[EX] La disuguaglianza di C-S quantitativa

[gugo82]

Prima dell'esercizio, permettetemi di chiarire un po' il titolo del post.

- Avvertenza -
Quanto segue in questo "spoiler" è farina del mio sacco: vi sono racchiuse alcune spiegazioni che, nel corso di questi anni, mi sono dato circa la terminologia e circa il senso (più o meno) "profondo" delle disuguaglianze geometrico-funzionali che ho incrociato.
Dato che questi pensieri non li ho trovati esposti sistematicamente in alcun testo, il discorso può risultare grezzo o, peggio ancora, fallace in qualche punto: di ciò mi scuso con chi si appresta a leggerlo.

Inoltre, invito chi ne sappia qualcosa in più di me, e ritenga opportuno introdurre sostanziali modifiche nella parte introduttiva, a contattarmi in privato.

***

Supponiamo che \(\Omega\) sia uno spazio in cui, in qualche modo, sia possibile valutare ragionevolmente* la "vicinanza" di un elemento ad un sottoinsieme di \(\Omega\).
Inoltre, supponiamo di essere riusciti a dimostrare che, per \(x,y\in \Omega\), valga la disuguaglianza:
\[
\tag{D} f(x,y)\leq g(x,y)
\]
(ove \(f,g:\Omega^2 \to [0,\infty[\) sono assegnate) e che in (D) valga l'uguaglianza se e solo se \(y\) è in un certo insieme non vuoto \(X^\star\subseteq \Omega\)**.
Dato che in \(\Omega\) è possibile stabilire quanto un elemento ed un sottoinsieme sono "vicini", è lecito porsi la seguente domanda:

Se il "gap" tra i due membri di (D) è relativamente piccolo, è vero che \(y\) è sufficientemente vicino a \(X^\star\)?

Se la risposta alla precedente domanda è affermativa, si dice che (D) è una disuguaglianza stabile; altrimenti, si dice che non lo è.
[Questa definizione di stabilità è affine a quella che si dà in Fisica Matematica per la stabilità di uno stato di equilibrio.]

Come si fa a provare che una disuguaglianza è stabile?
Di solito si cerca di fornire una nuova disuguaglianza, diciamola (D'), in cui compaiano esplicitamente 1) la misura della "vicinanza" di \(y\) ed \(X^\star\) in \(\Omega\) e 2) una conveniente misura del "gap" tra i due membri di (D); la nuova disuguaglianza avrà una forma del tipo:
\[
\tag{D'} \omega (y,X^\star) \leq C\ \Delta (x,y)
\]
in cui \(\omega :\Omega^2 \to [0,\infty[\) è la funzione di cui al punto 1, \(\Delta (x,y)\) è la misura di cui al punto 2 e \(C\geq 0\) è un'opportuna costante.
Tale disuguaglianza (D') è chiamata forma quantitativa (o anche versione di stabilità) di (D), in quanto consente di quantificare in termini del "gap" tra i membri di (D) la vicinanza tra il punto \(y\) e l'insieme \(X^\star\) degli elementi che forniscono l'uguaglianza in (D).

In parecchi casi interessanti, una scelta conveniente per \(\Delta\) è del tipo \(\phi \circ \delta\), in cui \(\phi :[0,\infty[\to [0,\infty[\) è una funzione sufficientemente buona che si annulla solo in \(0\) e \(\delta\) è il cosiddetto deficit relativo tra i due membri di (D), cioè la quantità:
\[
\delta (x,y) := \frac{g(x,y)-f(x,y)}{g(x,y)} = 1-\frac{f(x,y)}{g(x,y)}\; ,
\]
il quale misura il "gap" tra i due membri di (D) relativamente alla grandezza del secondo membro.

Questa scelta, che può apparire strana, ha invece un ben preciso "senso fisico".
Infatti, nella maggior parte dei casi in cui si usa il deficit relativo, lo spazio \(\Omega\) è uno spazio con buone proprietà geometriche (e.g., uno spazio di Banach oppure uno spazio di "figure geometriche") nel quale la vicinanza tra oggetti è fornita da una funzione \(\omega\) omogenea di grado \(0\) (i fisici la chiamerebbero variabile adimensionale) e le funzioni \(f,g\) in (D) sono funzioni con lo stesso grado di omogeneità \(\geq 1\) (i fisici le direbbero variabili dimensionali, le quali sono costrette da (D) ad avere le stesse dimensioni).
In tali casi, allora, la \(\delta\) è una variabile adimensionale e quindi \(\phi \circ \delta\) può essere confrontata tranquillamente con \(\omega\), mentre il puro e semplice deficit \(d (x,y)=g(x,y)-f(x,y)\) ha le stesse dimensioni di \(f\) e \(g\) e perciò, in generale, può non essere confrontabile con \(\omega\) (per via di "malefici" fattori di scala).


__________
*[size=85] "Ragionevolmente" vuol dire che la funzione che descrive la "vicinanza" deve essere nonnegativa e che, per ogni fissata parte non vuota di \(\Omega\), essa deve annullarsi almeno sugli elementi che appartengono a tale parte.[/size]

** [size=85] Intendo che per ogni \(x\in \Omega\) esiste un insieme \(X^\star\subset \Omega\) tale che \(f(x,x^\star)=g(x,x^\star)\) per ogni \(x^\star\in X^\star\). La famiglia \(X^\star\) la possiamo anche chiamare insieme di estremali determinato da \(x\)[/size].

Ora, veniamo a noi.

Credo sia ben noto a tutti che in un qualsiasi spazio prehilbertiano reale \((\mathfrak{H},\langle \cdot, \cdot\rangle)\) vale la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:
\[
\tag{C-S} \langle x,y\rangle \leq |x|\ |y|\; ,
\]
(forse più nota col valore assoluto al primo membro, i.e. \(|\langle x,y\rangle |\leq |x|\ |y|\), ma le due forme sono equivalenti) e che, per fissato \(x\in \mathfrak{H}\setminus \{o\}\), vale l'uguaglianza in (C-S) se e solo se \(y=\alpha\ x\) con \(\alpha \geq 0\), i.e. solo se \(y\) sta nella semiretta \(\operatorname{ray} (x) :=\{\alpha\ x\}_{\alpha \geq 0}\).
Quindi nel caso della (C-S) abbiamo una candidata ideale per essere messa in forma quantitativa.

***

Esercizio:

1. Posto:
\[
\theta (x,y) := \left| \frac{x}{|x|} - \frac{y}{|y|}\right|
\]
per \(x,y\in \mathfrak{H}\setminus \{o\}\), dimostrare che la funzione \(\omega : (\mathfrak{H}\setminus \{o\})\times (P(\mathfrak{H})\setminus \{\varnothing\})\to [0,\infty[\) definita ponendo:
\[
\omega (x,T) := \inf_{t \in T\setminus \{o\}} \theta (x,t)
\]
gode delle proprietà seguenti:

[list=a]
[*:n0crhqvm] se \(x\in T\) allora \(\omega (x,T)=0\);[/*:m:n0crhqvm]
[*:n0crhqvm] \(\omega\) è positivamente omogenea di grado zero, i.e. per ogni scalare positivo \(\lambda >0\) si ha:
\[
\omega (\lambda\ x,\lambda\ T) = \omega (x,T)\; ;
\][/*:m:n0crhqvm]
[*:n0crhqvm] per ogni \(t_1\neq o\) si ha:
\[
\omega (x,\operatorname{ray}(t_1)) = \theta (x,t_1)\; .
\][/*:m:n0crhqvm][/list:o:n0crhqvm]

2. Dimostrare che vale la seguente disuguaglianza di Cauchy-Schwarz quantitativa:
\[
\tag{C-S'} \omega (y,\operatorname{ray}(x)) \leq C\ \sqrt{\delta (x,y)}
\]
ove:
\[
\delta (x,y) := \frac{|x|\ |y| -\langle x,y\rangle}{|x|\ |y|}
\]
è il deficit relativo in (C-S) e \(C>0\) è un'opportuna costante.

[robbstark1]

Ci provo:

a. banale: se $x in T$ allora si ha $theta(x,x)=0$, e $theta >= 0$.
b. facile: $theta(lambda x, lambda y)=|(lambda x)/(lambda |x|) - (lambda y)/(lambda |y|)|= theta (x,y)$. L'estrazione della costante fuori dal modulo è possibile perché è positiva.
c. quasi come sopra: $theta(x, lambda t_1)= theta(x, t_1)$

Dimostrazione della disuguaglianza:
\[
\begin{split}
\omega^2(y,\operatorname{ray}(x)) &= \theta^2 (x,y)\\
&=\left| \frac{x}{|x|} - \frac{y}{|y|} \right|^2 \\
&= \left\langle \frac{x}{|x|} - \frac{y}{|y|} , \frac{x}{|x|} - \frac{y}{|y|} \right\rangle\\
&= \frac{\langle x,x\rangle}{|x|^2} + \frac{\langle y,y\rangle}{|y|^2} - 2 \frac{\langle x,y\rangle}{|x||y|}\\
& = 2 \left( 1- \frac{\langle x,y\rangle}{|x||y|} \right)
\end{split}
\]

[gugo82]

Corretto!
Ebbravo robbstark!
[Unica nota: tra \(\omega^2 (y,\operatorname{ray}(x))\) e \(\theta^2 (x,y)\) ci va il segno d'uguaglianza.]

Un'altra dimostrazione è la seguente.

Sostituendo \(|z+y|^2=|z|^2+2\langle z,y\rangle +|y|^2\) nella legge del parallelogramma:
\[
|z+y|^2+|z-y|^2=2|z|^2+2|y|^2
\]
si trova:
\[
2\langle z,y\rangle +|z-y|^2=|z|^2+|y|^2
\]
(detta anche uguaglianza di polarizzazione); ponendo \(z= \frac{|y|}{|x|}\ x\) nella precedente si ottiene:
\[
2\frac{|y|}{|x|}\ \langle x,y\rangle +\left| \frac{|y|}{|x|}\ x-y\right|^2 = \frac{|y|^2}{\cancel{|x|^2}}\ \cancel{|x|^2} + |y|^2
\]
ossia:
\[
2\frac{1}{|x|\ |y|}\ \langle x,y\rangle + \left| \frac{x}{|x|} - \frac{y}{|y|}\right|^2=2
\]
da cui, dopo un altro po' di algebra, si ottiene finalmente:
\[
\left| \frac{x}{|x|} - \frac{y}{|y|}\right|^2 = 2\left( 1- \frac{\langle x,y\rangle}{|x|\ |y|}\right)
\]
che è quanto si voleva (anzi, molto di più, perché c'è sempre uguaglianza tra \(\omega (y,\operatorname{ray}(x))\) e \(\sqrt{2}\ \sqrt{\delta (x,y)}\)!).

Da notare il fatto che nessuna delle due dimostrazioni usa (C-S): pertanto esse possono essere viste come dimostrazioni alternative della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

[robbstark1]

"gugo82":
[Unica nota: tra \(\omega^2 (y,\operatorname{ray}(x))\) e \(\theta^2 (x,y)\) ci va il segno d'uguaglianza.]

Hai ragione.

[Raptorista1]

Voglio giocare anche io

Per ora ho fatto solo 1.a [quello facile!] ed allego la facile soluzione

Se \(x \in T\), allora ovviamente \(\theta(x,x) = 0\); siccome poi \(\theta\), per come è definita, è non negativa, tale valore deve essere anche un estremo inferiore di \(\theta\)

Ora che ho avuto i miei due secondo di gloria, mi tocca fare una domanda stupida prima di continuare: che cosa significa \(\lambda T\) (punto 1.b, con \(\lambda \in \mathbb{R}\) e \(T \in P(\mathfrak H)\))? XD
Non riesco a vedere questa moltiplicazione tra uno scalare ed un insieme di vettori. Che cosa devo fare? Un'omotetia di centro l'origine e parametro \(\lambda\)?

[gugo82]

Beh, ci hai visto giusto.
Infatti per \(\lambda >0\) e \(T\neq \varnothing\) si definisce:
\[
\lambda\ T:=\{ \lambda\, x,\ x\in T\}\; .
\]