Massimali e minimali in algebra
Salve, sono una ragazza iscritta al primo anno di università in Matematica e, studiando dal libro richiesto dal professore, non sono riuscita a capire bene il concetto di massimale e minimale, potreste spiegarmelo??
Grazie in anticipo
Grazie in anticipo

Risposte
Qual è la definizione ivi riportata di massimale e minimale?
In matematica spesso si studiano insiemi dove sia presente una relazione d'ordine, ovvero una relazione[1] tra gli elementi di un insieme $X$ che soddisfi le seguenti proprieta':
[*:3s56u55k] riflessivita': ogni elemento e' in relazione con se' stesso.[/*:m:3s56u55k]
[*:3s56u55k] antisimmetria: se un elemento $x$ e' in relazione con $y$, e anche $y$ e' in relazione con $x$, allora $x=y$.[/*:m:3s56u55k]
[*:3s56u55k] transitivita': se $x$ e' in relazione con $y$, e $y$ e' in relazione con $z$, allora $x$ e' in relazione con $z$.[/*:m:3s56u55k][/list:u:3s56u55k]
Solitamente si indica la relazione $R\subseteq X\times X$ con $\le$, dimodoche' $(x,y)\in R$ si denota con $x\le y$. Allora le tre proprieta' sopra si scrivono come
[*:3s56u55k] $x\le x$[/*:m:3s56u55k]
[*:3s56u55k] Se $x\le y$ e $y\le x$ allora $x=y$[/*:m:3s56u55k]
[*:3s56u55k] Se $x\le y\le z$ allora $x\le z$.[/*:m:3s56u55k][/list:u:3s56u55k]
Ora, cosa succede, che a te spesso interessa studiare quegli elementi che sono "piu' piccoli o piu' grandi di tutti gli altri" rispetto alla relazione $\le$, ovvero quegli $\bar x$ tali che $\forall y (y\le \bar x)$ oppure quegli $\hat x$ tali che $\forall y (\hat x\le y)$; questi sono gli elementi massimi o minimi del tuo insieme $X$. Non tutti gli insiemi pero' sono ordinati "totalmente", ovvero puo' benissimo accadere che ne' $(x,y)$ ne' $(y,x)$ stiano in $\le$; si dice che non tutti gli elementi di $X$ sono "confrontabili" rispetto alla relazione $\le$. Pensa, ad esempio, a cosa succede nell'insieme delle parti $P(X)$ di un insieme dato $X$: due sottoinsiemi che non sono uno contenuto nell'altro non sono in nessuna relazione. In questo caso allora la condizione di "essere piu' grande di tutti" si deve esprimere solamente rispetto a quegli elementi che ha senso confrontare: un elemento massimale di un insieme ordinato e' allora un $\bar x$ tale che, per ogni $y$ che sia in relazione con $\bar x$, si ha $y\le \bar x$. E coi minimali, idem.
[1] e' proprio una relazione nel senso matematico, ovvero un sottoinsieme di $X\times X$.