Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ciao ragazzi (: Non so come trovare i primi $p \in \mathbb{Z}$ tali che $$\left( \dfrac{13} {p} \right) = 1$$ dove $ ( \cdot )$ indica il simbolo di Legendre. So che sono i primi per cui $13$ è un quadrato$\mod p$, cioè se esiste $k$ tale che $k^{2} \equiv 13 \mod p$, ma non so con che metodo procedere. Se qualcuno riesce ad aiutarmi mi sarebbe davvero utile (: grazie mille in anticipo!

"Si mostri che per calcolare il resto della divisione di x per n = 2^a*5^b è sufficiente guardare le ultime c cifre decimali di x, ove c = max { a, b }." Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio, di formalizzazione più che altro. Considero la scrittura decimale del numero x. Ho capito che se c=a=b allora dopo a+1 cifre in scrittura decimale moltiplicherò per 10^a che è congruo a 0 mod (2*5)^a. Quindi dalla a-esima cifra in poi moltiplicherò per classe resto 0 quindi non le ...

Buona sera a tutti volevo sapere se questa equazione $ 16x-x^2=15y $ richiede qualche tipo di fattorizzazione e se si di quali elementi

Buongiorno, volevo chiedere conferma a un esercizio che ho svolto, ma di cui non sono certa delle conclusioni e del ragionamento che ho seguito. l'esercizio è questo: Si consideri l'azione così creata: $ Aut (ZZ12) * ZZ12 -> ZZ12 $ 1) dimostrare che è un'azione 2) definirne le orbite 3) definire lo stabilizzatore di 3. Allora io ho fatto questo ragionamento: Gli Automorfismi di un gruppo finito sono isomorfi agli invertibili dello stesso gruppo. Gli invertibili in $ZZ12$ sono gli ...

Buongiorno a tutti! Premetto che ho abbastanza nozioni sulla funzione Zeta di Riemann e su vari teoremi dei numeri primi (corso di teoria dei numeri). Si parla sempre di Ipotesi di Riemann e numeri primi, ma non ho trovato da nessuna parte il reale legame che c'è fra le due cose. Quello che voglio chiedervi è: esattamente che legame c'è tra gli zeri di Zeta e i numeri primi? Se l'ipotesi di Riemann fosse vera, quali conseguenze avrebbe sulla distribuzione dei primi? Io so dell'Identità di ...

Mi sono imbattuto nel seguente esercizio: Si verifichi quando la posizione $f((a,b,c)+U)=(a-3c,b)$ definisce un'applicazione di $F^3/U \to F^2$ e in tal caso si provi che tale applicazione è un isomorfismo di F-spazi vettoriali, precisandone anche l'inversa, con $U=<(7,0,6),(4,0,5)>$ in funzione della caratteristica. Ora io so che la dim di U è 2. Considero $g(x)=f([x])$ e applico il teorema fondamentale di omomorfismo. Essendo f omorfismo con $Im(F^3)=F^2$, g è omomorfismo . Dovrei provare ...

Si consideri la permutazione $\tau\in S_{p+q}$ che opera nel seguente modo: $$\tau(1)=p+1, \tau(2)=p+2,\ldots,\tau(q)=p+q$$ $$\tau(q+1)=1, \tau(q+2)=2,\ldots,\tau(q+p)=p$$ Nei testi da cui sto studiando viene dato per scontato che il segno di tal permutazione è $(-1)^{pq}$. La mia domanda è: c'è un modo abbastanza veloce per dimostrarlo senza considerare necessariamente i 3 casi distinti $p<q, p=q$ e $p>q$?

Ciao a tutti (: Sto studiando l'estensione $ \mathbb{Q}(\zeta_{52}) $ di $ \mathbb{Q} $, dove $ \zeta_{52} $ e' una radice 52-esima primitiva di 1. Dalla teoria di Galois so che il gruppo di Galois $ G = Gal({\mathbb{Q}(\zeta_{52})} / \mathbb{Q}) $ e' isomorfo a $ (\mathbb{Z}/{52\mathbb{Z}})^{\ast} $ . Voglio studiare i sottogruppi di indice 2, che per la corrispondenza di Galois corrispondono ai sottocampi di $ \mathbb{Q}(\zeta_{52}) $ di grado 2 su $ \mathbb{Q} $, cioe' le estensioni quadratiche di $ \mathbb{Q} $ contenute in $ \mathbb{Q}(\zeta_{52}) $. Ho ...

Salve, ho due domande: $a)$ E' vero che detta $\zeta\_n$ una radice primitiva dell'unità $[\mathbb{Q}(\zeta\_n) : \mathbb{Q}]=\varphi(n)$ dove $\varphi(n)$ è la funzione di Eulero? $b)$ Se è vero come si può dimostrare?

L'idea di aprire questo thread mi è venuta dopo aver letto questo intervento ed aver fatto un paio di considerazioni, ma vado con ordine. I più comuni modi di costruire l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali sono due, uno dovuto a Dedekind ed uno a Cantor. Il primo associa ad ogni partizione un numero reale; garantisce che ogni sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato dell'insieme così costruito ammetta estremo superiore. Il secondo fa un quoziente sull'insieme ...

Buongiorno a tutti. Se ho un epimorfismo di gruppi f:G ->H, con G gruppo infinito e H gruppo finito e so che H non è abeliano, come faccio a concludere che anche G non è abeliano? Grazie

Ciao a tutti! Qualcuno saprebbe per favore chiarirmi le idee sul concetto di estensione di Galois? La definizione che ho è la seguente: $K/F$ è di Galois se $F=C_K(C_A(F))$, dove $C_A(F)=Gal(K/F)={\alpha \in A: \alpha(a)=a, \forall a \in F}$ è il gruppo di Galois e $A=Aut(K)$. Dunque il gruppo di Galois è l'insieme degli automorfismi di K che fissano gli elementi di F. Ma non capisco: cos'è, in sostanza, un'estensione di Galois? Inoltre, quando si verifica la seguente uguaglianza: $Aut(K)=C_A(F)$ ? Grazie mille

Salve a tutti ragazzI! Praticamente ho fatto un esercizio, in cui si parlava di 8 professori, 4 uomini e 4 donne, che dovevano sedere dietro una cattedra rettangolare, con 8 posti disponibili ovviamente e c'erano 3 quesiti: il numero di combinazioni possibili il numero di combinazioni in cui non sedevano vicini ne due uomini ne due donne il numero di combinazioni in cui non sedevano vicini due uomini Potreste darmi una mano? Grazie

Salve, ci sono spesso esercizi in cui si chiede di stabilire se una relazione è di equivalenza o di ordine. Il problema è che ho alcuni dubbi nel dimostrare di che relazione si tratta. Forse il mio problema è banale. Ad esempio consideriamo quest'esercizio: Sia $m in Z$ e sia $R$ la relazione binaria in $Z$ definita ponendo $AAx, y in Z, xRy iff m|x^3-y^3$ Stabilire se la relazione è di equivalenza e stabilire se è di ordine. So che una relazione è di equivalenza se ...

Vorrei trovare un esempio di gruppo finito che ha due $\pi$-sottogruppi di Hall non coniugati tra loro. Wikipedia dice che un esempio di gruppo con tale proprietà è $PSL(2,11)$, visto che ha due sottogruppi di ordine $12$, uno isomorfo ad $A_4$ e l'altro al gruppo diedrale $D_12$. Non mi riesce provare quest'ultimo fatto. Come posso procedere? Oppure c'è un esempio più semplice? Grazie per l'aiuto.

Ciao a tutti ragazzi, ho due esercizi su induzione: 1. $2^n+logn-3^n+n<=0 AAninN$ 2. $n^2>2n+1 AAn>=3$ Il primo esercizio l'ho fatto così: $n=0$ la disequazione è falsa perché il $log0$ non esiste $n=1$ la disequazione è vera Supponiamo vera $2^n+logn-3^n+n<=0 AAn>=1$ Proviamo vera che $2^(n+1)+log(n+1)-3^(n+1)+n+1<=0$ Successivamente per le proprietà delle potenze e dei logaritmi: $2^n*2+logn*log1-3^n*3+n+1<=0$ il prodotto trai i logaritmi fa 0 quindi posso riscrivere la disequazione come ...

Salve, non riesco a capire come ragionare su questa tipologia di esercizio. L'esercizio chiede di dimostrare che tutte le potenze n-esime di $6$ per $n >= 1$ sono congrue a $6(mod10)$ Credo che l'esercizio va risolto con il principio di induzione ma con le congruenze di mezzo non ho ben capito come si fa. Io faccio così: Passo base $(n = 1)$: $6^1-=6(mod10)$ vero? poi non so come continuare.

Dimostrare che l’insieme potenza di un qualunque insieme X munito della relazione d’inclusione tra insiemi ́e un reticolo, cio ́e ogni coppia di sottoinsiemi di X ammette un estremo superiore ed un estremo inferiore. Help Me So che la soluzione è questa: Il sup di due insiemi ́e la loro unione e l’inf ́e l’intersezione.

\( f:\quad N\longrightarrow N\quad tale\quad che\quad f\left( n \right) ={ n }^{ 2 }+2n+3\)

Salve a tutti!! Ho un problema che non riesco a risolvere! Studiando algebra mi sono imbattuta nelle classi di resto modulo un intero $ \mathbb{Z}n $ ma nel frattempo ho trovato anche gli anelli quozienti $ \mathbb{Z}$ $/$ $\mathbb{Z}n $ o $ \mathbb{Z} $ $/$ $\nmathbb{Z} $ ma non riesco a capirne la differenza!! Scusate la domanda banale ma utilizzando i libri non ho risolto nulla .. Grazie a chi risponderà!!!