Equazione congruenziale lineare
Ho l'equazione $\bar33$ $\barx$ $=$ $\bar22$ in $Z_110$
Le soluzioni di $x$ che ho trovato sono $4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94, 104, 114$
Ora se l'esercizio mi chiede quali sono gli elementi invertibili, gli elementi a cui si riferisce sono le soluzioni?
E se è così, è giusto dire che non ci sono elementi invertibili perché qualsiasi soluzione $x$ prenda $MCD(x,110)=2≠1$?
Poi mi chiede "Dire se esistono $\barx$ e $\bary$ tali che $\barx$ $≠$ $\bary$ ma $\bar2$ $\barx$ $=$ $\bar2y$. E tali che $\barx$ $≠$ $\bary$ ma $\bar3$ $\barx$ $=$ $\bar3$ $\bary$?
Non riesco a rispondere a quest'ultima domanda.
Per favore aiutatemiii!
Le soluzioni di $x$ che ho trovato sono $4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94, 104, 114$
Ora se l'esercizio mi chiede quali sono gli elementi invertibili, gli elementi a cui si riferisce sono le soluzioni?
E se è così, è giusto dire che non ci sono elementi invertibili perché qualsiasi soluzione $x$ prenda $MCD(x,110)=2≠1$?
Poi mi chiede "Dire se esistono $\barx$ e $\bary$ tali che $\barx$ $≠$ $\bary$ ma $\bar2$ $\barx$ $=$ $\bar2y$. E tali che $\barx$ $≠$ $\bary$ ma $\bar3$ $\barx$ $=$ $\bar3$ $\bary$?
Non riesco a rispondere a quest'ultima domanda.
Per favore aiutatemiii!
Risposte
Per trovare gli elementi invertibili in $ZZ_110$ devi risolvere la congruenza $ax\equiv 1 mod(110)$.
Essa ha soluzione se e solo se $MCD(110,a)$ divide $1$, ovvero devi cercare gli interi minori di $110$ che sono coprimi con esso: sono $\phi (110)=\phi (11)\phi (10)=10*4=40$, dunque vi sono $40$ elementi invertibili in $ZZ_110$.
Per trovare quali sono osservi che $110=2*5*11$ e dunque escludi dalla lista $0,1,2,....109$ i multipli di $2$ di $5$ di $11$ di $10$ di $22$... ecc fino a che arrivi ad un totale di $40$.
Poi per la restante parte:
devi dire se esistono $[x]_110$ e$[y]_110$ tali che $[x]_110\ne [y]_110$ ma $[2x]_110=[2y]_110$.
Allora $[2x]_110=[2y]_110 \Leftrightarrow [2x-2y]_110=[0]_110 \Leftrightarrow 2x-2y\equiv 0 mod(110) \Leftrightarrow x\equiv y mod(55)$. Basta dunque considerare due numeri che per esempio differiscono di 55 minori di 110:
es $x=95$ e $y=40$ in questo modo $[95]_110 \ne [40]_110$ ma $[2*95]_110=[80]_110=[2*40]_110$ quindi esistono due elementi che l'esercizio richiede.
Per l'ultima domanda:
eseguendo lo stesso ragionamento arrivi a dire che $x\equiv y mod(110)$ , cioè che $[x]_110=[y]_110$ contro la tua ipotesi che $[x]_110\ne [y]_110$ dunque tali elementi non esistono in questo caso.
Essa ha soluzione se e solo se $MCD(110,a)$ divide $1$, ovvero devi cercare gli interi minori di $110$ che sono coprimi con esso: sono $\phi (110)=\phi (11)\phi (10)=10*4=40$, dunque vi sono $40$ elementi invertibili in $ZZ_110$.
Per trovare quali sono osservi che $110=2*5*11$ e dunque escludi dalla lista $0,1,2,....109$ i multipli di $2$ di $5$ di $11$ di $10$ di $22$... ecc fino a che arrivi ad un totale di $40$.
Poi per la restante parte:
devi dire se esistono $[x]_110$ e$[y]_110$ tali che $[x]_110\ne [y]_110$ ma $[2x]_110=[2y]_110$.
Allora $[2x]_110=[2y]_110 \Leftrightarrow [2x-2y]_110=[0]_110 \Leftrightarrow 2x-2y\equiv 0 mod(110) \Leftrightarrow x\equiv y mod(55)$. Basta dunque considerare due numeri che per esempio differiscono di 55 minori di 110:
es $x=95$ e $y=40$ in questo modo $[95]_110 \ne [40]_110$ ma $[2*95]_110=[80]_110=[2*40]_110$ quindi esistono due elementi che l'esercizio richiede.
Per l'ultima domanda:
eseguendo lo stesso ragionamento arrivi a dire che $x\equiv y mod(110)$ , cioè che $[x]_110=[y]_110$ contro la tua ipotesi che $[x]_110\ne [y]_110$ dunque tali elementi non esistono in questo caso.
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