[EX] Sugli autovalori del laplaciano.

[gugo82]

Esercizio simpatico riguardo gli autovalori del laplaciano.
Credo che il risultato abbia anche una sensata "interpretazione fisica", quindi potrebbe essere interessante anche per gli studenti che si dedicano alle applicazioni.

***

Prima di introdurre l'esercizio, lasciatemi introdurre un po' di terminologia e richiamare alcuni fatti di teoria.

I. Alcune nozioni di Teoria della Misura.

Chiamiamo \(\mathcal{L}\) la classe dei misurabili secondo Lebesgue in \(\mathbb{R}^2\) (identificati a meno di insiemi di misura nulla) ed \(\mathcal{L}_B\) la sottoclasse di \(\mathcal{L}\) costituita da(lle classi d'equivalenza de)gli insiemi limitati.

La struttura di spazio di Banach di \(L^1(\mathbb{R}^2)\) può essere usata per indurre una distanza in \(\mathcal{L}_B\): infatti, posto:
\[
d_1(E_1,E_2) := \lVert \chi_{E_1} -\chi_{E_2}\rVert_1 = \int_{\mathbb{R}^2} |\chi_{E_1}-\chi_{E_2}|\ \text{d} x\text{d} y\; ,
\]
si può facilmente verificare che \(d_1 (\cdot ,\cdot)\) è un metrica su \(\mathcal{L}_B\) e che \((\mathcal{L}_B, d_1)\) è uno spazio metrico completo. Nel seguito chiameremo \(d_1\) metrica \(L^1\) su \(\mathcal{L}_B\).

D'altra parte, è un po' più difficile, ma comunque possibile, dimostrare che la funzione:
\[
d_H(E_1, E_2) := \max \left\{ \sup_{\xi \in E_1} \inf_{\eta \in E_2} |\xi -\eta|,\ \sup_{\eta \in E_2} \inf_{\xi \in E_1} |\xi -\eta|\right\}
\]
è una pseudo-metrica sulla sottoclasse dei limitati non vuoti di \(\mathbb{R}^2\), la quale è chiamata distanza di Hausdorff.

II. Alcune proprietà note degli autovalori del laplaciano di Dirichlet.

Si consideri il problema degli autovalori per il laplaciano con condizioni di Dirichlet omogenee in un aperto non vuoto \(U \subseteq \mathbb{R}^N\), i.e.:
\[
\tag{PA} \begin{cases}
-\Delta u = \lambda\ u &\text{, in } U\\
u=0 &\text{, su } \partial U\; ;
\end{cases}
\]
i valori del parametro \(\lambda\) tali che (PA) ha soluzioni non identicamente nulle vengono detti autovalori del laplaciano di Dirichlet; ogni funzione \(\bar{u}\in W^{1,2} (U)\) che è una soluzione debole di (PA) corrispondente ad un autovalore \(\bar{\lambda}\) viene detta autofunzione del laplaciano di Dirichlet.

Sono noti i seguenti fatti:

A. Gli autovalori del laplaciano di Dirichlet sono tutti positivi, possono essere ordinati in una successione \((\lambda_n)\) crescente e non limitata superiormente.

B. Ogni autovalore ha molteplicità finita, i.e. l'autospazio:
\[
E_{\lambda_n}:=\{ u\in W^{1,2}(U):\ u \text{ risolve (PA) con } \lambda =\lambda_n\}
\]
associato al generico autovalore \(\lambda_n\) ha dimensione finita.

C. Autofunzioni corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali in \(L^2(U)\), i.e. se \(u\in E_{\lambda_n},\ v\in E_{\lambda_m}\) con \(\lambda_n\neq \lambda_m\) allora \(\int_U u\ v\ \text{d} x =0\).

D. Lo spazio \(W^{1,2}(U)\) è somma diretta degli autospazi associati agli autovalori del laplaciano, i.e. è possibile determinare una base hilbertiana di \(W^{1,2}(U)\) costituita da autofunzioni.

E. Ogni autofunzione del laplaciano di Dirichlet è analitica in \(U\) e continua fin sul bordo, i.e. se \(u\in W^{1,2}(U)\) è un'autofunzione allora \(u\in C^\omega (U)\cap C(\overline{U})\).

F. Il più piccolo autovalore \(\lambda_1 = \min \{\lambda_n,\ n\in \mathbb{N}\}\) del laplaciano gode delle seguenti proprietà:

[*:1d03qzsx] \(\lambda_1\) è un autovalore variazionale, cioè si ottiene come minimo di un opportuno funzionale, i.e.:
\[
\lambda_1 = \min_{u\neq 0} \frac{\int_U |\nabla u|^2\ \text{d} x}{\int_U |u|^2\ \text{d} x}
\]
(il funzionale al secondo membro è usualmente detto quoziente di Rayleigh);

[/*:m:1d03qzsx]
[*:1d03qzsx] \(\lambda_1\) è un autovalore semplice, cioè l'autospazio associato a \(\lambda_1\) ha dimensione \(1\) e perciò le autofunzioni associate a \(\lambda_1\) sono tutte proporzionali;

[/*:m:1d03qzsx]
[*:1d03qzsx] \(\lambda_1\) è un autovalore principale, ossia le autofunzioni associate a \(\lambda_1\) non cambiano segno in \(U\) (per essere precisi o sono \(>0\) oppure sono \(<0\) in \(U\): ciò segue dalla disuguaglianza di Harnack e dal principio d'identità delle funzioni analitiche);

[/*:m:1d03qzsx]
[*:1d03qzsx] \(\lambda_1\) è l'unico autovalore semplice e principale del laplaciano di Dirichlet.[/*:m:1d03qzsx][/list:u:1d03qzsx]

***

Esercizio:

Nel seguito \(\Omega\) denoterà il cerchio unitario aperto di \(\mathbb{R}^2\), i.e.:
\[
\Omega :=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x^2+y^2<1\}\; ;
\]
inoltre, per fissato \(\varepsilon >0\), il simbolo \(A_\varepsilon\) denoterà l'angolo chiuso appartenente al semipiano \(x\geq 0\) con vertice in \(o=(0,0)\) e racchiuso tra le rette d'equazione \(y=\pm \varepsilon\ x\), i.e.:
\[
A_\varepsilon := \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x\geq 0 \text{ e } |y|\leq \varepsilon x\}\; .
\]

1. Dimostrare che la famiglia di insiemi:
\[
\Omega_\varepsilon := \Omega \setminus A_\varepsilon
\]
converge ad \(\Omega\) nella metrica \(L^1\) ed in quella di Hausdorff quando \(\varepsilon \to 0^+\).

2. Risolvere il problema agli autovalori:
\[
\tag{1} \begin{cases} -\Delta u = \lambda\ u &\text{, in } \Omega_\varepsilon\\
u=0 &\text{, su } \partial \Omega_\varepsilon
\end{cases}
\]
determinando il più piccolo autovalore \(\lambda_1 (\varepsilon )\) in (1).

3. Dimostrare che:
\[
\lim_{\varepsilon \to 0^+} \lambda_1 (\varepsilon) > \lambda_1\; ,
\]
ove \(\lambda_1\) è il più piccolo autovalore del problema:
\[
\tag{2} \begin{cases} -\Delta u = \lambda\ u &\text{, in } \Omega\\
u=0 &\text{, su } \partial \Omega \; .
\end{cases}
\]

[gugo82]

Up.

Spero che qualcuno trovi il tempo per lavorarci un po' durante le vacanze.
Intanto fornisco alcuni suggerimenti.

Suggerimenti: 1. La convergenza in \(L^1\) è banale; per quella rispetto alla distanza di Hausdorff si devono fare un po' di conti, che diventano semplici se ci si aiuta con un disegnino.
2. Passare in coordinate polari, usare le funzioni di Bessel e ricordare le F richiamate sopra.
3. Per determinare \(\lambda_1\) si passi di nuovo in coordinate polari e si ricordino le F.

[Thomas16]

Da buon fisico salto il punto (1) e passo subito al (2). Questo non è solo dovuto al fatto che sono sciatto ma a questi altri due motivi:

1) ora non ho tempo per fare bene il problema, infatti sono qui nei ritagli di tempo la sera, ma mi interessa.

2) spero che qualcuno porto avanti l'impostazione che provo a dare, se corretta.

Punto 2.

Innanzitutto l'operatore in coordinate sferiche diventa:

$\frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\partial^2 f}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}=-\lambda f$

dove $f=f(r,\theta)$. In realtà questo passaggio a coordinate polari non funziona bene in $r=0$ (come si mette a posto?).

A questo punto io procederei per separazione di variabili, cercando autofunzioni del tipo $f(r,\theta)=A(r)B(\theta)$, ottenendo:

$\frac{rA'(r)}{A(r)}+\frac{r^2A''(r)}{A(r)}+\lambda r^2= -\frac{B''(\theta)}{B(\theta)}$

e perchè questa equazione sia vera, deve essere che:

$A''(r)r^2+rA'(r)+A(\lambda r^2-k^2)=0$

$B''(\theta)=-k^2 B(\theta)$

Ora se impongo queste relazioni:
- $B(arctg(\epsilon))=B(arctg(-\epsilon))=0$
- $A(r_0)=0$,
- regolarità in zero
allora le mie condizioni al bordo sono rispettate (NB queste al momento sono condizioni sufficienti, non necessarie) ed arrivo a:

$cos(2 k arctg(\epsilon))=0$
$J_k(\sqrt{\lambda}r_0)=0$

dalla prima relazione ottengo dei valori di $k_i$ che mi dicono quali funzioni di bessel scegliere. Poi per ogni funzione di Bessel vedendo la posizione degli zeri ottengo gli autovalori $\lambda_i$.

Quindi finora si è trovato un certo set di funzioni che rispetta l'equazione agli autovalori. Ma abbiamo trovato tutte le autofunzioni? Credo che il prossimo passo per cercare di capire se quanto fatto è utile per diagonalizzare l'operatore sia cercare di verificare che quello trovato è un insieme completo.

Fin qui come va?

[gugo82]

@Thomas: Osserva che non era nelle mie intenzioni chiedere di determinare tutti gli autovalori/le autofunzioni, poiché per fare ciò occorre troppo lavoro.
Invero, dopo aver separato le variabili e fatto i dovuti conti, si dovrebbe dimostrare che le funzioni così determinate costituiscono un sitema ortonormale completo in \(W^{1,2}(\Omega_\varepsilon)\) per poter affermare che esse sono "tutte" le autofunzioni di \(-\Delta\). E ciò, di norma, è una gran rottura di scatole!

Avevo intenzione di far determinare solo le prime autofunzioni ed il relativo autovalore, \(\lambda_1(\varepsilon)\). Ciò è un po' più semplice: basta tener presente che esse hanno segno costante dentro \(\Omega_\varepsilon\) ed usare qualche nota proprietà (degli zeri) delle funzioni di Bessel.

P.S.: Scusa il ritardo, ma ho dovuto fare i conti praticamente da capo in un periodo non semplice.

"gugo82":2. Risolvere il problema agli autovalori:
\[
\tag{1} \begin{cases} -\Delta u = \lambda\ u &\text{, in } \Omega_\varepsilon\\
u=0 &\text{, su } \partial \Omega_\varepsilon
\end{cases}
\]
determinando il più piccolo autovalore \(\lambda_1 (\varepsilon )\) in (1).

Divido i contazzi in passi.

Passo 1. Separazione delle variabili.

Separando le variabili polari, i.e. cercando soluzioni del tipo \(u(r,\vartheta) = R(r)\ \Theta (\vartheta)\)*, si perviene all'equazione:
\[
\tag{1} R^{\prime \prime} (r)\ \Theta (\vartheta) + \frac{1}{r}\ R^\prime (r)\ \Theta (\vartheta) + \frac{1}{r^2}\ R(r)\ \ddot{\Theta} (\vartheta) =- \lambda\ R(r)\ \Theta (\vartheta)
\]
valida nel rettangolo \(]0,1[\times ]\vartheta_\varepsilon , 2\pi -\vartheta_\varepsilon[\) (ove \(\vartheta_\varepsilon := \arctan \varepsilon\)). Qui e nel seguito gli apici denotano derivazione rispetto alla variabile radiale, mentre i punti denotano derivazione rispetto alla coordinata angolare.
Dato che la prima autofunzione non cambia segno in \(\Omega_\varepsilon\), si ha \(R(r)\neq 0\) in \(]0,1[\) e \(\Theta (\vartheta)\neq 0\) in \(]\theta_\varepsilon ,2\pi -\vartheta_\varepsilon[\) e si può dividere m.a.m. la (1) per \(R(r)\ \Theta (\vartheta)\) e moltiplicala m.a.m. per \(r^2\), ottenendo:
\[
\frac{r^2}{R(r)}\ R^{\prime \prime} (r) + \frac{r}{R(r)}\ R^\prime (r) + \frac{1}{\Theta (\vartheta)}\ \ddot{\Theta} (\vartheta) =- \lambda\ r^2
\]
ossia:
\[
\tag{2} \frac{r^2}{R(r)}\ R^{\prime \prime} (r) + \frac{r}{R(r)}\ R^\prime (r) +\lambda\ r^2 = - \frac{1}{\Theta (\vartheta)}\ \ddot{\Theta} (\vartheta)\; .
\]
La (2) separa le variabili e tanto basta per affermare che esiste una costante \(\nu \in \mathbb{R}\) (detta costante di separazione) tale che:
\[
\frac{r^2}{R(r)}\ R^{\prime \prime} (r) + \frac{r}{R(r)}\ R^\prime (r) +\lambda\ r^2 = \nu \qquad \text{e} \qquad - \frac{1}{\Theta (\vartheta)}\ \ddot{\Theta} (\vartheta) =\nu\; ,
\]
cioè:
\[
\tag{3}
r^2\ R^{\prime \prime} (r) + r\ R^\prime (r) +(\lambda\ r^2 - \nu)\ R(r)=0 \qquad \text{e} \qquad \ddot{\Theta} (\vartheta) +\nu\ \Theta (\vartheta) =0
\]
Ovviamente, alle (3) vanno accoppiate opportune condizioni al bordo, le quali si devono ricavare dalla condizione al bordo imposta all'incognita \(u\) ed, eventualmente, dalle sue proprietà.

Dato che \(u=0\) sulla porzione di circonferenza di raggio \(1\) contenuta in \(\partial \Omega_\varepsilon\), una condizione al bordo è sicuramente \(R(1)=0\); d'altra parte, anche \(u(0,0)=0\) (perché \((0,0)\in \partial \Omega_\varepsilon\)), quindi un'altra condizione al bordo è \(R(0)=0\).
Inoltre, \(u\) ha da essere identicamente nulla anche sui due segmenti contenuti in \(\partial \Omega_\varepsilon\), quindi un'altra condizione da imporre, quasta volta sulla parte angolare, è certamente \(\Theta (\vartheta_\varepsilon) =0 =\Theta (2\pi -\vartheta_\varepsilon)\).
Quindi, accoppiando alle (3) le condizioni al bordo ora determinate, traiamo i due sistemi:
\[
\tag{Rad} \begin{cases} r^2\ R^{\prime \prime} (r) + r\ R^\prime (r) +(\lambda\ r^2 - \nu)\ R(r)=0 &\text{, in } ]0,1[ \\ R(0)=0\\
R(1)=0\end{cases}
\]
e:
\[
\tag{Ang} \begin{cases} \ddot{\Theta} (\vartheta) +\nu\ \Theta (\vartheta) =0 &\text{, in } ]\vartheta_\varepsilon , 2\pi - \vartheta_\varepsilon[ \\
\Theta (\vartheta_\varepsilon)=0\\
\Theta (2\pi -\vartheta_\varepsilon)=0.\end{cases}
\]

__________
* Ciò è suggerito dalla particolare conformazione del dominio \(\Omega_\varepsilon\).

Passo 2. Risoluzione dell'equazione per la parte angolare.

L'equazione della parte angolare (Ang) è del tipo del moto armonico: pertanto il sistema (Ang) ha soluzioni non banali (i.e., non identicamente nulle) solo se \(\nu >0\). Posto, per comodità, \(\nu :=\omega^2\) con \(\omega>0\), le soluzioni di (Ang) sono del tipo:
\[
\Theta (\vartheta) = A\ \cos (\omega\ \vartheta) + B\ \sin (\omega\ \vartheta) \; ;
\]
imponendo le condizioni al bordo si trova che la costante positiva \(\omega\), radice quadrata costante di separazione, deve essere scelta in modo che il sistema lineare in \(A,\ B\):
\[
\tag{AB} \begin{cases}
A\ \cos (\omega\ \vartheta_\varepsilon) + B\ \sin (\omega\ \vartheta_\varepsilon) =0\\
A\ \cos (\omega\ (2\pi -\vartheta_\varepsilon)) + B\ \sin (\omega\ (2\pi -\vartheta_\varepsilon)) =0
\end{cases}
\]
abbia soluzioni non banali; ciò accade solo se il determinante del sistema è nullo, i.e. solo se \(\omega\) risolve:
\[
\cos (\omega\ \vartheta_\varepsilon)\ \sin (\omega\ (2\pi -\vartheta_\varepsilon)) - \sin (\omega\ \vartheta_\varepsilon)\ \cos (\omega\ (2\pi -\vartheta_\varepsilon)) =0\; .
\]
Usando le formule di Werner, la precedente diviene:
\[
\frac{1}{2}\ \left[\sin (\omega\ 2\pi) + \sin (2\omega (\pi -\vartheta_\varepsilon)) - \sin (\omega\ 2\pi) - \sin (2\omega (\vartheta_\varepsilon -\pi))\right] =0
\]
ossia, ricordando la disparità del seno:
\[
\sin (2\omega\ (\pi -\vartheta_\varepsilon)) =0\; ;
\]
ma allora:
\[
2\omega\ (\pi -\vartheta_\varepsilon) = k\ \pi \quad \text{, con } k=1,2,3,\ldots
\]
e dunque:
\[
\omega = \omega_k := k\ \frac{\pi}{2(\pi -\arctan \varepsilon)} \quad \text{, con } k=1,2,3,\ldots .
\]
Conseguentemente, la parte angolare della prima autofunzione è una funzione del tipo:
\[
\tag{4} \Theta_k (\vartheta) = A_k\ \cos \left( k\ \frac{\pi}{2(\pi -\arctan \varepsilon)}\ \vartheta \right) + B_k\ \sin \left( k\ \frac{\pi}{2(\pi -\arctan \varepsilon)}\ \vartheta \right)\; ,
\]
con le costanti \(A_k, B_k\) arbitrarie ma non indipendenti, in quanto legate da una delle equazioni di (AB)

Passo 3. Risoluzione dell'equazione per la parte radiale.

Sostituendo \(\nu = \omega^2\) nella EDO in (Rad), si ottiene l'equazione:
\[
r^2\ R^{\prime \prime} (r) + r\ R^\prime (r) +(\lambda\ r^2 - \omega^2)\ R(r)=0
\]
che è riconducibile alla classica equazione di Bessel con la sostituzione \(\rho = \sqrt{\lambda}\ r\): infatti, dato che:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} r} = \frac{\text{d} \rho}{\text{d} r}\ \frac{\text{d}}{\text{d} \rho} = \sqrt{\lambda}\ \frac{\text{d}}{\text{d} \rho}
\]
e:
\[
\frac{\text{d}^2}{\text{d} r^2} = \frac{\text{d}}{\text{d} r} \left[ \frac{\text{d}}{\text{d} r}\right] = \sqrt{\lambda}\ \frac{\text{d}}{\text{d} \rho} \left[ \sqrt{\lambda}\ \frac{\text{d}}{\text{d} \rho} \right] = \lambda\ \frac{\text{d}^2}{\text{d} \rho^2}\; ,
\]
operando il suddetto cambiamento di variabile l'ultima EDO si muta in:
\[
\frac{\rho^2}{\cancel{\lambda}}\ \cancel{\lambda}\ \frac{\text{d}^2 R}{\text{d} \rho^2} + \frac{\rho}{\cancel{\sqrt{\lambda}}}\ \sqrt{\lambda}\ \frac{\text{d} R}{\text{d} \rho} + \left( \cancel{\lambda}\ \frac{\rho^2}{\cancel{\lambda}} - \omega^2\right) R = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \rho^2\ \frac{\text{d}^2 R}{\text{d} \rho^2} + \rho\ \frac{\text{d} R}{\text{d} \rho} + (\rho^2 -\omega^2)\ R = 0
\]
che è l'equazione di Bessel d'ordine \(\omega\).
Conseguentemente, l'equazione per la parte radiale di \(u\) ha soluzioni del tipo:
\[
R(r) := C\ \text{J}_{\omega} \left( \sqrt{\lambda}\ r \right) + D\ \text{Y}_\omega \left( \sqrt{\lambda}\ r\right)\; ,
\]
ove \(\text{J}_\omega\) ed \(\text{Y}_\omega\) sono, rispettivamente, funzioni di Bessel di prima e seconda specie d'ordine \(\omega\).

Ora, dobbiamo cercare di soddisfare le condizioni al bordo in (Rad). La condizione \(R(0)=0\) implica che il coefficiente della funzione di seconda specie \(\text{Y}_\omega\) deve essere nullo: infatti tale funzione ha una singolarità di tipo logaritmico nell'origine per ogni \(\omega >0\), quindi se fosse \(D\neq 0\) avremmo \(|R(r)|\to \infty\) per \(r\to 0^+\), quindi \(u\) non potrebbe essere ben definita in \(0\).
Conseguentemente la parte radiale dell'autofunzione è del tipo:
\[
\tag{5} R(r) = C\ \text{J}_{\omega} \left( \sqrt{\lambda}\ r \right)\; .
\]
La seconda condizione al bordo, cioè \(R(1)=0\), è soddisfatta solo se \(\sqrt{\lambda}\) è uno zero non banale di \(\text{J}_\omega\); essendo noto che una funzione di Bessel di primo tipo ha un'infinità numerabile di zeri non banali tutti semplici che si accumulano all'infinito, possiamo ordinare tali zeri in una successione strettamente crescente:
\[
j_{1,\omega} < j_{2,\omega} < j_{3,\omega} < \ldots < j_{n,\omega} <\ldots \; ;
\]
d'altra parte, era \(\omega=\omega_k\) cosicché da queste informazioni possiamo dedurre che il parametro \(\lambda\) è del tipo:
\[
\lambda =\lambda_{n,k} := j_{n,\omega_k}^2 \quad \text{, con } n,k=1,2,3\ldots \; .
\]

Passo 4. Determinazione del primo autovalore di \(-\Delta\) in \(\Omega_\varepsilon\) e delle relative autofunzioni.

Abbiamo visto che la prima autofunzione \(u\) di \(-\Delta\) in \(\Omega_\varepsilon\) ha un'espressione in coordinate polari del tipo:
\[
u(r,\vartheta) = C\ \text{J}_{\omega_k} (\sqrt{\lambda}\ r)\ \left[ A_k\ \cos \left( k\ \frac{\pi}{2(\pi -\arctan \varepsilon)}\ \vartheta \right) + B_k\ \sin \left( k\ \frac{\pi}{2(\pi -\arctan \varepsilon)}\ \vartheta \right) \right]\; ,
\]
(ove \(\sqrt{\lambda} = j_{n,\omega_k}\) è lo \(n\)-esimo zero non banale di \(\text{J}_{\omega_k}\), \(A_k,\ B_k\) adeguate costanti legate da un'equazione di (AB) e \(C\) costante moltiplicativa arbitraria) in cui gli indici \(n\) e \(k\) sono ancora da determinarsi.

Ora, la funzione \(u\) non può annullarsi in \(]0,1[\), ergo il valore di \(\sqrt{\lambda}\) non può coincidere con uno zero di \(\text{J}_{\omega_k}\) più grande del primo (infatti, se fosse \(\sqrt{\lambda} = j_{n,\omega_k}\) con \(n>1\), esisterebbe un punto \(r_0\in ]0,1[\) tale che \(\sqrt{\lambda}\ r_0=j_{1,\omega_k}\) onde \(u(r_0, \vartheta)=0\), assurdo!); pertanto il primo autovalore di \(-\Delta\) è necessariamente del tipo:
\[
\lambda_{1,k} = j_{1,\omega_k}^2\; .
\]
La successione degli ordini \(\omega_k := \frac{\pi}{2(\pi - \arctan \varepsilon)}\ k\) è fatta da numeri positivi \(>1/2\); si può verificare (ad esempio, usando il teorema di intercalamento degli zeri) che la funzione \(]0,\infty[ \ni \omega \mapsto j_{1,\omega} \in ]0,\infty[\) che ad ogni \(\omega\) associa il primo zero non banale della funzione \(\text{J}_\omega\) è strettamente crescente; pertanto il più piccolo dei valori \(\lambda_{1,k}\) è quello che corrisponde a \(k=1\), i.e. \(\lambda_{1,1}\).
Ne viene che il primo autovalore di \(-\Delta\) in \(\Omega_\varepsilon\) è:
\[
\lambda_1(\varepsilon) = j_{1, \pi/(2(\pi - \arctan \varepsilon))}^2
\]
e le relative autofunzioni sono:
\[
\begin{split}
u_1(r,\theta; \varepsilon ) &= c\ \text{J}_{\pi/(2(\pi -\arctan \varepsilon))} (j_{1, \pi/(2(\pi - \arctan \varepsilon))}\; r)\ \times \\
&\times \Bigg[ - \sin \left( \frac{\pi\ \arctan \varepsilon}{2(\pi -\arctan \varepsilon)} \right)\ \cos \left( \frac{\pi}{2(\pi -\arctan \varepsilon)}\ \vartheta \right) \\
&\phantom{\times \times} +\cos \left( \frac{\pi\ \arctan \varepsilon}{2(\pi -\arctan \varepsilon)} \right)\ \sin \left( \frac{\pi}{2(\pi -\arctan \varepsilon)}\ \vartheta \right) \Bigg] \; ,
\end{split}
\]
con \(c\in \mathbb{R}\) costante moltiplicativa arbitraria.

[gugo82]

Ecco i grafici delle prime autofunzioni del laplaciano in \(\Omega_\varepsilon\) per alcuni valori di \(\varepsilon\) (per comodità ho scelto sempre \(c=1\) come valore della costante moltiplicativa):

[*:ggv4p0xi] \(\varepsilon =0.25\): in tal caso si ha \(\lambda_1(0.25)\approx 3.2014\) ed il grafico dell'autofunzione è il seguente:



[/*:m:ggv4p0xi]
[*:ggv4p0xi] \(\varepsilon =0.125\): in questo caso risulta \(\lambda_1(0.125)\approx 3.17078\) ed il grafico dell'autofunzione è:



[/*:m:ggv4p0xi]
[*:ggv4p0xi] \(\varepsilon =0.0625\): è \(\lambda_1(0.0625)\approx 3.15596\) ed il grafico della relativa autofunzione è:



[/*:m:ggv4p0xi]
[*:ggv4p0xi] \(\varepsilon =0.0125\): in questo caso è \(\lambda_1(0.0125)\approx 3.14442\) ed il grafico della relativa autofunzione è:

[/*:m:ggv4p0xi][/list:u:ggv4p0xi]

Si vede che, mandando \(\varepsilon \to 0^+\), al limite si ottiene una funzione "a tortellino" che si annulla sul segmento \([0,1[\times \{0\}\subset \Omega\).
Proprio usando questo procedimento di limite si può risolvere il quesito 3.

D'altra parte, mandando \(\varepsilon \to \infty\), al limite la prima autofunzione \(u_1(\cdot ,\cdot; \varepsilon)\) tende a coincidere con la prima autofunzione di \(-\Delta\) nel semicerchio \(\Omega_\infty := \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x^2+y^2<1\ \text{e}\ x<0\}\), che è:
\[
u_1(r,\vartheta; \infty)=U_1(r,\vartheta) := c\ \text{J}_1 (j_{1,1}\ r)\ \cos \vartheta
\]
ed ha un grafico come il seguente (si è preso \(c=-1\) in quanto il coseno è negativo in \(]\pi/2 ,3\pi/2[\)):

[gugo82]

"gugo82":Esercizio:

Nel seguito \(\Omega\) denoterà il cerchio unitario aperto di \(\mathbb{R}^2\), i.e.:
\[
\Omega :=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x^2+y^2<1\}\; ;
\]
inoltre, per fissato \(\varepsilon >0\), il simbolo \(A_\varepsilon\) denoterà l'angolo chiuso appartenente al semipiano \(x\geq 0\) con vertice in \(o=(0,0)\) e racchiuso tra le rette d'equazione \(y=\pm \varepsilon\ x\), i.e.:
\[
A_\varepsilon := \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x\geq 0 \text{ e } |y|\leq \varepsilon x\}\; .
\]

1. Dimostrare che la famiglia di insiemi:
\[
\Omega_\varepsilon := \Omega \setminus A_\varepsilon
\]
converge ad \(\Omega\) nella metrica \(L^1\) ed in quella di Hausdorff quando \(\varepsilon \to 0^+\).

Convergenza \(L^1\).

Chiaramente si ha:
\[
\begin{split}
d_1(\Omega_\varepsilon , \Omega) &= \int_{\mathbb{R}^2} |\chi_{\Omega_\varepsilon} (x) - \chi_\Omega (x)|\ \text{d} x \\
&= \int_{\mathbb{R}^2} \chi_{\Omega \setminus \Omega_\varepsilon}(x)\ \text{d} x\\
&= |A_\varepsilon \cap \Omega|_2
\end{split}
\]
ove \(|\cdot |_2\) denota la misura di Lebesgue nel piano.
Ora, l'insieme \(A_\varepsilon \cap \Omega\) è un settore circolare di raggio \(1\) ed ampiezza \(2\arctan \varepsilon\), conseguentemente, per noti fatti di Geometria Elementare*, si ha:
\[
d_1(\Omega_\varepsilon , \Omega) = \frac{1}{2}\ 1^2\cdot (2\arctan \varepsilon) = \arctan \varepsilon\; .
\]
Ne viene che \(\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^+} d_1 (\Omega_\varepsilon ,\Omega) = 0 \), quindi \(\Omega_\varepsilon \stackrel{L^1}{\longrightarrow} \Omega\) quando \(\varepsilon \to 0^+\).

__________
* L'area di un settore circolare di raggio \(r>0\) d'ampiezza \(\theta \in [0,2\pi]\) si calcola con la nota formula (che deriva da quella dell'area del triangolo) \(\frac{1}{2}\ r^2\ \theta\).

Convergenza nel senso di Hausdorff.

Per dimostrare che \(\Omega_\varepsilon \stackrel{H}{\longrightarrow} \Omega\) per \(\varepsilon \to 0^+\) dobbiamo cercare di calcolare esplicitamente (o, quanto meno, stimare) la distanza di Hausdorff:
\[
\begin{split}
d_H (\Omega_\varepsilon ,\Omega) &:= \max \Bigg\{ \sup_{x \in \Omega_\varepsilon} \inf_{y \in \Omega} |x -y|,\ \sup_{y \in \Omega} \inf_{x \in \Omega_\varepsilon} |x -y| \Bigg\}\\
&= \max \Bigg\{ \underbrace{\sup_{x \in \Omega_\varepsilon} \operatorname{dist}(x,\Omega)}_{=:\mathcal{A}},\ \underbrace{\sup_{y \in \Omega} \operatorname{dist}(y,\Omega_\varepsilon)}_{=:\mathcal{B}}\Bigg\}
\end{split}
\]
e per fare ciò dobbiamo andare a guardare cosa combinano le due quantità \(\mathcal{A}\) e \(\mathcal{B}\).

Cominciamo da \(\mathcal{A}\). Fissato \(x\in \Omega_\varepsilon\), giacché \(\Omega_\varepsilon \subseteq \Omega\) abbiamo:
\[
\operatorname{dist}(x,\Omega) = |x-x|=0
\]
quindi \(\mathcal{A}=\sup_{x\in \Omega_\varepsilon} 0 =0\).

Passiamo a \(\mathcal{B}\). Fissato \(y\in \Omega\) dobbiamo andare a determinare la quantità:
\[
\operatorname{dist} (y,\Omega_\varepsilon) := \inf_{x\in \Omega_\varepsilon} |x-y|\; .
\]
Se \(y\in \overline{\Omega_\varepsilon}\) allora evidentemente \(\operatorname{dist}(y,\Omega_\varepsilon ) =0\); quindi rimane da studiare unicamente il caso in cui \(y\notin \overline{\Omega_\varepsilon}\).
Fatto un disegno:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
text([0,0],"O",belowleft); text([0.8944, 0.4462],"A",aboveright); text([0.8944, -0.4462],"B",belowright); text([1,0], "C", aboveright); text([0.5,0.125],"y",belowright);
stroke="dodgerblue";
line([0,0], [0.8944, 0.4472]); line([0,0], [0.8944, -0.4472]); arc( [-1,0], [0.8944, -0.4472], 1); arc([0.8944, 0.4472], [-1,0], 1);
stroke="red"; dot([0.5, 0.125]);
stroke="lightgrey"; arc([0.8944, -0.4472], [0.8944, 0.4472], 1);[/asvg]
si vede che la distanza del punto \(y\) (in rosso) da \(\Omega_\varepsilon\) (insieme limitato racchiuso dalla curva in azzurro) è uguale al minimo delle distanze tra \(y\) e le semirette su cui giacciono i due segmenti \(OA\), \(OB\) appartenenti a \(\partial \Omega_\varepsilon\).

Semplicissime considerazioni geometriche mostrano che i punti \(y\) appartenenti al segmento \(OC\) (cioè all'insieme \(]0,1[\times \{0\}\subseteq \Omega \setminus \overline{\Omega_\varepsilon}\)) sono quelli che, a parità di prima coordinata, hanno la distanza maggiore da \(\Omega_\varepsilon\); pertanto possiamo restringerci a valutare unicamente \(\operatorname{dist}(y,\Omega_\varepsilon)\) per i punti \(\bar{y}=(y_1,0)\) con \(0
La nota formula di Geometria Analitica per la distanza punto-retta e la simmetria della configurazione importano che per \(\bar{y}=(y_1,0)\), con \(y_1\in ]0,1[\), risulta:
\[
\operatorname{dist} (\bar{y},\Omega_\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{\sqrt{1+\varepsilon^2}}\ y_1
\]
quindi, per le considerazioni menzionate più sopra:
\[
\begin{split}
\mathcal{B} &= \sup_{y\in \Omega} \operatorname{dist} (y,\Omega_\varepsilon)\\
&= \sup_{y\in \Omega \setminus \overline{\Omega_\varepsilon}} \operatorname{dist} (y,\Omega_\varepsilon)\\
&= \sup_{0 &= \frac{\varepsilon}{\sqrt{1+\varepsilon^2}}\; .
\end{split}
\]

Mettendo insieme le cose abbiamo:
\[
d_H(\Omega_\varepsilon ,\Omega) = \max \{ \mathcal{A},\ \mathcal{B}\} = \frac{\varepsilon}{\sqrt{1+\varepsilon^2}}
\]
per cui \(\Omega_\varepsilon \stackrel{H}{\longrightarrow} \Omega\) quando \(\varepsilon \to 0^+\).

[gugo82]

"gugo82":3. Dimostrare che:
\[
\lim_{\varepsilon \to 0^+} \lambda_1 (\varepsilon) > \lambda_1\; ,
\]
ove \(\lambda_1\) è il più piccolo autovalore del problema:
\[
\tag{2} \begin{cases} -\Delta u = \lambda\ u &\text{, in } \Omega\\
u=0 &\text{, su } \partial \Omega \; .
\end{cases}
\]

Determinazione del primo autovalore e delle relative autofunzioni di \(-\Delta\) in \(\Omega\).

Per un noto risultato di Gidas, Ni e Nirenberg (Thm. 1 qui, oppure Evans, PDEs, §9.5, Thm 2), le autofunzioni di \(-\Delta\) corrispondenti al primo autovalore sono funzioni radiali, i.e. hanno espressione in coordinate polari del tipo \(u(r,\vartheta) =R(r)\).
[N.B.: Uso questo risultato solo perché non ho voglia di fare tutti i conti. ]

Ragionando come nella soluzione del punto 2, separando le variabili polari otteniamo che una funzione \(u(r,\vartheta):= R(r)\) è un'autofunzione di \(-\Delta\) solo se la funzione \(R\) soddisfa il problema al bordo:
\[
\tag{Rad} \begin{cases} r^2\ R^{\prime \prime}(r) +r\ R^\prime (r) +\lambda\ r^2\ R(r)=0\\ R(1)=0 \\ R \text{ è continua in } 0 \end{cases}
\]
La EDO in (Rad) è riconducibile all'equazione di Bessel d'ordine \(0\):
\[
\rho^2\ \frac{\text{d}^2 R}{\text{d} \rho^2} + \rho\ \frac{\text{d} R}{\text{d} \rho} + \rho^2\ R =0
\]
facendo, come in 2, il cambiamento di variabile \(\rho = \sqrt{\lambda}\ r\); pertanto essa ha soluzioni del tipo:
\[
R(r) := C\ \text{J}_0(\sqrt{\lambda}\ r) + D\ \text{Y}_0(\sqrt{\lambda}\ r)\; .
\]
Essendo \(\text{Y}_0\) singolare in \(0\), la condizione di continuità in (Rad) implica che deve scegliersi \(D=0\), sicché \(R(r)=C\ \text{J}_0(\sqrt{\lambda}\ r)\).
La condizione \(R(1)=0\) implica che \(\sqrt{\lambda}\) ha da essere uno degli zeri di \(\text{J}_0\): come per le altre funzioni di Bessel, gli zeri di \(\text{J}_0\) sono tutti semplici, si accumulano all'infinito e possono essere ordinati in una successione strettamente crescente:
\[
j_{1,0} \]
se, per assurdo, \(\sqrt{\lambda} = j_{n,0}\) con \(n>1\), esisterebbe un punto \(r_0 = j_{1,0}/j_{n,0}\) interno a \([0,1]\) in cui \(u(r_0,\vartheta) =R(r_0) =0\), ma ciò non è possibile per la F dell'introduzione; pertanto il primo autovalore di \(-\Delta\) in \(\Omega\) è:
\[
\lambda_1 = j_{1,0}^2
\]
e le autofunzioni ad esso relative sono:
\[
u_1(r,\vartheta) := C\ \text{J}_0 (j_{1,0}\ r)\; .
\]

Confronto di \(\lambda_1\) e \(\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^+}\lambda_1(\varepsilon)\).

Ricordato che:
\[
\lambda_1(\varepsilon) = j_{1, \pi/(2(\pi - \arctan \varepsilon))}^2
\]
e che la funzione \(]0,\infty[ \ni \omega \mapsto j_{1,\omega} \in ]0,\infty[\) è strettamente crescente, si ha:
\[
\begin{split}
\lim_{\varepsilon \to 0^+} \lambda_1(\varepsilon) &= \inf_{\varepsilon >0} j_{1, \pi/(2(\pi - \arctan \varepsilon))}^2 \\
&= \left( \inf_{\varepsilon >0} j_{1, \pi/(2(\pi - \arctan \varepsilon))}\right)^2\\
&= \left( j_{1, \inf_{\varepsilon >0} \pi/(2(\pi - \arctan \varepsilon))} \right)^2
\end{split}
\]
e dunque:
\[
\lim_{\varepsilon \to 0^+} \lambda_1 (\varepsilon) = j_{1,1/2}^2 > j_{1,0}^2=\lambda_1
\]
come si voleva.

Noto esplicitamente che, usando lo sviluppo in serie che definisce le funzioni di Bessel, per \(\omega =1/2\) si trova:
\[
\text{J}_{1/2} (\rho) = \sqrt{\frac{2}{\pi\ \rho}}\ \sin \rho\; ,
\]
dunque \(j_{1,1/2} = \pi\); d'altro canto, numericamente, si trova \(j_{1,0}\approx 2.404825557695773\), quindi:
\[
\lim_{\varepsilon \to 0^+} \lambda_1(\varepsilon) = \pi^2 \approx 9.8696044 \qquad \text{e} \qquad \lambda_1 = 5.78318596
\]
Quindi il gap tra i due valori non è affatto "piccolo".

"gugo82":Credo che il risultato abbia anche una sensata "interpretazione fisica", quindi potrebbe essere interessante anche per gli studenti che si dedicano alle applicazioni.

Qui mi addentro in un argomento del quale so quelle poche cose leggiucchiate qui e là nel corso di un paio d'anni, quindi non sono espertissimo.
Gli amici fisici potranno certamente chiarire meglio alcuni aspetti di (e correggere, se necessario) ciò che sto per dire.

È noto che il primo autovalore del laplaciano in un dominio piano sufficientemente regolare si può interpretare, fisicamente, come la nota o tono fondamentale (cioè il tono che si sente meglio) emesso da una membrana avente la stessa forma del dominio, con bordo fissato.
Pertanto \(\lambda_1=j_{1,0}^2\) è il tono fondamentale emesso da una membrana circolare di raggio unitario (in giallo) col bordo fissato (in rosso).
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
noaxes();
strokewidth=2; stroke="red";
fill="lightyellow"; circle([0,0], 1);[/asvg]
Analogamente, il valore \(\displaystyle \lambda_1(0^+) := \lim_{\varepsilon \to 0^+} \lambda_1(\varepsilon) =\pi^2\) può essere interpretato come tono fondamentale di una membrana circolare di raggio unitario (in giallo), con bordo fissato (in rosso) e con un raggio fissato (sempre in rosso).
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
noaxes();
strokewidth=2; stroke="red";
fill="lightyellow"; circle([0,0], 1);
line([0,0],[1,0]);[/asvg]
Pertanto, il risultato \(\lambda_1(0^+) >\lambda_1\) fisicamente si traduce nel fatto che la nota fondamentale emessa dalla membrana circolare che ha solo il bordo fissato è più bassa di quella emessa dalla stessa membrana quando le si "blocchi" anche un raggio.

Invece, matematicamente parlando, la disuguaglianza \(\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^+} \lambda_1 (\varepsilon) >\lambda_1\) si può interpretare come segue.
Innanzitutto notiamo che la disuguaglianza può essere riscritta come:
\[
\tag{D} \lim_{\varepsilon \to 0^+} \lambda_1(\Omega_\varepsilon) >\lambda_1 (\Omega)
\]
per evidenziare la dipendenza del primo autovalore di \(-\Delta\) dal dominio di definizione del problema. Ora, si è visto in 1 che, mettendo su \(\mathcal{L}_B\) la metrica \(L^1\) o la metrica di Hausdorff, si ha \(\Omega_\varepsilon \to \Omega\) per \(\varepsilon \to 0^+\); accoppiando questo fatto e la (D) possiamo affermare che il funzionale:
\[
\mathcal{L}_B \ni U\mapsto \lambda_1 (U) \in ]0,\infty[
\]
gode della seguente proprietà:

esistono un \(\Omega\in \mathcal{L}_B\) ed un \(\sigma >0\) tali che, per ogni \(\varepsilon >0\), esiste almeno un \(\Omega_\varepsilon \in \mathcal{L}_B\) per cui:
\[
d_1(\Omega_\varepsilon, \Omega),\ d_H(\Omega_\varepsilon ,\Omega) <\varepsilon \qquad \text{e} \qquad \lambda_1(\Omega_\varepsilon) \geq \lambda_1(\Omega) + \sigma\; .
\]
(In particolare possiamo prendere \(\sigma := \frac{1}{2} (\lambda_1(0^+)- \lambda_1)\).)

Conseguentemente il funzionale \(\lambda_1(\cdot)\) definito su \(\mathcal{L}_B\) non può essere continuo in \(\Omega\) né rispetto alla metrica \(L^1\) né rispetto alla metrica di Hausdorff.

Però, la proprietà precedente ci mostra che \(\lambda_1(\cdot)\) è semicontinuo inferiormente* rispetto ad entrambe le metriche in \(\Omega\), cioè che in generale si ha:
\[
\liminf_{d_1(U,\Omega) \to 0^+} \lambda_1(U)\geq \lambda_1(\Omega) \qquad \text{e}\qquad \liminf_{d_H(U,\Omega) \to 0^+} \lambda_1(U)\geq \lambda_1(\Omega)
\]
e, anzi, si può dimostrare che \(\lambda_1(\cdot)\) è semicontinuo inferiormente in tutto \(\mathcal{L}_B\).

__________
* Ricordo che una funzione \(F:X\to \mathbb{R}\) definita sullo spazio metrico \((X,d)\) è detta semicontinua inferiormente se e solo se:
\[
\liminf_{d(x, x_0)\to 0} F(x)\geq F(x_0)\; .
\]