Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Salve. Ho un problema: Determinare gli elementi invertibili in $Q[x]$/$(x^2-1)$ io ho ragionato cosi: considero un generico elemento del quoziente: $$ax+b+(x^2-1)$$ esso è invertibile se e solo se $\exists cx+d+(x^2-1)$ tale che $(ax+b+(x^2-1))(cx+d+(x^2-1))=1+(x^2-1)$ ovvero svolgendo i conti se e solo se: $acx^2+(ad+bc)x+bd+(x^2-1)=1+(x^2-1)$ ovvero se e solo se: $\{ac=0,ad+bc=0,bd=1$ in particolare l'ultima condizione mi dice che $b$ deve essere invertibile in ...

Ciao a tutti! Chiedevo il vostro prezioso aiuto per la risoluzione di quanto segue, essendo le mie riminiscenze di matematica ormai arrugginite Partendo dai seguenti presupposti: ( A/B ) = 2.5 ( B/C ) = 2 ( C/A ) = 0.2 ( A/B) * ( B/C ) * ( C/A ) = 1 Come posso trovare dei valori per A, B, C che rendano vera l'equazione sopra descritta?? Grazie mille in anticipo!

Salve! Vorrei capire se quello che faccio per risolvere un esercizio sulla relazione di equivalenza sia giusto o meno L'esercizio dice che data questa relazione: R { (a,b) € Z x Z, a+b è pari } provare che sia una relazione di equivalenza a+b l'ho inteso in questo modo: Esiste h € Z t.c a+b = 2 * h Così facendo studio la riflessione, la simmetria e la transitività Riflessiva Cioè Esiste a€Z t.c a+a = 2h e questo è vero perchè h in questo caso sarebbe proprio a Simmetrica a,b € Z t.c a+b = 2h ...

Ciao a tutti e buone feste! Il mio problema è questo: ho una matrice companion associata ad un polinomio e devo dimostrare che è diagonalizzabile. La matrice è n x n. Nel caso di matrici semplici (es. 3x3) so come dimostrare se è diagonalizzabile o no (utilizzando ad esempio il fatto che ogni autovalore deve avere molteplicità algebrica = molteplicità geometrica), ma in questo sono in difficoltà. Potete darmi una mano? PS: la matrice in questione è questa: dove gli elementi c sono i ...

Salve, ho un problema nella definizione di elemento irriducibile in $ZZ$ $[x]$ si legge: "Un polinomio $f(x)$ in $ZZ$ $[x]$\${-1,0,1}$ si dice irriducibile se $f(x)=g(x)h(x)$ implica che $g(x)$ o $h(x)$ è una costante". Ma se considero $f(x)=3x$ esso non è irriducibile poiché lo scompongo in $3* x$ che sono irriducibili in $ZZ$ $[x]$. Ma secondo la ...

ragazzi buona domenica a tutti.. Devo effettuare questa divisione in binario ma non riesco a capire il meccanismo.. La divisione è questa $0101011$ $:$ $0011$ Se ovviamente faccio 87 fratto tre il risultato mi da 29 .. che sarebbe 11101 però voglio capire come si fa ... Il primo passaggio che faccio è abbassare 4 cifre e quindi esegure $0101$ $:$ $0011$ che ci sta 1 volta .. poi eseguo la sottrazione ...

Dovrei fare il seguente esercizio ma non riesco a trovare il modo. Determinare tutti i polinomi $f\in\mathbb{R}[x]$ tali che $f(n)=n$ per ogni $n\in\mathbb{N}$, e tutti i polinomi $f\in\mathbb{R}[x]$ tali che $f(p)=p^2+1$ per ogni $p$ primo.

Devo provare che il polinomio $f=x^4+1$ è riducibile in $\mathbb{Z_p}[x]$ per ogni p primo. C'è una caratterizzazione per questo polinomio che afferma: Caratterizzazione: Il polinomio $f=x^4+1$ è riducibile in $K[x]$ se e solo se esiste in $K$ uno dei seguenti elementi: - un elemento $a\in K$ tale che $a^4=-1$; - un elemento $a\in K$ tale che $a^2=-1$; - un elemento $a\in K$ tale che $a^2=2$; - un ...

Ciao ragazzi, Buona Vigilia a tutti Sto facendo qualche esercizio su autovalori ed autovettori.. faccio errori in qualche passaggio.. $((1,2,1),(0,2,0),(1,-2,-1))$ Allora il metodo che uso, e che ho imparato per determinare gli autovalori è: DET DELLA MATRICE - $\Lambda$ IDENTITA' = 0 -->> $((1,2,1),(0,2,0),(1,-2,-1))$ - $((\Lambda,0,0),(0, \Lambda, 0),(0,0, \Lambda))$ QUINDI $((1- \Lambda,2,1),(0, 2-\Lambda, 0),(1,-2, 1-\Lambda))$ POI HO CALCOLATO IL DETERMINANTE CON REGOLA DI SARRUS $(1- \Lambda)$ $(2- \Lambda)$ $-(2- \Lambda)$ HO MESSO IN EVIDENZA E HO TROVATO ...

Ciao ragazzi, volevo sapere se svolgo bene questo esercizio.. Insomma per discutere le matrici al variare del parametro k appartenente ad R mi muovo cosi: 1) individuo l'ordine massimo della matrice 2) calcolo il determinante applicando Sarrus se è 3x3 o Laplace. 3) imposto $det=0 $ e sostitisco i valori ottenuti nella h della matice 4) verifico se il rango è minore o uguale a quanto stabilito Il questo esercizio pero: ho trovato una leggera difficolta: $((1+h,2,1),(0,0,1),(0,-1+h,h),(-2,-3+1,1))$ in ...

Abbiamo $A$ anello di Dedekind, $I$ un suo ideale massimale. Poi abbiamo $A_1$ un sottoanello proprio di $A$ e $I_1:= A_1 nn I$ ideale massimale di $A_1$. Se \( A/I \) è isomorfo ad \( A_1 /I_1 \), possiamo concludere che $A= A_1 +I$?

Salve, ho una domanda su questo esercizio In z5 si scriva come prodotto di fattori irriducibili \(\displaystyle x^6 + 4x^5 + 4x^4 +2x^3+3x^2+3x \) Io ho ragionato cosi: dato che ci troviamo in z5 , le possibili divisioni che ci permettono quindi di scomporre il polinomio sono 1,2,3,4 Ho provato 1 ma non restituisce valore 0. Ho provato 2 e restituisce 0 Ho eseguito la divisione di f(x) per (x-2) Il quoziente che ho trovato controllo se è ancora radice di 2. Non lo è Riprovo allora con 3. ...

Ragazzi, non riesco a svolgere correttamente questo esercizio. Fornire una prova o confutare: “La somma di quattro interi consecutivi è divisibile per 4”. Mi sono mosso cosi: inizialmente dato i due interi consecutivi ho dedotto che due erano pari e due dispari .. i pari = $(2k)*2$ e i dispari $(2k-1)*2$ quindi mi trovavo a dire che $4k+4k+2$ .. che sono divisori del 4.. Un secondo tentativo è il seguente.. per sommare i consecutivi ho fatto: ...

\(x^4 + 4x^3 - 19x^2 + 8x - 42\) fattorizzare come prodotto di irriducibili in \(\mathbb{R}\) e in \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{Q}\) Di solito io faccio delle prove con i primi numeri (es. \(\pm 1\) ,\(\pm 3\) ,\(\pm 3\)) per vedere se ho fortuna e trovo subito una radice intera, e infatti mi sono accorto che una radice era \(3\). Faccio la divisione tra \(x^4 + 4x^3 - 19x^2 + 8x - 42\) e \(x-3\) e mi ritrovo con: \(x^3+7x^2+2x+14\) a questo punto l'unico metodo che mi è venuto in mente è ...

Salve, ho questa frase: "Se oggi nevica, domani andremo a sciare" Come posso scriverla in calcolo proposizionale? Io credo che sia giusto scrivere "sciare -> nevica" perché se non nevica non è possibile sciare e quindi la formula è falsa ed è ok. Scrivere "nevica -> sciare" mi fa pensare che se non nevica vado a sciare e la formula è vera, ma non si può sciare senza neve. Secondo voi?

Salve , sto studiando l'rriducibilità nei vari insiemi C, Q , R Z dei polinomi Vorrei capire se quello che h capito (scusate il giro di parola) è chiaro. Anche perchè questo libro non è chiarissimo. Allora nel caso in cui ci troviamo nel campo dei numeri complessi , C , il polinomio se è di primo grado è irriducibile , atrilemnti è riducibile. Esempio : x +3 (irriducibile) , x^4 + 2x^3 - 4x^2 + 2x -6 (riducibile perchè di grado superiore ad 1) Nel caso del campo reali (R) , sono ...

Se $T$e $S $ non sono vuoti allora esiste una corrispondenza biunivoca tra $SxT$e $TxS$ Io ho ragionato così : Un'applicazione tra $S$ e$T$ è un sottoinsieme di $SxT$ tale che per ogni $s in S$ esiste un unico $t in T$ tale che la coppia ordinata $(s,t)$ sta in $M $. Stessa cosa vale per il sottoinsieme di $TxS$, per cui esiste un'inversa, si ...

Buonasera, Non riesco a comprendere a pieno il significato dell'enunciato di questo lemma: Sia $AinM_(mn)(K)$ con K campo, e sia $\bar A = A_(i_1,...,i_r)^(j_1,...,j_r) $ una sottomatrice fondamentale di A. Allora i vettori $A^(j_1), A^(j_2), ... , A^(j_r)$ sono una base dello spazio $<A^1,...,A^n>$ e $A_(i_1),...,A_(i_r)$ sono una base dello spazio $<A_1,...,A_m>$. In particolare $r = dim(<A^1,...,A^n>) = dim(<A_1,...,A_m>).$ Più che altro non riescono a capire l'uguaglianza delle dimensioni. Ciò non equivale a dire che n=m? Ma a questo punto la matrice A è ...

Salve, ho provato a svolgere il MCD tra due polinomi In Z5[x] siano f(x) = x^5 + 4x^4 + 4x + 1, g(x) = 3x^4 + 3x^3 + x^2 + 2x + 1 • Si calcoli il massimo comun divisore d(x) di f(x) e g(x) Ho fatto la divisione e mi viene quoziente 2x+1 , resto 0 Il MCD quindi tra i due è!?!? il quoziente o g(x)?? Grazie

Siano $G$ gruppo e $H$ sottogruppo normale di $G$ tali che il gruppo quoziente \( G/H \) è abeliano. Dimostrare che per ogni $a,b in G$ si ha $b^(-1) a^(-1) ba in H$ Dato che \( G/H \) è abeliano, per ogni $a,b in G$ si ha $(aH) (bH) = (bH) (aH)$, cioè $ab H = ba H $ Moltiplicando ambo i membri per $a^(-1)$ si ha $b H= a^{-1} ba H$ Moltiplicando ambo i membri per $b^{-1}$ si ha $H=b^(-1) a^(-1) ba H$, cioè ...