Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Sia \(\displaystyle C[X]_{\le n} \) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale ad \(\displaystyle n \) a coefficienti nel campo \(\displaystyle C \). Fissati \(\displaystyle n+1 \) elementi \(\displaystyle x_{0}, \dots , x_{n} \) di \(\displaystyle C \), si consideri l'applicazione lineare \(\displaystyle \phi : C[X]_{\le n} \to C^{n+1} \) definita da \(\displaystyle P(X) \to {}^{t}(P(x_{0}),\dots ,P(x_{n})) \).
(a) Si mostri che \(\displaystyle \phi \) è un isomorfismo se, e ...
Problema (Concorso di ammissione SNS, IV anno). Siano $G$ un gruppo finito e $p$ un intero primo. Si mostri che se $G$ ha due sottogruppi distinti di ordine $p$ allora ne ha almeno $p+1$. (Suggerimento: Siano $H_1$ e $H_2$ due sottogruppi di ordine $p$. Ci sono due casi possibili; $H_2$ è contenuto nel normalizzatore di $H_1$, oppure no. Nel secondo caso si consideri ...
Ciao!
Piacendomi ultrafiltri e gruppi, come potevo restare indifferente di fronte ad un problema che li coinvolge entrambi? Ve lo propongo.
Ricordo che dato un insieme X, un filtro su X è un sottoinsieme F di P(X) (parti di X) tale che:
1. F è chiuso per intersezioni finite.
2. Se [tex]A \in F[/tex] e [tex]B \in P(X)[/tex] è tale che [tex]A \subseteq B[/tex] allora [tex]B \in F[/tex].
3. [tex]\emptyset \not \in F[/tex].
Un ultrafiltro è un filtro massimale, ovvero tale che ogni ...
Problema (Concorso di ammissione SNS, IV anno) Sia $a \in \mathbb R$ e $f: [0,1] \to \mathbb R$ una funzione continua. Risolvere l'equazione integrale
\[
u(t) = f(t) + a \int_0^t u(s) ds, \qquad t \ge 0
\]
trovando l'espressione esplicita della soluzione.
Il problema principale di tutto l'esercizio riguarda la regolarità di $f$: infatti, se supponiamo $f$ derivabile e cerchiamo quindi soluzioni nello spazio delle funzioni derivabili, l'esercizio diventa banale e si ...
Problema. Sia [tex]u \colon [0,\pi] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R}[/tex] una funzione continua, di classe $C^1([0,\pi] \times (0,+\infty))$ e $C^2((0,\pi) \times (0,+\infty))$ soluzione del problema
\[\tag{P}
\begin{cases}
u_t = u_{xx} & \text{in } (0, \pi) \times (0, +\infty) \\
u_x(0,t)=0=u_x(\pi,t) & \forall t \in (0,+\infty)
\end{cases}
\]
Si determini una formula di rappresentazione di $u$ mostrando che, in opportuni spazi funzionali, [tex]\lim_{t\to +\infty} u(\cdot,t)[/tex] è uguale alla funzione ...
Carissimi utenti del forum, vi propongo di trovare una soluzione a questo problema . Posseggo una mia soluzione . La posterò entro la serata. Non è difficile, ma è simpatico.
Problema :
Siano $p_1,p_2,.....,p_k$ interi positivi primi distinti. e sia $n=p_1*p_2*...*p_k$.
Sia $ZZ_n$ l'anello degli interi modulo $n$.
Quanti elementi vi sono in $ZZ_n$ del tipo $\alpha^2=\alpha$?[xdom="Martino"]Titolo specificato.[/xdom]
Un paio di esercizi abbastanza semplici. Possiedo la soluzione per entrambi.
Esercizio 1 - Un criterio di convergenza
Sia \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) un successione reale a termini tutti positivi. Provare che il prodotto infinito \(\displaystyle \prod_{n=0}^{\infty} (a_{n}+1) \) converge se e solo se la serie \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \) è convergente.
Esercizio 2 - Un prodotto infinito notevole
Mostrare che \[\displaystyle \prod_{n=2}^{\infty} \left(1 - ...
Propongo il calcolo del seguente limite, tanto per distrarvi un pò sotto l'ombrellone: \(\mbox{ }\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{lim} \frac{1}{n!}\int_0^n e^{-x}x^ndx\)
Questo esercizio è facile (credo). Ad ogni modo l'ho trovato abbastanza carino, quindi lo propongo: magari qualcuno vuole comunque cimentarsi.
Sia \(\displaystyle f \in \mathcal{C}([0,+\infty[) \) tale che \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{-s_{0} x}f(x)=0 \quad (\star) \] per un certo \(\displaystyle s_{0} \in \mathbb{R} \).
Si consideri poi la funzione (è ben definita? Mostrarlo!) \[\displaystyle [\Lambda f](s):=\int_{0}^{+\infty} e^{-sx}f(x) \; dx, \ \forall s>s_{0} \]
i) Mostrare ...
Propongo un esercizio di un docente della S.I.S.S.A.; lo stesso autore del seguente altro esercizio, di natura indipendente!
Prima della traccia, metto in spoiler le seguenti nozioni: norma, successione di Cauchy in norma e procedura diagonale; ovviamente chi le conosce può saltare la lettura!
Definizione 1.1. Siano \(\mathbb{V}\) uno spazio vettoriale su un campo \(\mathbb{K}\) (dei numeri reali o complessi), e:
\[\|\cdot\|:\mathbb{V}\times\mathbb{V}\to\mathbb{R}\]
tale ...
Vi propongo un semplice esercizio riguardo le proprietà delle funzioni media volumetrica e media superficiale. L'ho svolto, quindi ho una soluzione.
Al termine dell'esercizio, formulerò una domanda - di cui non conosco la risposta - sul legame di questo argomento con una importante PDE.
Esercizio. Sia $B_R \subset \RR^{n}$ la palla aperta di centro l'origine e raggio $R>0$ e sia data una funzione $f\in C^{2}(B_R, \RR)$. Si definisca la media sulle sfere
\[
\varphi(r) = \frac{1}{\vert ...
Esercizio. Dire se le seguenti successioni ammettono limite per $n \to +\infty$ e, in caso affermativo, calcolare il valore di tali limiti:
(a) [tex]a_n:= \frac{\log{n!}}{n \log{n}}[/tex];
(b) [tex]b_n:= \frac{\sqrt[n]{(2n)!!}}{n}[/tex];
(c) [tex]c_n:= \frac{\sqrt[n]{(2n+1)!!}}{n}[/tex];
(d) [tex]d_n:= \frac{\sqrt[n]{n!!}}{n}[/tex].
In spoiler ricordo alcune definizioni utili per svolgere l'esercizio.
Addenda. Ricordo che il semifattoriale di un numero è la funzione ...
Problema. Sia $a_n$ la successione definita da
\[
a_n:=\sum_{k=1}^{n} \sqrt[4]{k}.
\]
Trovare il comportamento asintotico di $a_n$ per $n \to + \infty$.
Possiedo una mia soluzione (spero sia giusta!). Sarei felice di confrontare il risultato e il metodo. In spoiler, un piccolo hint.
Integrale di Riemann.
Fonte: concorso di ammissione SISSA, Trieste, Settembre 2011.
Questo è più o meno classico.
Esercizio:
Calcolare:
\[
\lim_n \int_0^\sqrt{n} \left( 1-\frac{x^2}{n}\right)^n\ \text{d} x\; .
\]
Suggerimento: Provare con qualche funzione speciale.
Vedo che in questo periodo c'è un po' d'interesse per l'Analisi Complessa, quindi propongo questo esercizio (di cui non ho ancora la soluzione).
***
Esercizio:
Siano [tex]$Q:=\{z\in \mathbb{C}:\ 0\leq \text{Re}\, z,\text{Im}\, z\leq 1\}$[/tex] il quadrato unitario chiuso nel piano complesso, [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{C}$[/tex] un aperto contenente [tex]$Q$[/tex] ed [tex]$f:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex] analitica.
Dimostrare che se:
[tex]$\begin{cases} f(1+z) -f(z) \text{ prende valori reali non negativi per } z=\imath y\text{, con } y\in [0,1] \\ f(z+\imath) -f(z) \text{ prende valori reali non negativi per } z=x\text{, con }x\in [0,1] \end{cases}$[/tex]
allora [tex]$f(z)$[/tex] è costante.
Ok, questo non è un problema mio (non è esattamente il mio stile ). Mi è stato proposto da un mio amico, ma non ne siamo venuti a capo. Lo propongo qui per vedere se qualcuno di voi ha qualche bella idea...
Sia [tex]\mathcal F = \{F_1, \ldots, F_k\}[/tex] un insieme di punti in [tex]\mathbb R^n[/tex]. Definiamo per ogni reale [tex]\alpha > 0[/tex] l'insieme [tex]\displaystyle \Sigma(\mathcal F, \alpha) := \left\{P \in \mathbb R^n \mid \sum_{i = 1}^k d(P,F_i) = \alpha\right\}[/tex], dove ...
Un esercizio carino alla portata di tutti!
Non estremamente difficile, che si risolve per vie abbastanza classiche, ma secondo me istruttivo dal punto di vista "morale". Se uno ci pensa a posteriori è abbastanza naturale l'affermazione complementare alla seguente:
"Sia $X_n, n\in\mathbb{N}$ una sequenza aleatoria i.i.d. tali che $\sum_{n\in\mathbb{N}} X_n$ converge $\mathbb{P}$-q.c.
Provare che $X_n=0$, $\mathbb{P}$-q.c. "
[ovviamente dispongo della soluzione ]
Buongiorno
sono nuovo di questo forum
ho deciso di iscrivermi con la speranza di riuscire quanto meno a meglio collocare il mio problema
mi trovo ad analizzare una successione di vettori, che individuano in maniera univoca uno dei 5 o 4 vertici di un poligono.
ogni insieme che individua un poligono dunque è sempre formato da 5 vettori.
ora avendo come dati noti le successioni di "insiemi" contenenti i vettori è possibile fermarsi al vettore V(i-1) e trovare l'i-esimo della successione tramite ...
Spesso aprendo dei libri di fisica avanzati, vengono presentate delle formule che involvono funzioni speciali e calcoli di integrali molto complessi,senza mai essere derivati; perciò apro queto topic per vedere se qualche bravo matematico è in grado di risolvere i seguenti problemi:
Questo integrale salta fuori molto spesso in fisica (teoria del corpo nero e in stato solido) , tuttavia non ho mai trovato in nessun libro come si risolve;
$\int_{0}^{\infty}x^3/(e^x-1) dx=\pi^4/15$
Nella teoria dello spettro della ...
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