Formula cardinalità
Salve. Ho il seguente problema:
"Siano $H$ e $K$ due sottogruppi di un gruppo $G$. Dimostrare che $|HK|={|H|*|K|}/|H\cap K|$".
Avevo provato considerando un omomorfismo fra $\phi : H\times K \rightarrow HK$ e ho provato con la restrizione della funzione che definisce l'operazione su $G$ al sottoinsieme $H\times K$ so che è suriettiva ma non riesco a capire come posso dimostrare che è un omomorfismo.
Grazie
"Siano $H$ e $K$ due sottogruppi di un gruppo $G$. Dimostrare che $|HK|={|H|*|K|}/|H\cap K|$".
Avevo provato considerando un omomorfismo fra $\phi : H\times K \rightarrow HK$ e ho provato con la restrizione della funzione che definisce l'operazione su $G$ al sottoinsieme $H\times K$ so che è suriettiva ma non riesco a capire come posso dimostrare che è un omomorfismo.
Grazie
Risposte
Non ha senso chiedersi se $phi$ è un omomorfismo perché in generale $HK$ non è un sottogruppo di $G$.
Ti consiglio di studiare le controimmagini dei punti, cioè prendi $hk in HK$ e conta gli elementi $(x,y) in H xx K$ tali che $phi(x,y) = hk$.
Ti consiglio di studiare le controimmagini dei punti, cioè prendi $hk in HK$ e conta gli elementi $(x,y) in H xx K$ tali che $phi(x,y) = hk$.