Esercizio induzione ostico
Salve, ho alcuni problemi a risolvere questo esercizio per induzione. Devo verificare per quali $ninNN$ $4^n>n^4$. Ho individuato la base di induzione, ed è $t=5$. Il professore preferisce impostare il passo induttivo in questo modo. $P(n-1) => P(n)$, quindi in questo caso: $4^(n-1)>(n-1)^4 => 4^n>n^4$. Quindi $4^n = 4^(n-1+1) = 4^(n-1) * 4 > (n-1)^4 *4 = 4*(n^4 - 4n^3 + 6n^2 - 4n + 1)$. A questo punto mi blocco. Come posso procedere?
Risposte
(ricordo che \(\displaystyle n \geqslant 5\), quindi \(n^4 \geqslant 5 n^3, \ n^4 \geqslant 25 n^2, \ n^4 \geqslant 125 n\)).
Faccio il passo induttivo $P(n) => P(n+1)$:
se $4^n >n^4$, allora
\( \begin{align*} 4^{n+1}&= 4 \cdot 4^n > 4 \cdot n^4 =\\
&= n^4 +n^4+n^4 +n^4 \geqslant n^4+ 5n^3+25n^2 +125n =\\
&= n^4+ 5n^3+25n^2 +124n+n > n^4 +4n^3+6n^2+4n+1=\\
&= (n+1)^4
\end{align*} \)
Faccio il passo induttivo $P(n) => P(n+1)$:
se $4^n >n^4$, allora
\( \begin{align*} 4^{n+1}&= 4 \cdot 4^n > 4 \cdot n^4 =\\
&= n^4 +n^4+n^4 +n^4 \geqslant n^4+ 5n^3+25n^2 +125n =\\
&= n^4+ 5n^3+25n^2 +124n+n > n^4 +4n^3+6n^2+4n+1=\\
&= (n+1)^4
\end{align*} \)
"Gi8":
(ricordo che \(\displaystyle n \geqslant 5\), quindi \(n^4 \geqslant 5 n^3, \ n^4 \geqslant 25 n^2, \ n^4 \geqslant 125 n\)).
Grazie per avermi risposto. Solo che non riesco a capire questo passaggio.
$n>=5 $ implica $n^4 = n*n^3 >= 5n^3$ (e le altre in modo analogo)
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