Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Come faccio a trovare gli omomorfismi tra questi due gruppi con nucleo che abbia ordine 3?
Salve a tutti!
Il problema è il seguente:
"Dimostrare che per ogni intero positivo n, tra n e 2n (estremi inclusi) c'è sempre un quadrato perfetto.
Ho provato a dimostrarlo per induzione, ma dato che non ho mai usato il principio di induzione in questo modo (mi sono sempre trovato di fronte a esercizi "meccanici" rispetto a questo) non sono pienamente sicuro di aver fatto bene.
Comunque, ho provato a fare così:\(\displaystyle \forall n \in N, \exists k: n \leq k^2 \leq 2n \).
P(n):
Passo ...
Ciao a tutti,
In attesa di sapere se sono passato e se quindi avrò l'orale di discreto, sto correggendo la mia prova scritta. Grazie al vostro aiuto ho risolto l'esercizio che piu mi terrorizzava ma mi rimane questo ultimo. L'ho provato piu volte a risolvere durante l'esame, ma senza risultato
"Sia A un albero con 7 vertici di grado 1, 5 vertici di grado 2 e i restanti di grado 3. Determinare il numero di vertici e di lati di A e disegnare uno degli alberi che hanno queste ...
1]Fattorizzare i seguenti elementi dell'anello $R$ in fattori irriducibili in $R$.
a] $X^2-Y^2$ con $R=QQ[X,Y]$;
b] $X^3-Y^3$ con $R=QQ[X,Y]$
2] Dimostrare,col Criterio di Eisenstein, che i polinomi $X^6+X^3+1$ , $X^5-8$ e $X^4-X^2+1$ sono irriducibili su $QQ[X]$.
In entrambi gli esercizi non so da dove cominciare e mi chiedevo se potevate farmi vedere come si fa.. almeno darmi dei consigli su come ...
Ciao a tutti,
ho soltanto un dubbio, che spero sia facile da chiarire:
Dato $|G|=n$, con , il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti mi dice che ogni gruppo abeliano finito è isomorfo alla somma diretta di gruppi ciclici i cui ordini sono potenze di numeri primi, cioè:
$G \cong \prod_{i=1} ^r \mathbb{Z_{p_i^{a_i}}}$ dove $p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_r^{a_r}=n$ e per prodotto si intende il prodotto diretto.
Allora il numero di gruppi abeliani di ordine $n$ è il $p(a_1)p(a_2)\cdots p(a_r)$ con $p(k)$ numero di ...
Buonasera a tutti,
stavo cercando di risolvere il seguente problema:
Sia $K \subset L$ una estensione di campi. Sia $\alpha \in L$ un elemento algebrico su $K$ di grado dispari. Dimostrare che $K(\alpha^2) = K(\alpha)$.
Sul fatto che $K(\alpha^2) \subset K(\alpha)$ non ci piove perché $\alpha^2 in K(\alpha)$ in quanto $K(\alpha)$ è un campo che contiene $\alpha$.
Passiamo alla seconda inclusione: $K(\alpha) \subset K(\alpha^2)$, ecco qui inizio ad avere problemi: non ...
Mi è stato dato un gruppo di permutazioni su cinque elementi e mi è stato chiesto di trovare il numero di tutti i tipi di cicli. Sono riuscita a trovare quanti fossero i 2-cicli, i 3- cicli, i 4-cicli, i 5- cicli (rispettivamente 10, 20, 30, 24), un ciclo poi è l'identità, ma non so come calcolare il numero delle permutazioni il cui prodotto in cicli disgiunti è della forma trasposizione composto trasposizione e trasposizione composto tre - ciclo.
Come potrei fare?
Ciao a tutti.
Non riesco a capire come dimostrare la seguente proprietà del prodotto tensore:
Prop. Siano $M,N,P$ tre $A$-moduli. Allora esiste un isomorfismo univocamente determinato tale che:
$$(M\oplus N)\otimes_{A} P \cong (M\otimes_{A} P)\oplus (N\otimes_{A} P)$$
e l'isomorfismo dovrebbe essere \( (x,y)\otimes z \overset{\phi}{\longmapsto} (x\otimes z,y\otimes z) \)
Però non riesco a dimostrarlo.
Con la proprietà universale del ...
Probabilmente è un quesito che è stato posto più volte ma vorrei sapere come faccio a dimostrare formalmente l'iniettività o una suriettività di una funzione. Mi spiego meglio: so quando una funzione è iniettiva o suriettiva, ma non riesco a capire come dimostrare ciò su un pezzo di carta (forse la soluzione è più facile di quanto si pensi ma vorrei delle conferme da voi). Ad esempio, voglio dimostrare l'iniettività di questa funzione:
$f: NN \to NN$ tale che $f(n) = 2^(2^n)$
Detto in ...
Salve,
Ho un problema a capire come calcolare una classe inversa. Ho un anello(Z77,+,*) e devo stabilire se la classe[19] è invertibile e in caso affermativo trovare l'inversa.
So che una classe [a] è invertibile se MCD(a,m)=1 quindi in questo caso la classe[19] è invertibile. Adesso però non so determinare l'inversa.
Grazie mille.
Ciro.
Salve, devo risolvere questo sistema parametrico e ho qualche problema nel dare le risposte definitive.
La traccia:
$\{(x -2y+kz=k),<br />
(-2x+(k+2)y-2kz=-2k-2),<br />
(2x-4y+3kz=3k)<br />
:}$
Le domande sono:
1)Per quali valori del parametro k il sistema ammette soluzione
2)Per quali valori del parametro k il sistema possiede più di una soluzione
3)Le soluzioni del sistema quando sono più di una
4)La soluzione del sistema quando è unica
Ho quindi la matrice A dei coefficenti:
$|(1,-2,k),(-2,(k+2),-2k),(2,-4,3k)|$
Ho trovato il determinante di A che è uguale a ...
Salve, non riesco a capire come risolvere modulo 2 un sistema, in generale non capisco cosa significa risolvere un sistema modulo "qualcosa". Ad esempio, in questo sistema:
$\{(3x + 4y + 2z = 1),(4x + 5y + 6z = 2),(4x + 8y + 9z = 3):}$
La soluzione è: $x = 1, y = 0, z = 1$
...ma non capisco da dove è uscita. Ho provato con il metodo di Cramer ma con le soluzioni non mi trovo assolutamente, e poi essendo un sistema da risolvere modulo 2 non so se in questo caso si usa Cramer.
Mi sono imbattuto in una serie di esercizi sull'invertibilità delle matrici, ma non riesco a capire come ragionare per risolvere quest'esercizio. Praticamente devo determinare per quali numeri primi p la matrice A (riportata di seguito) è invertibile nel campo degli interi modulo p. Ecco la matrice dell'esercizio:
$A = ((1,2,3), (4,5,6), (7,8,0))$
La soluzione dell'esercizio dice che: "Essendo $det(A) = 27$ allora A è invertibile modulo qualunque primo p $!= 3.4$
Ma come ci si è arrivati a ...
Stavo provando a fare il seguente esercizio: Sia G un gruppo abeliano di ordine n, dove n=6, 12,18,22,24,28,30,33,35,42,46,66,69,78,102,105,106,110,114,119,130,131. Si dica per quali n si può affermare che G è necessariamente ciclico.
Avevo pensato di applicare il lemma di Cauchy, ma ad esempio per n=6 mi dice che il gruppo ha elementi di ordine due e elementi di ordine tre. Ma non ho niente in mano per dire con certezza che ci sono elementi di ordine sei che quindi necessariamente generano ...
Salve a tutti,
sto rispolverando alcuni concetti di Algebra quando ad un certo punto non mi sono ritrovato nella definizione di elemento primo.
Testualmente la definizione riporta:
Sia $(A,+,*)$ un Dominio di Integrità. Un elemento $a in A$ diverso da $0$ e non-invertibile è detto $primo$ se $a|xy$ allora $a|x$ oppure $a|y$, ovviamente con $x,y in A$.
Ora supponiamo di trovarci in $Z$ che è un ...
Allora, devo trasformare questo numero $(sqrt3+i)^20(sqrt12-2i)^10$ alla forma algebrica.
Prima di tutto calcolo la forma trigonometrica di $(sqrt3+i)^20$:
$(2(cos(\pi/6)+isen(\pi/6))^20=$
$=(2^20(cos20(\pi/6)+isen20(\pi/6))=$
$=(2^20(cos4(\pi/3)+isen4(\pi/3))=$
Ovviamente l'esercizio continua ma per ora mi fermo qua perché non riesco a capire perché $cos20(\pi/6)+isen20(\pi/6)$ diventi $cos4(\pi/3)+isen4(\pi/3)$ invece di $cos10(\pi/3)+isen10(\pi/3)$
Se semplifico $20$ e $6$ dividendoli per il fattore comune $2$ mi vengono rispettivamente ...
Ciao a tutti. Purtroppo ci sono un sacco di esercizi sui numeri complessi che non mi vengono
1) In questo esercizio devo trasformare il numero $(2-7i)(5+3i)$ in forma trigonometrica
Ho fatto $(2*5)+(2*3i)+(-7i*5)+(-7i*3i)$ che mi è venuto $10-29i+21=31-29i$
Però quando voglio trasformare in forma trigonometrica e cerco di calcolare il modulo mi viene $sqrt(961-841)$ che viene $sqrt1802$ e quindi dev'essere sbagliato. Che cosa ho sbagliato?
2) Questo esercizio l'ho risolto ma non so se è ...
Devo determinare esplicitamente (indicando come operano sugli elementi del dominio) tutti gli omomorfismi di gruppi dal gruppo simmetrico $S_3$ al gruppo $Z/(6Z)$.
Devo studiare le possibilità per il ker $\phi$?
Salve ragazzi, chi mi sa dare una mano con questo esercizio sulle matrici?
Sia F : R3^3 ---> R3^3 l’applicazione lineare, e la base naturale e b la base (v1, v2, v3) dove F
è data dalla matrice [F]= $ ( ( 2 , -2 , 1 ),( 3 , -3 , 1 ),( 6 , -8 , 3 ) ) $ , v1= $ ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ , v2= $ ( ( 1 ),( 1 ),( 2 ) ) $ , v3= $ ( ( 0 ),( 1 ),( 2 ) ) $ . Trovare le matrici di cambiamento di base ^b e ^e e calcolare [F]^b.
Salve devo rispondere alle seguenti domande:
$a.$ Se $g\circ f$ è iniettiva $\Rightarrow f$ è iniettiva?
$b.$ Se $g\circ f$ è iniettiva $\Rightarrow g$ è iniettiva?
$c.$ Se $g\circ f$ è suriettiva $\Rightarrow f$ è suriettiva?
$d.$ Se $g\circ f$ è suriettiva $\Rightarrow g$ è suriettiva?
Le mie risposte sono:
$a.$ $Falso$
$b.$ $Vero$
...
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