Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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La questione che presento qui nasce da questo topic e da un successivo scambio di PM con dissonance.
Si pone il seguente
Problema. Data una funzione $f: (a,b) to RR$ derivabile su $(a,b)$, si può dire che $f(x)$ è monotona su qualche sottointervallo di $(a,b)$?
Ci si propone di dimostrare il fatto, se questo è vero; in caso contrario, si chiede di trovare le condizioni sufficienti (precisando se sono anche necessarie) affinchè lo ...
qualche giorno fa un mio amico mi ha posto un interessante (almeno per me) quesito.
supponiamo che vi sia un treno che corre a velocità costante, con direzione da sinistra verso destra. Supponiamo inoltre che tra le carrozze non vi sia alcuno ostacolo, in modo che sia possibile correrci dentro.
a un certo punto mi alzo dal mio posto e inizio a correre dalla parte opposta cioè da destra verso sinistra.
supponiamo che il treno viaggi a 70 km/h e che io riesca a raggiungere i 20 km/h.
così ...
Problema. Siano $alpha,beta \in \RR$ tali che $\alpha/\beta \in \RR setminus \QQ$. Dimostrare che l'insieme $I={m\alpha+n\beta | m,n \in ZZ}$ è denso in $RR$.
Come da titolo, la fonte è il Prodi, Analisi Matematica (Bollati Boringhieri).
Il buon Prodi dà anche qualche suggerimento per la soluzione, ma non sono ancora arrivato a scriverne una intera.
L'autore suggerisce di fissare un intero positivo $N$ e di considerare l'insieme $I_{N}={m\alpha+n\beta " con " |m| \le N, |n| \le N}$. Fa notare che in $I_N$ gli elementi sono ...
Ripropongo due esercizi esposti a degli esami di un corso di Algoritmi e strutture dati, a cui uno di questi mi fece perdere parecchio tempo (inutilmente) per dimostrarne la limitazione asintotica.
1. Sia data la seguente equazione di ricorrenza
$T(n) = {(1 if n=1),(T(n/2) + 1 if n>1\ is\ even),(T(n-2) + 1 if n>1\ is\ odd):}$
trovare limite inferiore ($Omega()$) e superiore ($O()$).
suggerimento: utilizzare il Master Theorem o i teoremi elementari per trovare una stima, ma bisogna dimostrare con induzione (metodo della sostituzione) ...
Sono ben note le condizioni necessarie e sufficienti (di Cauchy-Riemann ) per la derivabilità complessa di una funzione $f(z)=f(x+iy) = u(x,y)+i v(x,y)$.
$u_x = v_y $
$u_y =-v_x .$
Non conoscevo invece questo diverso modo di formulare le condizioni di monogeneità che ora vado a descrivere :
Essendo $ z=x+iy ; bar z = x-iy $ si possono esprimere $ x, y $ in funzione di $z $ e di $ bar z $ così:
$x=(z+bar z)/2 ; y= (z-barz)/2 $ .
Si può quindi scrivere la $ f(z) $ come funzione ...
Ciao a tutti, oggi stavo scendendo di fretta le scale di casa, sono caduto sbattendo violentemente la testa facendomi dimenticare la teoria delle equazioni differenziali, la funzione seno e la funzione coseno. Ho il seguente problema, però per la risoluzione non usate gli oggetti che ho dimenticato!
Siano [tex]f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ \ g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex] due funzioni continue e almeno due volte derivabili in [tex]\mathbb{R}[/tex] che godono delle seguenti proprietà:
a) ...
Gli esercizi di informatica in questa sezione non vanno tanto di moda, però la soluzione di questo mi sembrava carina, se qualcuno vuole cimentarsi:
Dimostrare che il seguente linguaggio è indecidibile:
$ L={(:M:) : M \text{ è una mdT che lavora in tempo } 100n^2 + 200} $
Con $(:M:)$ si intende la rappresentazione in binario della mdT $M$. Il tempo di calcolo scelto, $100n^2 + 200$, è ovviamente arbitrario.
Questo esercizio è stato preso dall'Arora-Barack, es. 3.1.
Per chi vuole un suggerimento:
per dimostrarlo si ...
Ciao a tutti!
Il prof. mi ha citato un "Lemma di Borel" (ho trovato qualche riscontro, in realtà più generale, su Wikipedia).
Assegnata una qualunque successione $(M_k)_k$ di numeri reali, si può sempre assegnare una funzione $C^\infty$ che abbia come derivate in un punto esattamente quei numeri.
Come suggerimento, si pensi alla funzione
$f(x)=\sum_{j=1}^\infty M_j \frac{x^j}{j!} \chi(\lambda_j x)$
con $chi$ la funzione caratteristica della sfera centrata in $0$ di raggio $1$, e ...
Stavo vedendo questo esercizio, in realtà mi ha tenuto occupato più di quanto pensassi e un paio di particolari ancora non li ho chiariti.
Vorrei essere sicuro che si possano appunto specificare o se ci si deve accontentare di asserire che ad esempio il punto di max esiste in un intervallo individuato, senza dire altro.
Sia $f:\quad(0,\infty)\rarr\mathbb{R}$ come da titolo: $f(x):=x\int_{x}^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt$
Studiare la funzione e in particolare
i) Si calcoli Il limite per $x\to0^+$ e per ...
Sia G un gruppo finito non ciclico tale che ogni sottogruppo proprio di G è abeliano. Dimostrare che G ha un sottogruppo normale proprio.
propongo un gioco fichissimo che porta a questo risultato ben conosciuto usando la nostra amata topologia
"Su $ZZ$ sia $\mathbf{B}$ la famiglia di tutte le progressioni aritmetiche $U_(a,n)={a+kn|k\in\ZZ}$ con l'insieme vuoto. Essa forma ovviamente una base per una topologia su $ZZ$. Usando questa topologia dedurre che i numeri primi sono infiniti"
Hint:
Mostrare che in generale $U_(a,n)$ son sia aperti che chiusi, ma la loro unione è per forza chiusa. ...
Dopo averne discusso con l'amico maurer, abbiamo deciso di proporlo qui. E' un bell'esercizio.
Esercizio. Sia [tex]A[/tex] la seguente matrice in [tex]\mathbb{R}^{n,n}[/tex]:
[tex]A:= \left(
\begin{array}{cccccc}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1
\end{array}
\right)[/tex]
Si trovino tutti i sottospazi di [tex]\mathbb{R}^{n}[/tex] che sono invarianti ...
Questo è dedicato ai più inesperti.
[tex]A[/tex] sarà un anello commutativo unitario, [tex]M,M',M'',N[/tex] saranno [tex]A[/tex] moduli.
Prove it! La sequenza [tex]M'\stackrel{u}{\longrightarrow} M\stackrel {v}{\longrightarrow} M''\longrightarrow 0[/tex] è esatta se e solo se per ogni [tex]A[/tex]-modulo [tex]N[/tex] è esatta la sequenza [tex]0\longrightarrow \text{Hom}_A(M'', N)\stackrel{\bar{v}}{\longrightarrow}\text{Hom}_A (M, N)\stackrel{\bar{u}}{\longrightarrow}\text{Hom}_A(M', N)[/tex], ...
Un problemino interessante, nato a seguito di una discussione con il docente di Teoria dei Campi e risolto da me ed un mio amico. Lo propongo perché lo ritengo abbastanza istruttivo, se poi è un fatto universalmente noto, pazienza.
Esercizio. Trovare un'estensione (di campi) [tex]F \subseteq K[/tex] finita ma non semplice.
Io non lo conoscevo, ma credo comunque sia un fatto noto ai più. L'ho cercato qui nel forum ma non l'ho trovato, così lo propongo qui.
E' adatto a tutti quelli che hanno sostenuto/stanno studiando Analisi I (non serve nulla di particolare).
Esercizio. Sia [tex]$\displaystyle a_{n}:=\sum_{i=1}^n\frac{1}{i} - \log(n)[/tex]. Dimostrare che [tex]$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_{n}=\gamma < + \infty$[/tex].
Buon divertimento.
Il valore del limite, come ho scritto, è [tex]\gamma[/tex] che è nota come costante di Eulero-Mascheroni. In sostanza, si ...
Dimostrare, se è vero che per $n<=s<=[(7n)/2]$ allora il numero di modi di ottenere il numero $s$ con $n$ dadi è dato dal binomiale $ ( ( s-1 ),( n-1 ) ) $.
Me ne sono accorto per caso, da un mesetto circa ma non ho mai cercato un vero e proprio attacco. Sarei curioso di vedere se è vero.
Vorrei premettere che questo non ha la pretesa di essere un problema complesso, ma vorrei solo solleticare l'appetito per le dimostrazioni con riga e compasso.. e spero che in seguito a questo post ne appariranno di simili con la stessa richiesta... grecizziamoci un po
allora il problema è questo:
Pierino abita in un punto $A$ del piano, egli riceve dalla madre il compito di andare al fiume, la retta $r$ appartenente al piano a cui appartiene anche il punto ...
Un semplice quesito di sei anni fa per l'ammissione.
Praticamente il punto a) è banale, il b) semplice e il c) anche alla luce del suggerimento che il testo stesso decide di dare.
Problema
Sia [tex]$f : (0, \infty) \to \mathbb{R}$[/tex] funzione di classe [tex]$C^1$[/tex] per cu vale, in ogni punto del dominio, [tex]$f'(x)<\frac{f(x)}{x}$[/tex]
Prova quindi che
a) La funzione [tex]$x \to \frac{f(x)}{x}$[/tex] è decrescente
b)Vale [tex]$ f'(y) < \frac{f(x)}{x}$[/tex] per [tex]$x,y \in (0,\infty)$[/tex] ...
Un problema apparso recentemente sullo American Mathematical Monthly (v. 118, n° 6) al quale ho aggiunto un secondo punto.
Non ho la soluzione.
Come già accaduto, se ci sarà l'accordo dei solutori, la risposta verrà inviata alla rivista a nome del forum.
***
Problema:
Sia [tex]$f(x)$[/tex] una funzione continua di [tex]$[0,1]$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], non costante, avente media integrale nulla (ossia tale che [tex]\int_0^1 f(x)\ \text{d} ...
Sia $NN={1,2,3,...}$
Sia $(F_n)_(n in NN)$ la successione di Fibonacci, così definita: ${(F_1=1),(F_2=1),(F_(n+2)=F_(n+1)+F_n ):}$
Dimostrare che $AA n in NN$ si ha $F_(n+3)*F_n-F_(n+2)*F_(n+1)=(-1)^(n+1)$
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