Una funzione particolare

[vittorino70]

Dopo la serie particolare ora una funzione ...particolare
Sia \(\displaystyle f\in C^2([0,1])\) tale che :
\(\displaystyle \int_0^1f(x)dx=2\int_{1/4}^{3/4} f(x) dx\)
Dimostrare che esiste un punto \(\displaystyle x_o \in (0,1) \) tale che \(\displaystyle f''(x_o)=0 \)
A scanso di equivoci dichiaro solennemente che non ho la soluzione e non sono interessato alla stessa per scopi diversi da quelli del semplice piacere intellettuale !

[Rigel1]

Consideriamo la funzione ausiliaria
\[g(x) := f(x) - \left[f(1/4) + 2(x-1/4)(f(3/4)-f(1/4))\right], \qquad x\in [0,1].\]
Chiaramente \(g\in C^2([0,1])\) e \(g''(x) =f''(x)\) per ogni \(x\in [0,1]\); si verifica inoltre che \(g(1/4) = g(3/4) = 0\).
Supponiamo per assurdo che \(f''(x) \neq 0\) per ogni \(x\in (0,1)\); poiché \(f''=g''\) è continua, questo implica che \(g''>0\) oppure \(g'' < 0\) in \((0,1)\). Consideriamo il primo caso (il secondo è analogo).
Abbiamo che \(g\) è una funzione strettamente convessa in \([0,1]\); poiché \(g(1/4) = g(3/4) = 0\), avremo dunque che
\[g(x) < 0\quad\forall x\in (1/4, 3/4), \qquad g(x) > 0 \quad \forall x\in [0,1/4)\cup (3/4, 0].\]
D'altra parte
\[
0 = \int_0^1 f - 2\int_{1/4}^{3/4} f = \int_0^1 g - 2\int_{1/4}^{3/4} g =
\int_0^{1/4} g + \int_{3/4}^1 g - \int_{1/4}^{3/4} g > 0,
\]
da cui l'assurdo.

[aizarg1]

\(\displaystyle \)\( F(t)=\int_0^tf(x)dx-2\int_{\frac{1}{4}t}^{\frac{3}{4}t}f(x)dx\)

\( F'(t)=f(t)-\frac{3}{2}f(\frac{3}{4}t)+\frac{1}{2}f(\frac{1}{4}t)\)

\( F(0)=F(1)=0\)

Teorema di Rolle : \( f(\zeta)-\frac{3}{2}f(\frac{3}{4}\zeta)+\frac{1}{2}f(\frac{1}{4}\zeta)=0\)

\( 2f(\zeta)-3f(\frac{3}{4}\zeta)+f(\frac{1}{4}\zeta)=0\)

\( 2[f(\zeta)-f(\frac{3}{4}\zeta)]-[f(\frac{3}{4}\zeta)-f(\frac{1}{4}\zeta)]=0 \)

Lagrange : \(f'(\zeta_1)-f'(\zeta_2)=0 , \frac{1}{4}\zeta<\zeta_2<\frac{3}{4}\zeta<\zeta_1<\zeta\)

Rolle : \( f''(x_0)=0\)

[vittorino70]

Risposte molto interessanti,con spunti utilissimi anche per altre avventure ...matematiche !
Grazie Rigel, grazie Grazia...

[dissonance]

@aizarg: Non occorre impostare una dimensione così grande per il font, meglio lasciare quella predefinita. Hai difficoltà a leggere?