Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
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Salve a tutti. Ho questo problema:
"Provare che per ogni numero intero $n>=2$, si ha $root(n) (n!) < (n+1)/2$" .
Essendoci una disequazione in $n$ numero intero, ho pensato che si potesse dimostrarla con il principio di induzione. Quindi ipotizzando che sia vera per $n$, provo a dimostrare che sia vera per $n+1$.
$root(n+1) (n+1)! < (n+2)/2$
Il primo membro può essere scritto come $root(n+1) (n!) * root(n+1) (n+1)$.
Per ogni $n$ si ha che ...
Ispirato da questa discussione vi propongo questo simpatico esercizio:
Esercizio. Si considerino [tex]n[/tex] rette distinte passanti per l'origine di [tex]\mathbb R^3[/tex] e sia [tex]R_n[/tex] la loro unione; sia [tex]X_n = \mathbb R^3 \setminus R_n[/tex]. Si dimostri che [tex]\pi_1(X_n,x_0)[/tex] (dove [tex]x_0[/tex] è un punto qualsiasi di [tex]X_n[/tex]) è il gruppo libero su [tex]2n-1[/tex] elementi.
Bonus. Si calcolino anche tutti i gruppi di omologia singolare di [tex]X_n[/tex], a ...
Qualche anno fa mi chiesi quale fosse un esempio semplice di spazio di Banach strettamente convesso, ma non uniformemente. Proprio oggi pomeriggio mi e' tornata in mente questa curiosita' che mi ero chiesto, in quanto casualmente mi sono imbattuto in un esempio. Non so se e' il piu' semplice, ma e' uno abbastanza semplice.
Sia $X$ la somma diretta $l^2$ di tutti gli spazi $l^n(\mathbb N)$, per $n\in\mathbb N$, $n\geq2$.
Esercizio (se vi va di farlo). ...
Vi propongo un esercizio che spero troverete interessante!
Esercizio: Sia $f : CC -> CC$ una funzione intera (cioè olomorfa su tutto $CC$) che assuma solo valori reali sul bordo della circonferenza unitaria $|z| = 1$. Provare che $f$ è costante.
Nota:
Purtroppo io all'inizio ho letto male l'esercizio (...) e ho risolto una variante molto semplificata del suddetto. Ve la propongo come esercizio alternativo, se vi aggrada più del primo.
Esercizio 2: Sia ...
In quanto segue darò per scontata la nozione di "schema", nel senso della geometria algebrica (in particolare, nel seguito tutti gli anelli considerati sono da intendersi commutativi e unitari). Ho messo dei richiami che potete divertirvi a dimostrare La referenza principale è questa (in francese). Per chi non fosse a suo agio con la nozione di "schema", può pensare a tutti gli schemi coinvolti come a schemi affini, cioè a spazi topologici del tipo [tex]\text{Spec}(A)[/tex] (lo ...
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Studente Anonimo
5 feb 2012, 16:04
Apro questo thread sulla scia di quest'altro, mantenendone inalterate le finalità. Non posto là semplicemente perché parlerò di schemi, ma non di schemi integri. Inizio con un esercizio, poi ne aggiungerò altri in futuro.
[size=150]Il criterio di affinità[/size]
Definizione. Sia [tex](X,\mathscr O_X)[/tex] uno schema e sia [tex]A := \Gamma(X,\mathscr O_X)[/tex]. Per ogni [tex]f \in A[/tex] si definisca [tex]X_f := \{x \in X \mid [f]_x \not \in \mathfrak m_x\}[/tex].
Esercizio 1. ...
Semplice esercizietto dalla prova d'ammissione in SISSA 2004:
Sia $A sub RR^n$. Supponiamo che ogni funzione continua su $A$ sia limitata.
Allora $A$ è compatto.
Non saprei come risolverlo: ho iniziato così.
Dato che siamo in $RR^n$ la compattezza equivale a limitato + chiuso.
Per provare la limitatezza prendo $x_0$ a caso nell'insieme, dato che $f(x)=|x-x_0|$ è continua su $RR^n$, allora è continua su ...
Data un'equazione generica di questo tipo:
3*n^2*q - 6*n^2 + 3*n*q + q^3 - 7*n + 6*s^3 = 0
esiste qualche teorema o stratagemma che mi permetta di capire se esiste oppure no una terna infinita di numeri n, q, s appartenente ad N (numeri naturali) che siano soluzione dell'equazione e diversi da 0 e da 1?
Per alcune equazioni (a^2+b^2=c^2, a^3+b^3=c^3, ecc...) si conosce la risposta ma per tutte le altre?
Sia \(\displaystyle n \ge 3 \) e si consideri la matrice \(\displaystyle A_{n}=(a_{ij})_{1 \le i,j \le n} \) di ordine \(\displaystyle n \), ove \[\displaystyle a_{ij}= \begin{cases} \alpha & \text{se} \quad |j-i|=1 \\ \beta & \text{se} \quad j-i=2 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \]
e \(\displaystyle \alpha, \ \beta \in \mathbb{C} \). Posto \(\displaystyle \delta_{n}=\text{det}A_{n} \), si scriva la relazione ricorsiva che governa la successione \(\displaystyle (\delta_{n})_{n ...
Calcolare \[\displaystyle e^{i/n^{2}} + e^{2i/n^{2}} + \dots + e^{in/n^{2}} \]
e utilizzare quindi il risultato per calcolare \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left[ \sin \left(\frac{1}{n^{2}} \right) + \dots + \sin \left( \frac{n}{n^{2}} \right) \right] \]
Dopo la serie particolare ora una funzione ...particolare
Sia \(\displaystyle f\in C^2([0,1])\) tale che :
\(\displaystyle \int_0^1f(x)dx=2\int_{1/4}^{3/4} f(x) dx\)
Dimostrare che esiste un punto \(\displaystyle x_o \in (0,1) \) tale che \(\displaystyle f''(x_o)=0 \)
A scanso di equivoci dichiaro solennemente che non ho la soluzione e non sono interessato alla stessa per scopi diversi da quelli del semplice piacere intellettuale !
Leggendo questo, mi sono ricordato di quest'altro esercizio che avevo svolto tempo fa. Ve lo propongo, perché alla fine può anche essere divertente.
Esercizio. Contare (e determinare) i sottogruppi di [tex]\mathbb Z_p^r[/tex] dove [tex]p[/tex] è un primo.
Esercizio simpatico riguardo gli autovalori del laplaciano.
Credo che il risultato abbia anche una sensata "interpretazione fisica", quindi potrebbe essere interessante anche per gli studenti che si dedicano alle applicazioni.
***
Prima di introdurre l'esercizio, lasciatemi introdurre un po' di terminologia e richiamare alcuni fatti di teoria.
I. Alcune nozioni di Teoria della Misura.
Chiamiamo \(\mathcal{L}\) la classe dei misurabili secondo Lebesgue in \(\mathbb{R}^2\) (identificati a meno ...
Un esercizio "bellino" dedicato a tutti i più giovani, in particolare a coloro che stanno preparando Analisi I. E' piuttosto semplice!
Possiedo una mia soluzione.
Esercizio. Sia [tex]f \colon \mathbb R \to \mathbb R[/tex] una funzione uniformemente continua; supponiamo che $f(n)=0$ per ogni $n \in \ZZ$. Provare che $f$ è limitata.
Enjoy
Prima dell'esercizio, permettetemi di chiarire un po' il titolo del post.
- Avvertenza -
Quanto segue in questo "spoiler" è farina del mio sacco: vi sono racchiuse alcune spiegazioni che, nel corso di questi anni, mi sono dato circa la terminologia e circa il senso (più o meno) "profondo" delle disuguaglianze geometrico-funzionali che ho incrociato.
Dato che questi pensieri non li ho trovati esposti sistematicamente in alcun testo, il discorso può risultare grezzo o, peggio ancora, fallace in ...
A me è piaciuto molto come risultato e propongo che siano coloro che non lo conoscevano a darne una dimostrazione.
Teorema: Sia $f(z) = sum_(k=0)^(+oo) a_k (z - z_0)^k$ una serie di potenze e sia $r > 0$ il suo raggio di convergenza. Si provi che sul bordo del cerchio di convergenza $ \partial B_r(z_0)$ esiste almeno un punto singolare.
Suggerimento:
Hint: Per assurdo, si supponga non esistano punti singolari...
Propongo il seguente esercizio, del quale non conosco la soluzione (di conseguenza non mi è noto il livello di difficoltà, ma forse qualcuno lo ha già incontrato):
determinare la classe limite della successione \(a_n := n \sin (n)\), \(n\in\mathbb{N}\).
Prendi un'asta di lunghezza l e di massa m. Dividila in tre parti uguali e togli quella in mezzo. Ora prendi le due parti rimanenti e dividile ciascuna in tre parti uguali e togli quelle in mezzo. Ora hai quattro parti. Fai lo stesso con esse, e così via all'infinito. Calcola il momento d'inerzia di ciò che rimane rispetto al centro dell'asta iniziale.
Curiosando un po' nei libri di analisi matematica per studiare la misura di Lebesgue, ho ritrovato questo interessante esercizio, che spero non sia troppo banale per questa sezione.
Trovare un esempio di successione di funzioni che converge quasi ovunque, ma non quasi uniformemente.
Ecco la mia idea:
Sia $f_n:[0,1] -> RR$.
Considero le solite classi di equivalenza date dalla relazione $x R y hArr (x-y) in QQ$.
Per ogni classe prendo un rappresentante $\xi$ e definisco:
...
Riflettevo un po' sulla questione nel titolo e su alcuni annessi e connessi e vi propongo qualcosa, per curiosità.
Escludiamo il caso banale in cui uno dei due addendi \(\vec{a}, \vec{b}\) sia il vettore nullo. Allora, guardando il disegno
si capisce che la lunghezza di \(\vec{a}+\vec{b}\) può raggiungere la somma delle due lunghezze solamente se \(\vec{a}, \vec{b}\) sono direttamente proporzionali, ovvero \(\vec{a}=\gamma\vec{b}\) per un \(\gamma > 0\). Infatti è proprio così e la ...
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