Suriettività di un omeomorfismo di anelli
Ciao a tutti (:
Sono in difficoltà nel dimostrare che una certa mappa fra anelli è suriettiva. La mappa in questione è la seguente:
consideriamo due campi numerici (in inglese "number fields") $K \subset L$ e i rispettivi anelli numerici ("number rings") $R$ e $S$, sia inoltre $\alpha \in S$ tale che $L = K[\alpha]$. Consideriamo la mappa da $R[x] \to S/Q_i$ mandando prima $x \to \alpha$ e facendo poi il quoziente con $Q_i$, dove $Q_i = (P, g_i(\alpha))$, dove $g_i$ è un fattore irriducibile del polinomio minimo di $\alpha$ modulo $p$, e $P$ è un ideale primo di $R$ che sta sopra a $p \in \mathbb(Z)$.
Ora, voglio dimostrare che questa mappa è suriettiva, ho trovato una dimostrazione nel libro "Number Fields" di A. Marcus a pagina 80, e lui dice che per fare questo dobbiamo far vedere che $S = R[\alpha] + Q_i$, e già questo non mi è molto chiaro; inoltre dimostra che in realtà si ha che $S = R[\alpha] + pS$ e da qui conclude subito dicendo che questo implica la suriettività.
Non riesco a capire perchè valga questa implicazione.
Mi sembra una cosa facile ma proprio non riesco a capirlo.
Qualcuno sarebbe così gentile da provare a spiegarmelo?
Grazie mille
Sono in difficoltà nel dimostrare che una certa mappa fra anelli è suriettiva. La mappa in questione è la seguente:
consideriamo due campi numerici (in inglese "number fields") $K \subset L$ e i rispettivi anelli numerici ("number rings") $R$ e $S$, sia inoltre $\alpha \in S$ tale che $L = K[\alpha]$. Consideriamo la mappa da $R[x] \to S/Q_i$ mandando prima $x \to \alpha$ e facendo poi il quoziente con $Q_i$, dove $Q_i = (P, g_i(\alpha))$, dove $g_i$ è un fattore irriducibile del polinomio minimo di $\alpha$ modulo $p$, e $P$ è un ideale primo di $R$ che sta sopra a $p \in \mathbb(Z)$.
Ora, voglio dimostrare che questa mappa è suriettiva, ho trovato una dimostrazione nel libro "Number Fields" di A. Marcus a pagina 80, e lui dice che per fare questo dobbiamo far vedere che $S = R[\alpha] + Q_i$, e già questo non mi è molto chiaro; inoltre dimostra che in realtà si ha che $S = R[\alpha] + pS$ e da qui conclude subito dicendo che questo implica la suriettività.
Non riesco a capire perchè valga questa implicazione.
Mi sembra una cosa facile ma proprio non riesco a capirlo.
Qualcuno sarebbe così gentile da provare a spiegarmelo?
Grazie mille
Risposte
Ciao. Beh se (*) $S=R[alpha]+Q_i$ allora la suriettività è ovvia, ogni elemento di $S/Q_i$ sarà della forma $f(alpha)+Q_i$.
Se $S=R[alpha]+pS$ allora vale (*), infatti $pS$ è contenuto in $Q_i$, essendo $Q_i$ un ideale di S ed essendo [tex]p \in P \subseteq Q_i[/tex].
Se $S=R[alpha]+pS$ allora vale (*), infatti $pS$ è contenuto in $Q_i$, essendo $Q_i$ un ideale di S ed essendo [tex]p \in P \subseteq Q_i[/tex].
Grazie mille Professore,è stato gentilissimo!
(sono il ragazzo che le aveva scritto per un aiuto con l'esame di teoria dei numeri a padova)
(sono il ragazzo che le aveva scritto per un aiuto con l'esame di teoria dei numeri a padova)
Sì l'avevo capito 
ciao!
ciao!
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