Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
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Teorema:
$(X,d)$ spazio metrico.
1) $\exists X_0 \subset X$ t.c. $X_0$ sia più che numerabile e $\exists C$ t.c. $d(x,y)\geq C>0$ $\forall x,y \in X_0$;
2) $ \exists (A_i)_{i\in I}$ famiglia di aperti non vuoti con $I$ più che numerabile t.c. $A_i \cap A_j = \emptyset$ per $i\ ne j$;
3) $X$ non è separabile.
Allora $1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3$.
La dimostrazione non è difficile. La domanda è: si può tornare indietro?
(Io ho solo una risposta parziale).
E' una cosa nella quale mi sono imbattuto mentre facevo un paio di "conti" in spensieratezza... La mia dimostrazione è un po' astrusa, quindi per ora non la posterò (è un po' tardino, come ho già detto è una cosa "astrusa" ed oltretutto è da rivedere).
Dimostrare che:
$ lim_(m -> oo ) prod_(n = 1)^(m)(1+n/m)^(1/m)=4/e$
Sono curioso di sapere se esiste un modo semplice per dimostrarlo. Grazie anticipatamente per l'aiuto
EDIT:
Inserisco l'altro esercizio qui sopra, casomai sotto non si noti. Ripeto che ancora non sono ...
Un altro esercizio per chi sta iniziando o studiando un po' di probabilità condizionata
Tutti sanno che la probabilità condizionata può essere definita oltre che per v.a. integrabili, anche per v.a. positive. In questo caso però la probabilità condizionata potrebbe non essere finita. Propongo quindi questo simpatico e tranquillo esercizio:
Sia $(\Omega, F, \mathbb{P})$ uno spazio di probabilità, sia $G\subset F$ una sub-sigma algebra e $X$ una v.a. non-negativa.
Allora ...
Ciao a tutti,
mi è sorto un "idea" nata da un'esigenza ingeristica. Spero che la domanda non sia troppo sciocca per voi matematici. Prendiamo una sequenza del tipo:
t=[1 2 3 4 5 6 7];
x=[1 0 2 3 2 0 1];
dove t è il tempo e x è il valore di una grandezza misurata. Essendo la time history parecchio lunga e difficilmente memorizzabile la si memorizza come istogramma e quindi si otterrebbe una cosa del genere, dove c'è il numero assunto (xi) ed il numero di volte in cui quel valore è stato ...
Sia $A$ matrice $n\times n$ a coefficienti reali.
Indico con [tex]$^cA$[/tex] la matrice dei cofattori di [tex]$A$[/tex], i.e. [tex]$^cA := (b_{ij})$[/tex]
dove [tex]$b_{ij}$[/tex] è il prodotto tra [tex]$(-1)^{i+j}$[/tex] e il determinante della matrice ottenuta da [tex]$A$[/tex] sopprimendo la $j$-esima riga e la $i$-esima colonna
Si determini il valore ...
Secondo me, è qualcosa di veramente bello, è uno di quei risultati molto belli e inaspettati, che ti lasciano a prima vista un po' spiazzato. D'altra parte ritengo anche che non sia un quesito proprio banale, ci abbiamo messo una settimana e mezza (in tre!) a risolverlo ( ). Ma ne è valsa la pena.
Teorema. Sia [tex]f \in C^{\infty}([0,1], \mathbb R)[/tex]. Allora o $f$ è un polinomio o esiste un $x_0 \in [0,1]$ tale che
\[
\forall n \in \mathbb N: \quad f^{(n)}(x_0) \ne 0, ...
Propongo a tutti coloro che stanno studiando Teoria della Misura un bell'esercizio, piuttosto semplice, tratto dal solito Real & Complex Analysis. Al termine dell'esercizio, proporrò una domanda (che mi sono posto dopo averlo risolto) che invita il lettore a "generalizzare" leggermente il fatto in questione (se possibile).
Esercizio. Sia $(X,\mathcal A , \mu)$ uno spazio di misura ($X \ne \emptyset$ è un insieme, $\mathcal A$ è una $\sigma$-algebra su $X$ e ...
Ripropongo in italiano, con qualche modifica, questo vecchio esercizio da English Corner.
I primi tre punti li ho risolti; sugli altri ci sto lavorando... Tuttavia mi farebbe piacere sentire pareri.
***
Qualche prerequisito:
[*:ehq9pv8w] Ricordo che lo spazio \(\ell^1\) è costituito da tutte le successioni complesse (o reali) \(x=(x_n)\) tali che \(\sum_{n=1}^\infty |x_n|
Trovare un sottoinsieme [tex]D[/tex] di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] con le seguenti proprietà:
1) [tex]D[/tex] è denso in [tex]\mathbb{R}^2[/tex],
2) per ogni due punti distinti [tex](x_1,y_1), (x_2,y_2) \in D[/tex] si ha [tex]x_1 \neq x_2[/tex] e [tex]y_1 \neq y_2[/tex].
Siano [tex]a_0,a_1,a_2, \ldots[/tex] numeri complessi a due a due distinti.
Mostrare che per ogni intero [tex]m \geq 1[/tex] si ha [tex]\sum_{n=0}^m \prod_{n \neq k=0}^m \frac{a_{m+1}-a_k}{a_n-a_k} = 1[/tex].
E' un caso tipico di "risoluzione per ammirazione"
In una stanza ci sono $k$ persone, qual è la probabilità che 2 di esse siano nate lo stesso giorno?
Vi sfido!
Prove it! Sia [tex]f(X) \in \mathbb Z[X][/tex], [tex]f(X) = p + a_1 X + \ldots + a_n X^n[/tex] dove [tex]p[/tex] è un primo e [tex]p \nmid a_i[/tex] per ogni [tex]i = 1, \ldots, n[/tex]. Allora [tex]f(X)[/tex] è irriducibile.
Ecco, adesso quelli più ferrati in Analisi mi prenderanno per pazzo!
Ma quando mai, mi si dirà, la convergenza in media implica la convergenza uniforme?!? Casomai è vero il contrario (sempre se siamo in insiemi di misura finita)!...
Ed io rispondo con un sonoro pernacchio* e con questo esercizio.
***
Esercizio:
Dimostrare che vale il seguente fatto:
Siano \((f_n)\) una successione di funzioni definite in \([a,b]\) a valori reali e \(p\in ...
Su questo problema c'è molta letteratura. Può essere divertente provare a risolverlo, non è impossibile e si può fare con idee puramente geometriche.
"Wikipedia":The Kakeya needle problem asks whether there is a minimum area of a region D in the plane, in which a needle of unit length can be turned through 360°.Riformulo solo per diminuire il rischio di confusione.
Prendiamo un segmento lungo [tex]1[/tex] nel piano e chiamiamo [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] i suoi ...
Un esercizio carino, giusto per non proporre sempre cose di probabilita'
"Consideriamo $\mathbb{S}$ l'insime dei sottoinsiemi dei numeri naturali.
Diciamo che una sequenza di sottoinsiemi $A_k$ converge verso $A$ se e solo se per ogni $m>0$ fissato si ha che $A_k\cap\{1,...,m\}=A\cap\{1,...,m\}$ per $k$ sufficientemente grande.
Dimostrare che ogni sequenza $A_k$ ha almeno un punto limite."
Dopo averne discusso un po' in Amministrazione, si è deciso di fare un elenco dei topic relativi ai problemi dei concorsi di ammissione presso la Scuola Normale Superiore di Pisa (IV anno) e presso la S.I.S.S.A. di Trieste (concorso per la Laurea Magistrale in Matematica).
Si ringraziano tutti gli utenti intervenuti, alcuni dei quali con risposte davvero brillanti, e tutti coloro che segnaleranno altri topic da aggiungere a questa lista. Un ringraziamento particolare a Delirium, cui sono ...
Sia \(\displaystyle X \) uno spazio metrico compatto e sia \(\displaystyle T:X \to X \) un'applicazione t.c. \(\displaystyle d(T(x),T(y)) < d(x,y) \) per ogni \(\displaystyle x, \; y \in X \) con \(\displaystyle x \ne y \). Provare che \(\displaystyle T \) ha un unico punto fisso su \(\displaystyle X \).
L'idea mi era già stata suggerita per metà.
Sull'esistenza:
Definisco la funzione \(\displaystyle f(x) : = d(x,T(x)) \); è chiaro come essa sia continua (provarlo!). Pertanto essa ammette un ...
Un esercizio per l'estate da cui viene fuori come l'ipotesi di essere integrabile risulti in qualche senso "fondamentale" per la legge dei grandi numeri...
"Sia $(\Omega,\mathcal{F},P)$ uno spazio di probabilità e sia $X_n$ una successione IID definita su tale spazio con $E(|X_n|)=\infty$ per ogni $n$. Provare che
$\sum_n P(|X_n|>kn)=\infty$ per $k\in\mathbb{N}$ e $\text{limsup}\frac{|X_n|}{n}=\infty$, qc . Dedurne che, posto $S_n=X_1+...+X_n$ allora $\text{limsup}\frac{|S_n|}{n}=\infty$, qc"
Trovo che la seguente questione (ispirata da questo filone) sia fertile.
Sappiamo che un campo è algebricamente chiuso se ogni polinomio a coefficienti in quel campo è riducibile.
Ma cosa succede se fissiamo il grado?
Fissiamo un intero [tex]n > 1[/tex].
Esiste un campo [tex]F[/tex] con le seguenti due proprietà?
1. [tex]F[/tex] non è algebricamente chiuso;
2. ogni polinomio di grado [tex]n[/tex] in [tex]F[X][/tex] è riducibile.
Cosa possiamo dire di [tex]n=2[/tex], [tex]n=3[/tex], ...
Salve a tutti.
Anche se non sapevo risolverne uno ( ) mi ero molto appassionato alla maratona di problemi che TomSawyer aveva iniziato molto tempo fa, ormai abbandonata e scivolata in pagine vecchie. Che ne dite di riprenderla in questa discussione?
Se l'idea vi va, qualcuno posti un problema in questa discussione. Le regole sono le stesse: chi risolve per primo il problema "in concorso" ha diritto a postare un altro problema a propria scelta, oppure può incaricare un altro utente di ...
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