un'estensione algebrica di $RR$, mostrare che $CC$ è algebricamente chiuso è tutta un'altra faccenda. In pratica la (1) e la (2) sono banali, la (3) è il teorema stesso che dice che $CC$ è algebricamente chiuso. Le tre asserzioni sono tutte vere, quindi la (2) banalmente "implica" la (3), ma non è facile dimostrare la (3).
Risposta con equivoco. Se $P(x)$ è un polinomio a coefficienti complessi allora $P(x) bar{P(x)}$, il prodotto tra $P$ e il suo coniugato (cf. nota a sotto) ha coefficienti reali (cf. nota b sotto). Per (2), $Q(x)$ ha zeri, quindi uno tra $P(x)$ e $bar{P(x)}$ ha zeri. Se $P(x)$ ha zeri hai finito, se invece $a$ è uno zero di $bar{P(x)}$ allora $bar{a}$ è uno zero di $P(x)$.
a. Coniugare un polinomio significa coniugare i suoi coefficienti, quando dico "coniugato" di un numero complesso $z=a+ib$ intendo $bar{z} = a-ib$
b. $z$ è reale se e solo se $bar{z}=z$, e $bar{Q(x)} = bar{P(x) bar{P(x)}} = bar{P(x)}P(x) = Q(x)$
Risposta con equivoco. Se $P(x)$ è un polinomio a coefficienti complessi allora $P(x) bar{P(x)}$, il prodotto tra $P$ e il suo coniugato (cf. nota a sotto) ha coefficienti reali (cf. nota b sotto). Per (2), $Q(x)$ ha zeri, quindi uno tra $P(x)$ e $bar{P(x)}$ ha zeri. Se $P(x)$ ha zeri hai finito, se invece $a$ è uno zero di $bar{P(x)}$ allora $bar{a}$ è uno zero di $P(x)$.
a. Coniugare un polinomio significa coniugare i suoi coefficienti, quando dico "coniugato" di un numero complesso $z=a+ib$ intendo $bar{z} = a-ib$
b. $z$ è reale se e solo se $bar{z}=z$, e $bar{Q(x)} = bar{P(x) bar{P(x)}} = bar{P(x)}P(x) = Q(x)$
Grazie Martino, sei stato chiarissimo. Ora posso godermi la lettura 
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