Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Salve.
E' possibile che si richieda questo?:
"dimostrare che $QQ(\sqrt3)$ non è isomorfo a $QQ(\sqrt5)$
mi spiego:
i due campi sono isomorfi rispettivamente a ${QQ[x]}/{(x^2-3)}$ e ${QQ[x]}/{(x^2-5)}$ che sono $QQ$-spazivettoriali di dimensione $2$, cioè i due campi hanno la stessa dimensione. Non posso concludere che sono isomorfi poiché essi $QQ(\sqrt3)$ e $QQ(\sqrt5)$ non sono spazi vettoriali, giusto?
Buongiorno, ho alcuni dubbi sui gruppi simmetrici (o gruppi di permutazioni) e spero di schiarire le idee con questo esercizio.
Nel gruppo simmetrico su 11 oggetti:
a) Stabilire, se è possibile, un elemento di periodo 14;
b) Stabilire, se è possibile, un elemento di periodo 13;
c) Stabilire, se è possibile, un elemento di periodo 10;
Per la a) e la b) credo basti dire che non esistono sottogruppi di ordine 14 e 13 perchè 14 e 13 non dividono 11! (Teorema di Lagrange).
Per la c) so che può ...
Buonasera a tutti. Un esercizio mi chiede: data la relazione $ R={(b,b),(c,c)} $ definita sull'insieme $ A= {a,b,c} $
dire quale delle seguenti affermazioni è vera: 1)R è riflessiva. 2)R è simmetrica e antisimmetrica. 3)R non è transitiva. 4) nessuna delle precedenti. La risposta corretta è la 2, è simmetrica e antisimmetrica.
Io ho ragionato cosi: l'elemento b è in relazione con se stesso, anche l'elemento c, ma non è presente l'elemento a, quindi non è riflessiva. Gli elementi b e c ...
Buonasera, ho alcuni dubbi su questo esercizio sui gruppi e sottogruppi ciclici finiti (in realtà vorrei sapere solo se il ragionamento è giusto).
Sia $G$ un gruppo ciclico di ordine $24$ e sia $g$ un generato di $G$. Elencare tutti i sottogruppi di $G$.
Se $G$ ha ordine $24$ vuol dire che $24$ è il minimo esponente intero tale che $g^24 = 1$. Per trovare i sottogruppi di G ...
Ragazzi l'esercizio mi chiede di provare per ricorsione la seguente formula e poi applicare il principio di induzione matematica.
$F(n) = 4n-2$ per n > 1
Ho calcolato :
F(1) =2
F(2) =6
F(3) =10
quindi qui ogni elemento aumenta sempre di 4
POI IN MODO GENERALE HO DEFINITO COME CALCOLARE F(N)
$F(n) = f(n) - 1 + 4$
QUALCUNO QUI SUL FORUM in un altro post mi diceva che questo era solo per calcolare l'elemento.. bisogno anche ricavare la legge..
Non capisco però come si calcola
Salve a tutti,chiedo aiuto ai più pazienti,mi sono imbattuto in questa pagina di wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange' ... _theory%29) mi interessava sapere attraverso un esempio concreto,ovvero numerico non astratto cosa aveva dimostrato gauss.nel sottotitolo history si legge "In his Disquisitiones Arithmeticae in 1801, Carl Friedrich Gauss proved Lagrange's theorem for the special case of $ Z(p) $ *, the multiplicative group of nonzero integers modulo $ p $ , where $ p $ is a ...
Scusate la domanda stupida, ma non riesco a cogliere la dimostrazione data in classe.
Presupponendo che la definizione che conosco di sottoinsieme improprio è: dato $A in B$ allora $A$ è sottoinsieme improprio se tutti gli elementi di $B$ sono in $A$.
Parto con l'enunciazione del teorema:
Ogni sottogruppo proprio $H$ di un gruppo ciclico $G$ è costituito dalle potenze di elementi del tipo $a^m$ ove ...
Ho due esempi e non riesco a capire nessuno dei due. O meglio, li capisco fino a un certo punto. Li metto entrambi, spero che mi possiate aiutare.
Esempio 1) Trovare l'inverso di $\bar 8$ in $Z_11$
So che il $MCD$ è $1$ perché $11$ è primo. Infatti
$11=8*1+3$
$8=3*2+2$
$3=2*1+1$
Ricavo:
$3=11-8*1$
...
Salve. Devo stabilire se $5\in I=(x^3+2,3x^2-1)$, con $I$ ideale di $ZZ[x]$.
Ho provato cosi:
riduco $I$ a tale forma, dopo una serie di "divisioni": $I=(x+6,107)$. Definisco la funzione: $\Phi : {ZZ[x]}/I \rightarrow ZZ_107$, definita da:
$\Phi (f+I)=[f(107)]_107$ (cioè valuto il polinomio f in 107 e calcolo la sua classe di resto modulo 107).
Si dimostra facilmente che $\Phi$ è un omomorfismo di anelli, dunque deve essere anche $$\Phi (\bar ...
Salve a tutti, ho le idee un po confuse riguardo al trovare i polinomi minimi.
Ad esempio, data $ \xi$ radice ventiseiesima primitiva dell'unità, devo determinare il grado del polinomio minimo di $ \xi + \xi^{-1}$ su $QQ$.
Allora so che la funzione di Eulero $\varphi (26)=12$, quindi $[QQ ( \xi): QQ]=12$, e, se non sbaglio, $ \xi + \xi ^{-1}$ ha grado $6$ su $QQ$; quindi, posto $ \alpha = \xi + \xi^{-1}$, facendo le potenze successive mi ricavo ...
Salve! ho un piccolo problema.
L'esercizio mi chiede di scrivere esplicitamente gli elementi di $ Z<em>$ $/(3)$.
Io so che gli elementi devono essere $9 = N(3)$ e che sono nella forma $a+ib+(3)$ con $a,b in Z $. la mia domanda è: come si scrivono questi 9 elementi ?
per esempio ho trovato un esercizio che chiedeva gli elementi di $ Z<em>$ $/(2)$ e dava come soluzione $ {(2),(2)+1,(2)+i,(2)+1+i} $ .. mi potete spiegare perchè e se ci sono dei ...
Considerato l'insieme S={a,b,c,d}, determinare nell'insieme ordinato (P(S)\{vuoto,S},$sube$) una parte limitata inferiormente ma non superiormente, una parte limitata superiormente ma non inferiormente ed una parte non limitata nè inferiormente, nè superiormente.
Nella dimostrazione che un funtore pieno, fedele ed essenzialmente suriettivo $F: A rarr B$ è un'equivalenza tra categorie, si costruisce esplicitamente $G$ dicendo che $ G(B)= C_B $ dove $C_B$ è quell'elemento di $A$ tale che $F(C_B)$ è isomorfo a $B$ (sfruttando il fatto che $F$ è essenzialmente suriettivo).
Sulle frecce il funtore si definisce sfruttando il fatto che $F$ è pieno e ...
Salve ragazzi, a breve ho un esame di matematica discreta ma non ho capito bene un paio di cose, non ho capito come ci si comporta difronte ad un esercizio che parla di bit string, esempio:
Quanti bit string di lunghezza 36 ci sono tale che :
a.) il bit string ha al massimo sedici 0 e al massimo ventisette 1, oltre si deve avere che il bit string corrispondente alle prime quindici posizione contiene al massimo due 0, e il bit string corrispondente alle ultimi diciotto posizioni contiene ...
Ho provato varie volte a rifare questo esercizio, senza capire dove sbaglio.
Consegna: Trovare l'ordine di 3 modulo 31.
Mi sono messa a calcolare tutte le potenze di 3, sperando di trovare ad un certo punto una ripetizione.
Le potenze di 3 (mod 31) che ho calcolato partendo dall'esponente zero fino al 28 sono le seguenti:
1, 3, 9, 27, 19, 26, 16, 17, 20, 29, 25, 13, 8, 24, 10, 30, 28, 22, 2, 6, 18, 23, 5, 15, 14, 11, 2, 6.
Mi sono accorta che cominciava una ripetizione di: 2, 6, 18, 23 ....
E ...
Buonasera, ho alcuni problemi con questa equazione congruenziale:
$43x -= 15 (mod 201)$
Prima di tutto calcolo il massimo comune divisore e controllo che esso divida 15, in modo da capire se l'equazione ammette soluzioni.
43 e 201 sono coprimi, pertanto il massimo comune divisore è 1, che è un divisore di 15 ($15=1*15$). Inoltre $1=(-14)*43+(3)*201$. Quindi un risultato dovrebbe essere $x=-14*15=-210-=-9(mod 201)$. Solo che, controllando con la calcolatrice non mi trovo, perchè $43(-9)-=-186(mod 201)$. Cosa ho ...
Sia f: S->T una funzione e siano X e X' sottoinsiemi di S. Provare che valgono le seguenti affermazioni:
1. X $sube$ X' $=>$ f(X) $sube$ f(X');
2. f(X $nn$ X) $sube$ f(X) $nn$ f(X');
3. f(X $uu$ X) = f(X) $uu$ f(X');
4. f(X \ X') $supe$ f(X) \ f(X');
mi aiutate a risolverli?
Buonasera.
Prendiamo la rappresentazione dei complessi in forma matriciale e andiamo a considerare una matrice $ T=( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) ) \in\M_2(\mathbb{R})$ che ha la proprietà che $T^2=-I$ e svolge il ruolo dell'unità immaginaria $i$.
Consideriamo l'omomorfismo di anelli \( \phi\colon\mathbb{C}\longrightarrow M_2(\mathbb{R}) \) tale che $\phi(a+ib)=aI+bT$ dove $I$ è la matrice identica. Si dimostra facilmente che $\phi$ è iniettivo.
L'immagine di questo omomorfismo è: ...
Buon pomeriggio e buon anno a tutti voi!
Ho svolto alcuni esercizi di algebra riguardo agli ideali e al teorema cinese dei resti.
Non avendo le soluzioni, vi chiedo se sono stati svolti correttamente.
Es. 1: Calcolare $ 2^56743 mod 20 $
Sol: Ho usato il teorema cinese dei resti nel seguente modo: $ 20 = 4*5 $ quindi $ 2^56743 mod 4 = 0 $ e $ 2^56743 mod 5 = 3 $
Quindi il risultato è 8.
Es. 2: Sia $ A=Z[X] $ l'anello dei polinomi su Z. Stabilire se l'ideale I generato dal polinomio ...
Buonasera, ho alcuni problemi con questo esercizi sulle classi di resto modulo m.
Sia ($ZZ_137$,+,$*$) l'anello degli interi modulo 137. E sia $f: x in ZZ_137 -> x^137 in ZZ_137$. Stabile se f è iniettiva e suriettiva.
Per l'iniettività basta provare che $AA x,y in ZZ_137, f(x) = f(y) => x=y$. Siano $x,y in ZZ_137$ e considero le immagini $f(x)=x^137 f(y)=y^137$ e pongo $f(x)=f(y)$ allora $x^137=y^137 <=> root(137)(x^137)=root(137)(y^137) <=> x=y$.
Per la suriettiva bisogna provare che $AA y in ZZ_137 EE x in ZZ_137 : f(x)=y$. Sia $x in ZZ_137$ allora ...
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