Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ciao di nuovo! Mi sono imbattuta in questa proposizione: Volevo una mano a capire la dimostrazione, in particolare io ho studiato che in un dominio euclideo gli elementi invertibili sono tutti e soli quelli di grado minimo. Qui però utilizza il fatto che $s$ sia di grado minimo per dimostrare che $z$, tale che $deg(z)<deg(s)$ è invertibile. Perchè? Non dovrebbe invece risultare semplicemente nullo? Oltretutto viene fuori che $s$ è un elemento di ...

Ragazzi chi mi saprebbe dire come si determina il teorema di langrage nei gruppi .Grazie

Salve, devo risolvere questo sistema; ho fatto vari passaggi ma quando vado a scrivere la soluzione non so come rispondere. Ecco la traccia: $\{(x_1-3x_2+5x_3-3x_4+4x_5=0),(-3x_1+10x_2-17x_3+13x_4-11x_5=0),(3x_1-10x_2+17x_3-13x_4+11x_5=0),(14x_1-47x_2+80x_3-62x_4+51x_5=0):}$ L'esercizio chiede: 1)Il rango del sistema 2)I vettori noti del sistema in funzione delle incognite secondarie 3)La soluzione generale del sistema in funzione delle incognite secondarie 4)La soluzione generale del sistema relativa ad un generico vettore noto ammissibile Riducendo la matrice a scala, ottengo ...

Sia $mathcal{F}$ l'endomorfismo di Frobenius: $mathcal{F} : mathbb{Z}_p \rightarrow mathbb{Z}_p$ $a \mapsto a^p$ esiste $p$ per cui $\mathcal{F}$ non sia surgettivo? Sono certo del fatto che se $\mathbb{Z}_p$ è un campo finito l'endomorfismo è surgettivo, solo non riesco a dimostrare che se $\overline{mathbb{Z}_p}$è una chiusura algebrica di $\mathbb{Z}_p$ $\Rightarrow$ $\mathcal{F}$ è/non è surgettivo. Qualche suggerimento?

Come faccio a trovare gli omomorfismi tra questi due gruppi con nucleo che abbia ordine 3?

Salve a tutti! Il problema è il seguente: "Dimostrare che per ogni intero positivo n, tra n e 2n (estremi inclusi) c'è sempre un quadrato perfetto. Ho provato a dimostrarlo per induzione, ma dato che non ho mai usato il principio di induzione in questo modo (mi sono sempre trovato di fronte a esercizi "meccanici" rispetto a questo) non sono pienamente sicuro di aver fatto bene. Comunque, ho provato a fare così:\(\displaystyle \forall n \in N, \exists k: n \leq k^2 \leq 2n \). P(n): Passo ...

Ciao a tutti, In attesa di sapere se sono passato e se quindi avrò l'orale di discreto, sto correggendo la mia prova scritta. Grazie al vostro aiuto ho risolto l'esercizio che piu mi terrorizzava ma mi rimane questo ultimo. L'ho provato piu volte a risolvere durante l'esame, ma senza risultato "Sia A un albero con 7 vertici di grado 1, 5 vertici di grado 2 e i restanti di grado 3. Determinare il numero di vertici e di lati di A e disegnare uno degli alberi che hanno queste ...

1]Fattorizzare i seguenti elementi dell'anello $R$ in fattori irriducibili in $R$. a] $X^2-Y^2$ con $R=QQ[X,Y]$; b] $X^3-Y^3$ con $R=QQ[X,Y]$ 2] Dimostrare,col Criterio di Eisenstein, che i polinomi $X^6+X^3+1$ , $X^5-8$ e $X^4-X^2+1$ sono irriducibili su $QQ[X]$. In entrambi gli esercizi non so da dove cominciare e mi chiedevo se potevate farmi vedere come si fa.. almeno darmi dei consigli su come ...

Ciao a tutti, ho soltanto un dubbio, che spero sia facile da chiarire: Dato $|G|=n$, con , il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti mi dice che ogni gruppo abeliano finito è isomorfo alla somma diretta di gruppi ciclici i cui ordini sono potenze di numeri primi, cioè: $G \cong \prod_{i=1} ^r \mathbb{Z_{p_i^{a_i}}}$ dove $p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_r^{a_r}=n$ e per prodotto si intende il prodotto diretto. Allora il numero di gruppi abeliani di ordine $n$ è il $p(a_1)p(a_2)\cdots p(a_r)$ con $p(k)$ numero di ...

Buonasera a tutti, stavo cercando di risolvere il seguente problema: Sia $K \subset L$ una estensione di campi. Sia $\alpha \in L$ un elemento algebrico su $K$ di grado dispari. Dimostrare che $K(\alpha^2) = K(\alpha)$. Sul fatto che $K(\alpha^2) \subset K(\alpha)$ non ci piove perché $\alpha^2 in K(\alpha)$ in quanto $K(\alpha)$ è un campo che contiene $\alpha$. Passiamo alla seconda inclusione: $K(\alpha) \subset K(\alpha^2)$, ecco qui inizio ad avere problemi: non ...

Mi è stato dato un gruppo di permutazioni su cinque elementi e mi è stato chiesto di trovare il numero di tutti i tipi di cicli. Sono riuscita a trovare quanti fossero i 2-cicli, i 3- cicli, i 4-cicli, i 5- cicli (rispettivamente 10, 20, 30, 24), un ciclo poi è l'identità, ma non so come calcolare il numero delle permutazioni il cui prodotto in cicli disgiunti è della forma trasposizione composto trasposizione e trasposizione composto tre - ciclo. Come potrei fare?

Ciao a tutti. Non riesco a capire come dimostrare la seguente proprietà del prodotto tensore: Prop. Siano $M,N,P$ tre $A$-moduli. Allora esiste un isomorfismo univocamente determinato tale che: $$(M\oplus N)\otimes_{A} P \cong (M\otimes_{A} P)\oplus (N\otimes_{A} P)$$ e l'isomorfismo dovrebbe essere \( (x,y)\otimes z \overset{\phi}{\longmapsto} (x\otimes z,y\otimes z) \) Però non riesco a dimostrarlo. Con la proprietà universale del ...

Probabilmente è un quesito che è stato posto più volte ma vorrei sapere come faccio a dimostrare formalmente l'iniettività o una suriettività di una funzione. Mi spiego meglio: so quando una funzione è iniettiva o suriettiva, ma non riesco a capire come dimostrare ciò su un pezzo di carta (forse la soluzione è più facile di quanto si pensi ma vorrei delle conferme da voi). Ad esempio, voglio dimostrare l'iniettività di questa funzione: $f: NN \to NN$ tale che $f(n) = 2^(2^n)$ Detto in ...

Salve, Ho un problema a capire come calcolare una classe inversa. Ho un anello(Z77,+,*) e devo stabilire se la classe[19] è invertibile e in caso affermativo trovare l'inversa. So che una classe [a] è invertibile se MCD(a,m)=1 quindi in questo caso la classe[19] è invertibile. Adesso però non so determinare l'inversa. Grazie mille. Ciro.

Salve, devo risolvere questo sistema parametrico e ho qualche problema nel dare le risposte definitive. La traccia: $\{(x -2y+kz=k),<br /> (-2x+(k+2)y-2kz=-2k-2),<br /> (2x-4y+3kz=3k)<br /> :}$ Le domande sono: 1)Per quali valori del parametro k il sistema ammette soluzione 2)Per quali valori del parametro k il sistema possiede più di una soluzione 3)Le soluzioni del sistema quando sono più di una 4)La soluzione del sistema quando è unica Ho quindi la matrice A dei coefficenti: $|(1,-2,k),(-2,(k+2),-2k),(2,-4,3k)|$ Ho trovato il determinante di A che è uguale a ...

Salve, non riesco a capire come risolvere modulo 2 un sistema, in generale non capisco cosa significa risolvere un sistema modulo "qualcosa". Ad esempio, in questo sistema: $\{(3x + 4y + 2z = 1),(4x + 5y + 6z = 2),(4x + 8y + 9z = 3):}$ La soluzione è: $x = 1, y = 0, z = 1$ ...ma non capisco da dove è uscita. Ho provato con il metodo di Cramer ma con le soluzioni non mi trovo assolutamente, e poi essendo un sistema da risolvere modulo 2 non so se in questo caso si usa Cramer.

Mi sono imbattuto in una serie di esercizi sull'invertibilità delle matrici, ma non riesco a capire come ragionare per risolvere quest'esercizio. Praticamente devo determinare per quali numeri primi p la matrice A (riportata di seguito) è invertibile nel campo degli interi modulo p. Ecco la matrice dell'esercizio: $A = ((1,2,3), (4,5,6), (7,8,0))$ La soluzione dell'esercizio dice che: "Essendo $det(A) = 27$ allora A è invertibile modulo qualunque primo p $!= 3.4$ Ma come ci si è arrivati a ...

Stavo provando a fare il seguente esercizio: Sia G un gruppo abeliano di ordine n, dove n=6, 12,18,22,24,28,30,33,35,42,46,66,69,78,102,105,106,110,114,119,130,131. Si dica per quali n si può affermare che G è necessariamente ciclico. Avevo pensato di applicare il lemma di Cauchy, ma ad esempio per n=6 mi dice che il gruppo ha elementi di ordine due e elementi di ordine tre. Ma non ho niente in mano per dire con certezza che ci sono elementi di ordine sei che quindi necessariamente generano ...

Salve a tutti, sto rispolverando alcuni concetti di Algebra quando ad un certo punto non mi sono ritrovato nella definizione di elemento primo. Testualmente la definizione riporta: Sia $(A,+,*)$ un Dominio di Integrità. Un elemento $a in A$ diverso da $0$ e non-invertibile è detto $primo$ se $a|xy$ allora $a|x$ oppure $a|y$, ovviamente con $x,y in A$. Ora supponiamo di trovarci in $Z$ che è un ...

Allora, devo trasformare questo numero $(sqrt3+i)^20(sqrt12-2i)^10$ alla forma algebrica. Prima di tutto calcolo la forma trigonometrica di $(sqrt3+i)^20$: $(2(cos(\pi/6)+isen(\pi/6))^20=$ $=(2^20(cos20(\pi/6)+isen20(\pi/6))=$ $=(2^20(cos4(\pi/3)+isen4(\pi/3))=$ Ovviamente l'esercizio continua ma per ora mi fermo qua perché non riesco a capire perché $cos20(\pi/6)+isen20(\pi/6)$ diventi $cos4(\pi/3)+isen4(\pi/3)$ invece di $cos10(\pi/3)+isen10(\pi/3)$ Se semplifico $20$ e $6$ dividendoli per il fattore comune $2$ mi vengono rispettivamente ...