Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Ciao a tutti!
Ecco un esercio per tutti, probabilisti e non per scoprire qualche interessanti disuguaglianza sulle funzioni gamma, che tornano sempre utili.
Provare che per $x>1$ e $a<0$ per cui $x+a>0$, vale che
$(x-1)^a\leq \frac{\Gamma(x+a)}{\Gamma(x)}\leq (x+a)^a$
Usare il fatto che $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ e che la funzione Gamma e' log-convessa.
Per qualche richiamo sulle funzioni Gamma http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
Metto qui il 3d perché comprende un po di materie, sapreste spiegarmi per bene e cosa sono i gradi di libertà??? Ne ho sentito parecchio parlare a Fisica (num. Equazioni per descrivere un sistema = n gradi libertà) ,laboratorio di fisica nel test del \(\displaystyle \Chi^2 \) ,in geometria non ne ha parlato esplicitamente ma credo che sia parecchio invischiato neli sistemi parametrici e quindi con il ker di una matrice,tipo Dim KerA = n gradi libertà, ad analisi no...ma cmq penso che sia ...
Esercizio. Provare che \[\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 2^{n} \begin{matrix} \underbrace{ \sqrt{ 2 - \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2}}}}_{\text{n radicali}} \end{matrix}=\pi \]
Suggerimento (che banalizza l'esercizio). Provare che per ogni \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \setminus \{0 \} \) si ha \[\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{2^{n+1}} \right) = \begin{matrix} \underbrace{\frac{1}{2} \sqrt{ 2 + \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2}}}}_{\text{n radicali}} \end{matrix} \]
e \[\displaystyle \sin ...
Posto questo problema articolato in due punti, di cui ho abbozzato una mezza risoluzione, per vedere come lo risolvereste voi.
i)Sono dati tre valori $a,b,c inZZ$ tali che
$a+sqrt2b+sqrt3c=0$
Dimostrare che deve per forza essere $a=b=c=0$
(In caso, possiamo assumere che la radice quadrata di 2, di 3 e di 6 è irrazionale, senza doverlo dimostrare).
ii)Determinare almeno una terna di interi relativi non tutti nulli tali che
$a+sqrt2b+sqrt8c=0$
Dimostrare che ogni altra terna ...
Penso tutti sanno cosa sia un epiciclo,questo problema è molto interessante ed ha molte varianti(a mio parere).
E' stato fatto stamane al test d'ingresso alla SASS e l'ho trovato molto divertente,vi pongo qui la traccia e la mia linea generale per la soluzione che ho trovato.
Abbiamo una circonferenza tangente internamente ad un'altra chiamiamo Cr la circonferenza di raggio \(\displaystyle R \) e cr la circonferenza di raggio \(\displaystyle r \)con \(\displaystyle r
Esercizio: Sia \[ f(x) := \begin{cases} 0 & \text{ se } x \in \mathbb{Q} \\ n & \text{ se } x \notin \mathbb{Q}\;\; \text{ essendo la prima cifra decimale } \ne 0 \text{ l'n-esima} \\ \end{cases} \]
Considerata $mu$ la misura di Lebesgue, calcolare \[ \int_{[0,1]} f \; d \mu \]
[size=85]Nota: Mi rendo conto che non si tratta di un esercizio particolarmente adatto a questa sezione, tuttavia lo posto qui perché vorrei dedicarlo in special modo all'amico Paolo90 (e a chi, come noi, ...
Consideriamo il seguente processo d'urna:
L'urna contiene una (ed una sola) pallina bianca e un numero aleatorio di palline rosse.
Si procede ad una successione di estrazioni con reinserimento secondo lo schema seguente:
se si estrae la pallina bianca se ne aggiunge una rossa (e si reinserisce la pallina bianca estratta);
se si estrae una pallina rossa non si aggiunge nessuna pallina (si reinserisce la pallina rossa estratta).
Supponiamo che l'urna contenga inizialmente solamente l'unica ...
Possiedo la soluzione di questo esercizio, vediamo se qualche analista ci riesce.....
risolvere la seguente ODE:
$2yy''-(y')^2=(1/3)(y'-xy'')^2"$
edit: avevo sbagliato a scrivere l'equazione di partenza......
adesso è corretto
Salve, sono nuovo
Vorrei risolvere un piccolo enigma, ho dei numeri (60) e sono praticamente sicuro che sono collegati tra di loro
Ma non ho trovato la legge che li lega anche se mi ci sono avvicinato
Questi sono i primi 10
80.0, 104.800003051758, 129.888000488281, 155.281280517578, 180.998153686523, 207.058044433594, 233.481521606445, 260.290435791016, 287.507843017578, 315.158325195313
il 60° è 3669.63696289063
Sapreste aiutarmi ?
Vi ringrazio anticipatamente
Antonio
Salve a tutti.
In Teoria dei Campi mi sono imbattuto in un integrale del tipo:
$I=int_0^infty dp p e^(ipx-itsqrt(p^2+m^2))$
(Tanto per contestualizzare, si tratta del calcolo dell'ampiezza di transizione di una particella relativistica libera).
Il mio libro di testo (Peskin, Introduction to Quantum Field Theory) calcola l'andamento dell'integrale nel seguente modo.
Innanzitutto si considera la fase $phi = px - tsqrt(p^2+m^2)$, la cui derivata prima è $phi'(p)=x+tp/sqrt(p^2+m^2)$.
Tale fase è stazionaria nel punto $p_c = imx/sqrt(x^2-t^2)$; in ...
Sul forum, e soprattutto nei post di questa stanza, abbiamo usato più volte l'approssimazione di Stirling del fattoriale senza mai provarla del tutto (almeno a mia memoria).
Nei giorni scorsi, su suggerimento di un docente di Algoritmi, mi ero riproposto di scovare una dimostrazione semplice della Stirling da mostrare ai miei studenti.
Di dimostrazioni "elementari" ne ho trovate diverse, ma quasi tutte fanno uso di risultati di Analisi Reale/Numerica più o meno avanzati che in un corso di ...
Siano \(\mathbb{K}\) il campo dei numeri reali o complessi ed \(n\in\mathbb{N}\), sullo spazio vettoriale \(\mathbb{K}^n_n\) si consideri la topologia debole (*) \(\mathcal{D}\) generata dalla funzione \(\det\) mediante lo spazio topologico \((\mathbb{K};\mathcal{T}_{nat})\); allora:
[*:1qy12eei] confrontare la topologia \(\mathcal{D}\) con la topologia \(\mathcal{T}_{nat}\) di \(\mathbb{K}^n_n\);[/*:m:1qy12eei]
[*:1qy12eei] quozientare i precedenti spazi topologici rispetto alle seguente ...
Un esercizio divertente per sbrogliarsi un po' tra polinomi e funzioni polinomiali!
Mi è venuta voglia di proporlo nel rispondere qui.
Sia [tex]K[/tex] un campo, e sia [tex]K[X][/tex] l'anello dei polinomi a coefficienti in [tex]K[/tex]. Per ogni [tex]P(X) \in K[X][/tex] sia [tex]f_P:K \to K[/tex] la funzione definita da [tex]f_P(a) := P(a)[/tex]. [tex]f_P[/tex] si dice "funzione polinomiale associata a [tex]P[/tex]". Sia [tex]F = K^K[/tex] l'insieme delle funzioni [tex]K \to ...
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Studente Anonimo
16 dic 2012, 15:18
Mi tormenta questo problema:
Dire se esiste, e in tal caso determinare, una funzione \(\displaystyle f(x) \) $!=$ \(\displaystyle 0 \) tale che $\sqrt{ \int f(x) \ \text{d}x} = \int \sqrt{f(x) } \text{d} x$
(scusate per i problemi con le immagini )
Non ho ancora sufficiente dimestichezza con le equazioni del secondo ordine, quindi non ho ancora svolto questo problema.
Sia \(\displaystyle \varphi \in \mathcal{C}^2(0,\infty) \) con \(\displaystyle \varphi \ge 0 \) una soluzione dell'equazione \[\displaystyle \varphi''(r)+\frac{n-1}{r} \varphi'(r)=-n(n-2)\varphi(r)^{\frac{n+2}{n-2}} \qquad \text{con} \qquad r>0 \qquad [1] \] e sia \(\displaystyle \psi \in \mathcal{C}^2 (\mathbb{R}) \) la funzione definita da \[\displaystyle ...
Niente a che vedere con gli iperpost "topologici" ( ) di questa sezione ma insomma un tantino bisogna pensarci ...
Allora, ABCD è un quadrilatero inscritto nella semicirconferenza \(\displaystyle \Gamma \) di diametro AB.
Siano : H,E, L le intersezioni delle tre coppie di lati opposti (AB,CD),(BC,AD),(BD,AC). Da E si traccino le tangenti a \(\displaystyle \Gamma \) che tocchino \(\displaystyle \Gamma \) medesima nei punti F e G.
Si dimostri che i punti H,F,L,G sono sulla ...
Salve ragazzi, volevo condividere con voi questo esercizio che secondo me amerita di essere diffuso. Molti di voi conosceranno
o hanno sentito almeno una volta il teorema di Tolomeo:
http://planetmath.org/ProofOfPtolemysInequality.html
La dimostrazione riportata nel link a me lascia senza parole. Ve ne è una però molto semplice di cui oggi sono giunto a conoscenza su un libro e che ha molti spunti. Ve la propongo come esercizio:
EX: Dimostrare la disuguaglianza di Tolomeo usando i numeri complessi (identificando il piano ...
Siano $x_0,y_0 > 0$. Allora definisco due successioni $\{ x_n \} , \{ y_n \}$ nel modo seguente:
$x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_n + y_n) \ , \ y_{n+1}= \sqrt{x_n y_n}$.
Per la simmetria fra $x_0$ e $y_0$ posso supporre che $y_0 \leq x_0$.
Per la disuguaglianza tra media geometrica e media aritmetica si mostra per induzione che $\forall n \in \mathbb{N}, \ 0 < y_0 \leq y_n \leq y_{n+1} \leq x_{n+1} \leq x_n \leq x_0$. Quindi le due successioni $\{ x_n \} , \{ y_n \}$ sono monotone e limitate, e allora convergono; siano $\bar{x},\bar{y}$ rispettivamente i limiti; ovviamente vale $ 0 < \bar{y} \leq \bar{x}$. ...
Problema. Sia [tex]K \subset \mathbb{R}[/tex] un insieme chiuso. Costruire una funzione [tex]f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})[/tex] t.c. [tex]K=\{x \in \mathbb{R} \; : \; f(x)=0 \}[/tex]
Commento a latere. Si tratta probabilmente di un problema risolvibile mediante la teoria delle bump functions, ma la costruzione (non mia) che possiedo non ne fa uso in maniera consapevole. Dovrebbero ad ogni modo bastare le conoscenze di Analisi I.
In questa calda giornata di ferragosto, mi son imbattuto in questo problema (n° 4 del test di ammissione alla normale, anno 2007-2008):
Un gioielliere vuole imballare 3 bocce di cristallo di forma sferica e di diametro di 10cm; ha trovato una scatola a forma di parallelepipedo di lati 16cmx16cmx20cm. Dite, motivando la risposta, se è possibile far stare le 3 bocce nella scatola.
In realtà non saprei proprio da dove iniziare... ho ipotizzato che due sfere potessero ...
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