Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Ciao a tutti.
Questo problema è dell'ammissione alla SNS di Pisa ed è già stato discusso nell'apposita sezione.
Volevo proporre una mia soluzione, dato che potrebbe essere l'unico tra tutti i problemi della SNS che per ora (forse) sono in grado di svolgere.
Sia $T$ un triangolo avente lati di lunghezza $a,b,c$ e siano $h_a$ ,$h_b$ ,$h_c$ le
altezze rispettive. Indicata con $A$ l'area del triangolo, si mostri che se ...
Chiunque abbia studiato un po' di Analisi Superiore conosce il celeberrimo Teorema di Lebesgue o della convergenza dominata (cfr. Rudin, Real and Complex Analysis - Third Edition, §1.34):
Siano \((X,\mathfrak{M}, \mu)\) uno spazio di misura, \(f:X\to \mathbb{C}\) misurabile ed \((f_n)\) una successione di funzioni complesse misurabili su \(X\) tale che \(f_n\to f\ [\mu] \text{-q.o.}\)
Se esiste una funzione \(\phi:X\to [0,\infty]\) misurabile tale che:
a. \(|f_n|\leq \phi\ [\mu] ...
Ripropongo il calcolo di un limite che qualche anno fa era stato proposto da Luca Lussardi, di cui fu data una risoluzione non elementare (faceva uso di un teorema di analisi superiore se non ricordo male...) e invece una elementare anche se abbastanza tortuosa. Vediamo cosa viene fuori questa volta.
Calcolare: $\lim_{t \to 0}1/t \int_0^t |sin (1/x)|dx$
per chi si vuole cimentare c'è anche:
$\lim_{t \to 0}1/t \int_0^t cos(sin(tan(1/x)))dx$ di quest'ultimo limite non ho però il risultato...
siano $X$ e $Y$ spazi topologici tali che esistano
$f:XrarrY$
$g:YrarrX$
con $f$ e $g$ continue e biunivoche.
dimostrare o confutare:
1) allora $X$ e $Y$ sono omeomorfi
2) $f$ e $g$ sono necessariamente omeomorfismi
EDIT:scusate, mi hanno fatto notare un errore nella mia dimostrazione; non so risolvere il punto 1), a questo punto non so nemmeno se sia vero o ...
Si dimostri che esiste una e una sola funzione $ f $ analitica in un intorno di $ 0 $ che risolve il problema :
$f '(x)= 1+f(x^2)/x $
$ f(0)=0 $
e se ne determini il dominio.
Da Gilardi –Analisi 3
Quote
Teorema di rimozione singolarità
Siano $Omega sube CC$ un aperto, $z_0 $ un punto di $ Omega $ e $ f $ una funzione olomorfa in $Omega - (z_0) $ . Se esiste $R > 0 $ tale che $f$ è limitata in $B_R(z_0) - (z_0) $ , allora la singolarità isolata $z_0$ è eliminabile. [ $B_R(z_0) $ è il cerchio di centro $z_0$ e raggio $R$].
Osservazione – Le ipotesi del Teorema ...
Consideriamo una v.a. $X$ discreta a valori in $\{0,1,...,n\}$ allora: $P(X=k)=\sum_{r=k}^n (-1)^{r+k}\frac{E[(X)_r]}{k!(r-k)!}$, dove $(X)_r=X(X-1)...(X-r+1)$. E se $n$ divergesse?
Premetto che sto per proporre un esercizio semplice (che dunque non meriterebbe di stare in questa sezione), ma mi piacerebbe vedere se qualcuno trova una soluzione più semplice/rapida di quella che ho pensato io.
Sia $w: [a,b]\to\RR^n$ una funzione assolutamente continua, e sia $z(t) = |w(t)|$, $t\in [a,b]$.
Dimostrare che $z$ è assolutamente continua e che $z'(t) \le |w'(t)|$ quasi ovunque in $[a,b]$.
Problem. Choose two natural numbers $x,y \in {1,2, ..., n}$ randomly (with uniform probability) and independently. Let $P_{n}$ be the probability that $x$ and $y$ are coprime. Prove that $\lim_{n \to +\infty} P_{n} = 6/pi^2$.
Non ho la soluzione. Ci sto pensando. Qualunque suggerimento e/o aiuto è ben accetto.
propongo un esercizio relativamente semplice ma che ho trovato carino, anche se forse esiste una soluzione anche più semplice di quello che ho dato io:
sia data la seguente funzione di $n$ variabili: $P = (x_1-1)^2+x_(n)^2+sum_(k=1)^(n-1) (x_(k+1)-x_k)^2$
Trovare i punti critici di $P$. Ovvero i punti (o il punto se fosse uno solo) dove è $grad P =0$
l'esercizio è preso dal testo "introduction to optimization" di Pablo Pedregal
Tengo molto a questo problema e cerco di spiegarmi in termini più chiari possibili; sto cercando una possibile formula per
Il problema è il seguente: come posso capire quante interpretazioni può avere una singola frase?
Premetto di non essere affatto un matematico ma ho iniziato studiando la relazione significato :mittente = interpretazione: ricevente che a me sembra corretta. Questa relazione non è possibile renderla matematica così, si ha bisogno di andare avanti per questo ho pensato che ...
Abbiamo recentemente discusso di dualità in matematica (vedi qui). Propongo un'altra dualità rispetto a quelle di cui si parla nel thread citato.
Definizione. Siano [tex]A,B[/tex] due insiemi e sia [tex]\sigma \subseteq A \times B[/tex] una relazione. Diciamo relazione inversa la relazione [tex]\sigma^{-1}[/tex] definita da [tex]b \sigma^{-1} a \iff a \sigma b[/tex].
Esercizio 1. Mostrare che se [tex]\le[/tex] è una relazione d'ordine in [tex]L[/tex], allora [tex]\le^{-1}[/tex] ...
Propongo l'unico esercizio che ho risolto al concorso della Normale quest'anno.
Esercizio. Sia [tex]f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] suriettiva e tale che per ogni [tex](x_n)_{n \in \mathbb{N}}[/tex] non convergente, [tex](f(x_n))_{n \in \mathbb{N}}[/tex] è non convergente. Provare che [tex]f[/tex] è continua.
Visto che nessuno posta sull'argomento probabilità ci provo io.
Sia $X$ una v.a. t.c. $E(X)=0$ e con $P(a\le X \le b)=1$ allora $E(e^{sX})\le e^{\frac{s^2(b-a)^2}{8}}$ per ogni $s>0$.
In generale se esiste una v.a. $Z$ t.c. $E(X|Z)=0$ e $P(f(Z)\le X \le f(Z)+1)=1$ per una generica funzione $f$ e con $c>0$ allora
$E(e^{sX}|Z)\le e^{\frac{s^2c^2}{8}}$ per ogni $s>0$.
Da queste due discende un notevole risultato di concentrazione per martingale:
Sia ...
Supponiamo di avere $n>0$ colori e ad ogni punto del piano ($\mathbb R ^2$) associamo uno e un solo colore. Dimostrare che esiste un rettangolo con i vertici dello stesso colore.
La tesi vale anche se i colori sono numerabili?
ps. Non ho una soluzione della seconda parte
Semplice, ma carino.
Sono dati una circonferenza [tex]$\mathrm{C}$[/tex] di raggio [tex]$r$[/tex] ed un poligono regolare [tex]$\Gamma$[/tex] di [tex]$n$[/tex] lati in essa inscritto. Si fornisca un'espressione [tex]$S(n)$[/tex] della superficie di [tex]$\Gamma$[/tex] in funzione di [tex]$n$[/tex]. Si calcoli infine [tex]$\lim_{n \rightarrow +\infty} S(n)$[/tex] e se ne dia un'interpretazione geometrica.
Siano date due serie a termini positivi (strettamente) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ e $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$
Confutare o dimostrare che
1) Se almeno una delle due serie converge, allora la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_nb_n}{a_n+b_n}$ converge.
E questo è banale.
2) Se entrambe le serie divergono, allora la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_nb_n}{a_n+b_n}$ diverge.
A essere sincero, io a senso ho subito provato a confutare la seconda con qualche esempio, ma non ci sono riuscito.
Né in realtà mi sono molto dedicato a mostrare che la divergenza vi è ...
E' da tempo che stavo pensando di scrivere un post su questo argomento che, soprattutto nell'ultimo periodo, mi ha affascinato e interessato parecchio.
Intendo dimostrare che il numero di Nepero $e$ è trascendente. In verità, vorrei mostrare che il problema della trascendenza di $e$ non è così difficile da risolvere come può sembrare ad una prima occhiata. Al contrario, bastano pochi strumenti di Analisi I (sostanzialmente: limiti di successioni e il teorema del ...
Esistono (almeno) due definizioni distinte di densità; una riguarda gli spazi ordinati, l'altra gli spazi topologici.
se $(X,<)$ è un'insieme totalmente ordinato, un sottoinsieme $S$ è denso se per ogni $a<b$ con $a$ e $b$ in $X$ esiste $s$ in $S$ tale che $a<s<b$.
se $(X,T)$ è uno spazio topologico, un sottoinsieme $S$ è denso se per ogni ...
Ho trovato un esercizio interessante su questo argomento. Ne approfitto per aprire un post di semi-teoria per spiegare a chi abbia voglia di ascoltarmi che cosa sono di bello gli ultraprodotti.
Innanzi tutto consiglio una lettura di questo post, per le generalità sugli ultrafiltri. Per trattare l'argomento nella sua generalità e con pieno rigore sarebbe opportuno avere un'infarinatura di teoria dei modelli. Il teorema principale che si ottiene in questo contesto è il teorema di Los. ...
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