[EX] Analisi I: sull'uniforme continuità
Un esercizio "bellino" dedicato a tutti i più giovani, in particolare a coloro che stanno preparando Analisi I. E' piuttosto semplice!
Possiedo una mia soluzione.
Esercizio. Sia [tex]f \colon \mathbb R \to \mathbb R[/tex] una funzione uniformemente continua; supponiamo che $f(n)=0$ per ogni $n \in \ZZ$. Provare che $f$ è limitata.
Enjoy
Possiedo una mia soluzione.
Esercizio. Sia [tex]f \colon \mathbb R \to \mathbb R[/tex] una funzione uniformemente continua; supponiamo che $f(n)=0$ per ogni $n \in \ZZ$. Provare che $f$ è limitata.
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Risposte
Io sfrutterei questo (teorema della farfalla):
teorema-della-farfalla-t30472-10.html
Così, riflessioni senza senso. Però è una cosa a cui penso sempre, ma non ho ancora una visione complessiva.
Un insieme numerabili di informazioni sulla funzione $f$, con l'ipotesi che questa sia uniformemente continua, ci descrive il comportamento della funzione, ma non la determina univocamente (per esempio, si prenda $\lambda sin x$).
Esistono ipotesi sulla funzione che ci permettano di determinarla univocamente? Direi di no (ad esempio, se assumiamo che sia analitica intera, vale ancora il controesempio di sopra).
Se è un polinomio, tutto va bene (perciò pensavo alle analitiche), anzi: bastano $n$ informazioni, dove $n$ è il grado.
Discorso completamente diverso se questi punti si accumulano: se sono densi basta la continuità, se si accumulano in un punto serve l'analiticità (è davvero così?). E qui vi chiedo: ma dato che i punti dell'esercizio si accumulano all'infinito, possiamo ottenere unicità ad esempio in un compattificato? Sto delirando, non conosco il problema.
Edit: in effetti sono largamente OT.
teorema-della-farfalla-t30472-10.html
Così, riflessioni senza senso. Però è una cosa a cui penso sempre, ma non ho ancora una visione complessiva.
Un insieme numerabili di informazioni sulla funzione $f$, con l'ipotesi che questa sia uniformemente continua, ci descrive il comportamento della funzione, ma non la determina univocamente (per esempio, si prenda $\lambda sin x$).
Esistono ipotesi sulla funzione che ci permettano di determinarla univocamente? Direi di no (ad esempio, se assumiamo che sia analitica intera, vale ancora il controesempio di sopra).
Se è un polinomio, tutto va bene (perciò pensavo alle analitiche), anzi: bastano $n$ informazioni, dove $n$ è il grado.
Discorso completamente diverso se questi punti si accumulano: se sono densi basta la continuità, se si accumulano in un punto serve l'analiticità (è davvero così?). E qui vi chiedo: ma dato che i punti dell'esercizio si accumulano all'infinito, possiamo ottenere unicità ad esempio in un compattificato? Sto delirando, non conosco il problema.
Edit: in effetti sono largamente OT.
@Gaal: Ma che hai stasera, la febbre? Stai andando OT di brutto. Questo è un esercizio dedicato a chi sta studiando Analisi 1, non invaderlo con deliri sofisticati: se la questione ti interessa formulala bene e fai una domanda a parte, mettendo un link a questa discussione.
PS: non avevo visto il tuo edit
PS: non avevo visto il tuo edit
Mea culpa. Se vuoi cancella il delirio, e domani scrivo le cose per bene.
Sono in ogni caso curioso della tua dimostrazione, Paolo!
Avevi pensato al teorema che citavo?
Avevi pensato al teorema che citavo?
Propongo una soluzione, è un po' che non faccio esercizi di analisi 
@ Martino: ottimo lavoro! Direi che va proprio bene; per la cronaca, la tua soluzione coincide esattamente con la mia.
@ Gaal: no, sinceramente non avevo pensato al teorema della farfalla. Credo che sia molto più conveniente passare direttamente dalla definizione, proprio come ha fatto Martino.
Direi che va proprio bene; per la cronaca, la tua soluzione coincide esattamente con la mia. @ Gaal: no, sinceramente non avevo pensato al teorema della farfalla. Credo che sia molto più conveniente passare direttamente dalla definizione, proprio come ha fatto Martino.
La mia soluzione era (penso che era chiara, però la scrivo, così spiego bene cosa intendevo):
una versione leggermente (si tratta solo di riscrivere la dimostrazione con un po' più di pazienza, senza porre $\epsilon=1$) più precisa di quella che ho linkato ha come risultato $|f(x)|\leq (\epsilon + |f(0)|)+\epsilon/\delta |x|$.
Usando il teorema della farfalla su ogni intero, con (così mi riallaccio a voi) $\delta=1/n$, si ha che $|f(x)|\leq \epsilon+ n\epsilon |x-k|$, con $k \in ZZ$. Insomma, si prendono le intersezioni di tutte le farfalle. (per capire di cosa sto parlando, immaginate $\epsilon=1$)
Analogamente, potete fare anche voi la stessa cosa nella vostra soluzione, quindi $|f(x)|\leq "min"(k, n-k)\leq n/2$.
Qual è la soluzione migliore? Le rette $y=1+nx$ e $y=n/2$ (ragiono in $0$, è più semplice fare i conti) si incontrano in $(n-2)/(2n)$, che è sempre minore strettamente di $1/2$ e va asintoticamente a $1/2$. Insomma, la mia soluzione è migliore nell'intorno degli zeri, ma ad un certo punto (prima di arrivare a $k/2$, dove conviene incominciare dall'intero successivo) conviene tagliare.
Si può fare di meglio? Non so, bisognerebbe fare i conti sulla funzione e trovare la relazione tra $\epsilon$ e $\delta$, per prendere la "farfalla" giusta. In un intorno degli zeri, conviene prendere $\epsilon$ piccolo, ma così facendo esplode (ma esplode davvero?) $\epsilon/\delta$, ma nenche troppo, perchè c'è il vostro upper bound.
una versione leggermente (si tratta solo di riscrivere la dimostrazione con un po' più di pazienza, senza porre $\epsilon=1$) più precisa di quella che ho linkato ha come risultato $|f(x)|\leq (\epsilon + |f(0)|)+\epsilon/\delta |x|$.
Usando il teorema della farfalla su ogni intero, con (così mi riallaccio a voi) $\delta=1/n$, si ha che $|f(x)|\leq \epsilon+ n\epsilon |x-k|$, con $k \in ZZ$. Insomma, si prendono le intersezioni di tutte le farfalle. (per capire di cosa sto parlando, immaginate $\epsilon=1$)
Analogamente, potete fare anche voi la stessa cosa nella vostra soluzione, quindi $|f(x)|\leq "min"(k, n-k)\leq n/2$.
Qual è la soluzione migliore? Le rette $y=1+nx$ e $y=n/2$ (ragiono in $0$, è più semplice fare i conti) si incontrano in $(n-2)/(2n)$, che è sempre minore strettamente di $1/2$ e va asintoticamente a $1/2$. Insomma, la mia soluzione è migliore nell'intorno degli zeri, ma ad un certo punto (prima di arrivare a $k/2$, dove conviene incominciare dall'intero successivo) conviene tagliare.
Si può fare di meglio? Non so, bisognerebbe fare i conti sulla funzione e trovare la relazione tra $\epsilon$ e $\delta$, per prendere la "farfalla" giusta. In un intorno degli zeri, conviene prendere $\epsilon$ piccolo, ma così facendo esplode (ma esplode davvero?) $\epsilon/\delta$, ma nenche troppo, perchè c'è il vostro upper bound.
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